Theorem mbfdm 25579

Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdm	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15131	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbff 25578	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		fco 6730	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5		fimacnv 6728	. . 3 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7		imaeq2 6043	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
8	7	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
9		ismbf1 25577	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
11	10	ralimi 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
12	9, 11	simplbiim 504	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
13		ioomax 13439	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
14		ioof 13464	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
17		mnfxr 11292	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18		pnfxr 11289	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		fnovrn 7582	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
21	13, 20	eqeltrri 2831	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ℝ ∈ ran (,))
23	8, 12, 22	rspcdva 3602	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
24	6, 23	eqeltrrd 2835	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  𝒫 cpw 4575   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  (class class class)co 7405   ↑_pm cpm 8841  ℂcc 11127  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268  (,)cioo 13362  ℜcre 15116  ℑcim 15117  volcvol 25416  MblFncmbf 25567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-ioo 13366  df-cj 15118  df-re 15119  df-mbf 25572

This theorem is referenced by:  ismbf  25581  ismbfcn  25582  mbfimaicc  25584  mbfdm2  25590  mbfres  25597  mbfmulc2lem  25600  mbfimaopn2  25610  cncombf  25611  mbfaddlem  25613  mbfadd  25614  mbfsub  25615  mbfmullem2  25677  mbfmul  25679  bddmulibl  25792  bddibl  25793  bddiblnc  25795  itgulm  26369  ftc1anclem1  37717  ftc1anclem5  37721  ftc1anclem8  37724  smfmbfcex  46789