Theorem mbfdm 25814

Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdm	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15182	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbff 25813	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		fco 6734	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5		fimacnv 6732	. . 3 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7		imaeq2 6060	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
8	7	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
9		ismbf1 25812	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
10		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
11	10	ralimi 3104	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
12	9, 11	simplbiim 514	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
13		ioomax 13460	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
14		ioof 13485	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
17		mnfxr 11277	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18		pnfxr 11274	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		fnovrn 7591	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
21	13, 20	eqeltrri 2862	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ℝ ∈ ran (,))
23	8, 12, 22	rspcdva 3584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
24	6, 23	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  𝒫 cpw 4564   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  (class class class)co 7416   ↑_pm cpm 8827  ℂcc 11109  ℝcr 11110  +∞cpnf 11251  -∞cmnf 11252  ℝ^*cxr 11253  (,)cioo 13383  ℜcre 15167  ℑcim 15168  volcvol 25651  MblFncmbf 25802

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-ioo 13387  df-cj 15169  df-re 15170  df-mbf 25807

This theorem is used by:  ismbf  25816  ismbfcn  25817  mbfimaicc  25819  mbfdm2  25825  mbfres  25832  mbfmulc2lem  25835  mbfimaopn2  25845  cncombf  25846  mbfaddlem  25848  mbfadd  25849  mbfsub  25850  mbfmullem2  25912  mbfmul  25914  bddmulibl  26027  bddibl  26028  bddiblnc  26030  itgulm  26600  ftc1anclem1  38377  ftc1anclem5  38381  ftc1anclem8  38384  smfmbfcex  47507