MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm 24993
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 14998 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 mbff 24992 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
3 fco 6693 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
41, 2, 3sylancr 588 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
5 fimacnv 6691 . . 3 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = dom 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = dom 𝐹)
7 imaeq2 6010 . . . 4 (π‘₯ = ℝ β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ))
87eleq1d 2823 . . 3 (π‘₯ = ℝ β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ∈ dom vol))
9 ismbf1 24991 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
10 simpl 484 . . . . 5 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
1110ralimi 3087 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
129, 11simplbiim 506 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
13 ioomax 13340 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
14 ioof 13365 . . . . . . 7 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
15 ffn 6669 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
17 mnfxr 11213 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
18 pnfxr 11210 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
19 fnovrn 7530 . . . . . 6 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
2016, 17, 18, 19mp3an 1462 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2113, 20eqeltrri 2835 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
2221a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ℝ ∈ ran (,))
238, 12, 22rspcdva 3583 . 2 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ∈ dom vol)
246, 23eqeltrrd 2839 1 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  π’« cpw 4561   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ↑pm cpm 8767  β„‚cc 11050  β„cr 11051  +∞cpnf 11187  -∞cmnf 11188  β„*cxr 11189  (,)cioo 13265  β„œcre 14983  β„‘cim 14984  volcvol 24830  MblFncmbf 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-ioo 13269  df-cj 14985  df-re 14986  df-mbf 24986
This theorem is referenced by:  ismbf  24995  ismbfcn  24996  mbfimaicc  24998  mbfdm2  25004  mbfres  25011  mbfmulc2lem  25014  mbfimaopn2  25024  cncombf  25025  mbfaddlem  25027  mbfadd  25028  mbfsub  25029  mbfmullem2  25092  mbfmul  25094  bddmulibl  25206  bddibl  25207  bddiblnc  25209  itgulm  25770  ftc1anclem1  36154  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem8  36161  smfmbfcex  45008
  Copyright terms: Public domain W3C validator