MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmptcl 25684
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbff 25673 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 mbfmptcl.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6263 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6722 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
109fvmptelcdm 7132 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  cmpt 5230  dom cdm 5688  wf 6558  cc 11150  MblFncmbf 25662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-pm 8867  df-mbf 25667
This theorem is referenced by:  mbfss  25694  mbfneg  25698  mbfmulc2  25711  mbflim  25716  itgcnlem  25839  itgcnval  25849  itgre  25850  itgim  25851  iblneg  25852  itgneg  25853  iblss  25854  iblss2  25855  ibladd  25870  iblsub  25871  itgadd  25874  itgsub  25875  itgfsum  25876  iblabs  25878  iblabsr  25879  iblmulc2  25880  itgmulc2  25883  itgabs  25884  itgsplit  25885  bddmulibl  25888  itgcn  25894  ditgswap  25908  ditgsplitlem  25909  ftc1a  26092  ibladdnc  37663  itgaddnc  37666  iblsubnc  37667  itgsubnc  37668  iblabsnc  37670  iblmulc2nc  37671  itgmulc2nc  37674  itgabsnc  37675
  Copyright terms: Public domain W3C validator