MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm 25134
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 15055 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 mbff 25133 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
3 fco 6738 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
5 fimacnv 6736 . . 3 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = dom 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = dom 𝐹)
7 imaeq2 6053 . . . 4 (π‘₯ = ℝ β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
87eleq1d 2818 . . 3 (π‘₯ = ℝ β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ∈ dom vol))
9 ismbf1 25132 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
10 simpl 483 . . . . 5 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
1110ralimi 3083 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
129, 11simplbiim 505 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
13 ioomax 13395 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
14 ioof 13420 . . . . . . 7 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
15 ffn 6714 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
17 mnfxr 11267 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
18 pnfxr 11264 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
19 fnovrn 7578 . . . . . 6 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
2016, 17, 18, 19mp3an 1461 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2113, 20eqeltrri 2830 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
2221a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ℝ ∈ ran (,))
238, 12, 22rspcdva 3613 . 2 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ∈ dom vol)
246, 23eqeltrrd 2834 1 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  π’« cpw 4601   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  β„‚cc 11104  β„cr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243  (,)cioo 13320  β„œcre 15040  β„‘cim 15041  volcvol 24971  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-ioo 13324  df-cj 15042  df-re 15043  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  ismbf  25136  ismbfcn  25137  mbfimaicc  25139  mbfdm2  25145  mbfres  25152  mbfmulc2lem  25155  mbfimaopn2  25165  cncombf  25166  mbfaddlem  25168  mbfadd  25169  mbfsub  25170  mbfmullem2  25233  mbfmul  25235  bddmulibl  25347  bddibl  25348  bddiblnc  25350  itgulm  25911  ftc1anclem1  36549  ftc1anclem5  36553  ftc1anclem8  36556  smfmbfcex  45462
  Copyright terms: Public domain W3C validator