MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmptcl 23624
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbff 23613 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 mbfmptcl.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5776 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6171 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2771 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1110fmpt 6523 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312r19.21bi 3081 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cmpt 4863  dom cdm 5249  wf 6027  cc 10136  MblFncmbf 23602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-pm 8012  df-mbf 23607
This theorem is referenced by:  mbfss  23633  mbfneg  23637  mbfmulc2  23650  mbflim  23655  itgcnlem  23776  itgcnval  23786  itgre  23787  itgim  23788  iblneg  23789  itgneg  23790  iblss  23791  iblss2  23792  ibladd  23807  iblsub  23808  itgadd  23811  itgsub  23812  itgfsum  23813  iblabs  23815  iblabsr  23816  iblmulc2  23817  itgmulc2  23820  itgabs  23821  itgsplit  23822  bddmulibl  23825  itgcn  23829  ditgswap  23843  ditgsplitlem  23844  ftc1a  24020  ibladdnc  33799  itgaddnc  33802  iblsubnc  33803  itgsubnc  33804  iblabsnc  33806  iblmulc2nc  33807  itgmulc2nc  33810  itgabsnc  33811
  Copyright terms: Public domain W3C validator