MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmptcl 24928
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbff 24917 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 mbfmptcl.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3142 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 6191 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6650 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
109fvmptelcdm 7056 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  cmpt 5187  dom cdm 5631  wf 6488  cc 10983  MblFncmbf 24906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-pm 8702  df-mbf 24911
This theorem is referenced by:  mbfss  24938  mbfneg  24942  mbfmulc2  24955  mbflim  24960  itgcnlem  25082  itgcnval  25092  itgre  25093  itgim  25094  iblneg  25095  itgneg  25096  iblss  25097  iblss2  25098  ibladd  25113  iblsub  25114  itgadd  25117  itgsub  25118  itgfsum  25119  iblabs  25121  iblabsr  25122  iblmulc2  25123  itgmulc2  25126  itgabs  25127  itgsplit  25128  bddmulibl  25131  itgcn  25137  ditgswap  25151  ditgsplitlem  25152  ftc1a  25329  ibladdnc  36066  itgaddnc  36069  iblsubnc  36070  itgsubnc  36071  iblabsnc  36073  iblmulc2nc  36074  itgmulc2nc  36077  itgabsnc  36078
  Copyright terms: Public domain W3C validator