Theorem mbfmptcl 25513

Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmptcl.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mbfmptcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmptcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
2		mbff 25502	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		mbfmptcl.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6203	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 6654	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10	9	fvmptelcdm 7067	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ℂcc 11042  MblFncmbf 25491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-pm 8779  df-mbf 25496

This theorem is referenced by:  mbfss  25523  mbfneg  25527  mbfmulc2  25540  mbflim  25545  itgcnlem  25667  itgcnval  25677  itgre  25678  itgim  25679  iblneg  25680  itgneg  25681  iblss  25682  iblss2  25683  ibladd  25698  iblsub  25699  itgadd  25702  itgsub  25703  itgfsum  25704  iblabs  25706  iblabsr  25707  iblmulc2  25708  itgmulc2  25711  itgabs  25712  itgsplit  25713  bddmulibl  25716  itgcn  25722  ditgswap  25736  ditgsplitlem  25737  ftc1a  25920  ibladdnc  37644  itgaddnc  37647  iblsubnc  37648  itgsubnc  37649  iblabsnc  37651  iblmulc2nc  37652  itgmulc2nc  37655  itgabsnc  37656