MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmptcl 23925
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbff 23914 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 mbfmptcl.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5976 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6373 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
109fvmptelrn 6745 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  cmpt 5045  dom cdm 5448  wf 6226  cc 10386  MblFncmbf 23903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-fv 6238  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-pm 8264  df-mbf 23908
This theorem is referenced by:  mbfss  23935  mbfneg  23939  mbfmulc2  23952  mbflim  23957  itgcnlem  24078  itgcnval  24088  itgre  24089  itgim  24090  iblneg  24091  itgneg  24092  iblss  24093  iblss2  24094  ibladd  24109  iblsub  24110  itgadd  24113  itgsub  24114  itgfsum  24115  iblabs  24117  iblabsr  24118  iblmulc2  24119  itgmulc2  24122  itgabs  24123  itgsplit  24124  bddmulibl  24127  itgcn  24131  ditgswap  24145  ditgsplitlem  24146  ftc1a  24322  ibladdnc  34506  itgaddnc  34509  iblsubnc  34510  itgsubnc  34511  iblabsnc  34513  iblmulc2nc  34514  itgmulc2nc  34517  itgabsnc  34518
  Copyright terms: Public domain W3C validator