Theorem mbfdm 25503

Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdm	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15054	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbff 25502	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		fco 6694	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5		fimacnv 6692	. . 3 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7		imaeq2 6016	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
8	7	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
9		ismbf1 25501	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
11	10	ralimi 3066	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
12	9, 11	simplbiim 504	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
13		ioomax 13359	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
14		ioof 13384	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
17		mnfxr 11207	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18		pnfxr 11204	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		fnovrn 7544	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
21	13, 20	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ℝ ∈ ran (,))
23	8, 12, 22	rspcdva 3586	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
24	6, 23	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369   ↑_pm cpm 8777  ℂcc 11042  ℝcr 11043  +∞cpnf 11181  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183  (,)cioo 13282  ℜcre 15039  ℑcim 15040  volcvol 25340  MblFncmbf 25491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-ioo 13286  df-cj 15041  df-re 15042  df-mbf 25496

This theorem is referenced by:  ismbf  25505  ismbfcn  25506  mbfimaicc  25508  mbfdm2  25514  mbfres  25521  mbfmulc2lem  25524  mbfimaopn2  25534  cncombf  25535  mbfaddlem  25537  mbfadd  25538  mbfsub  25539  mbfmullem2  25601  mbfmul  25603  bddmulibl  25716  bddibl  25717  bddiblnc  25719  itgulm  26293  ftc1anclem1  37660  ftc1anclem5  37664  ftc1anclem8  37667  smfmbfcex  46731