MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm 24156
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 14461 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbff 24155 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3 fco 6525 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5 fimacnv 6832 . . 3 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7 imaeq2 5919 . . . 4 (𝑥 = ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
87eleq1d 2897 . . 3 (𝑥 = ℝ → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
9 ismbf1 24154 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
10 simpl 483 . . . . 5 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
1110ralimi 3160 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
129, 11simplbiim 505 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
13 ioomax 12801 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
14 ioof 12825 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15 ffn 6508 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
17 mnfxr 10687 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
18 pnfxr 10684 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
19 fnovrn 7312 . . . . . 6 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
2016, 17, 18, 19mp3an 1452 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2113, 20eqeltrri 2910 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
2221a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → ℝ ∈ ran (,))
238, 12, 22rspcdva 3624 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
246, 23eqeltrrd 2914 1 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  𝒫 cpw 4537   × cxp 5547  ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550  cima 5552  ccom 5553   Fn wfn 6344  wf 6345  (class class class)co 7145  pm cpm 8397  cc 10524  cr 10525  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  *cxr 10663  (,)cioo 12728  cre 14446  cim 14447  volcvol 23993  MblFncmbf 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-ioo 12732  df-cj 14448  df-re 14449  df-mbf 24149
This theorem is referenced by:  ismbf  24158  ismbfcn  24159  mbfimaicc  24161  mbfdm2  24167  mbfres  24174  mbfmulc2lem  24177  mbfimaopn2  24187  cncombf  24188  mbfaddlem  24190  mbfadd  24191  mbfsub  24192  mbfmullem2  24254  mbfmul  24256  bddmulibl  24368  bddibl  24369  itgulm  24925  bddiblnc  34844  ftc1anclem1  34849  ftc1anclem5  34853  ftc1anclem8  34856  smfmbfcex  42917
  Copyright terms: Public domain W3C validator