Theorem mbfdm 25543

Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdm	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15037	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbff 25542	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		fco 6680	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5		fimacnv 6678	. . 3 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7		imaeq2 6011	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
8	7	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
9		ismbf1 25541	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
11	10	ralimi 3066	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
12	9, 11	simplbiim 504	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
13		ioomax 13343	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
14		ioof 13368	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6656	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
17		mnfxr 11191	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18		pnfxr 11188	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		fnovrn 7528	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
21	13, 20	eqeltrri 2825	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ℝ ∈ ran (,))
23	8, 12, 22	rspcdva 3580	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
24	6, 23	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  𝒫 cpw 4553   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626   ∘ ccom 5627   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353   ↑_pm cpm 8761  ℂcc 11026  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167  (,)cioo 13266  ℜcre 15022  ℑcim 15023  volcvol 25380  MblFncmbf 25531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-ioo 13270  df-cj 15024  df-re 15025  df-mbf 25536

This theorem is referenced by:  ismbf  25545  ismbfcn  25546  mbfimaicc  25548  mbfdm2  25554  mbfres  25561  mbfmulc2lem  25564  mbfimaopn2  25574  cncombf  25575  mbfaddlem  25577  mbfadd  25578  mbfsub  25579  mbfmullem2  25641  mbfmul  25643  bddmulibl  25756  bddibl  25757  bddiblnc  25759  itgulm  26333  ftc1anclem1  37675  ftc1anclem5  37679  ftc1anclem8  37682  smfmbfcex  46745