Theorem mbfdm 25766

Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdm	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15165	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbff 25765	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3		fco 6732	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5		fimacnv 6730	. . 3 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7		imaeq2 6060	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
8	7	eleq1d 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
9		ismbf1 25764	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
10		simpl 487	. . . . 5 ⊢ (((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
11	10	ralimi 3102	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
12	9, 11	simplbiim 513	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
13		ioomax 13450	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
14		ioof 13475	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffn 6707	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
17		mnfxr 11267	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18		pnfxr 11264	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		fnovrn 7587	. . . . . 6 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
21	13, 20	eqeltrri 2860	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → ℝ ∈ ran (,))
23	8, 12, 22	rspcdva 3583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
24	6, 23	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  𝒫 cpw 4563   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  (class class class)co 7412   ↑_pm cpm 8826  ℂcc 11099  ℝcr 11100  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243  (,)cioo 13373  ℜcre 15150  ℑcim 15151  volcvol 25603  MblFncmbf 25754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-ioo 13377  df-cj 15152  df-re 15153  df-mbf 25759

This theorem is referenced by:  ismbf  25768  ismbfcn  25769  mbfimaicc  25771  mbfdm2  25777  mbfres  25784  mbfmulc2lem  25787  mbfimaopn2  25797  cncombf  25798  mbfaddlem  25800  mbfadd  25801  mbfsub  25802  mbfmullem2  25864  mbfmul  25866  bddmulibl  25979  bddibl  25980  bddiblnc  25982  itgulm  26552  ftc1anclem1  38325  ftc1anclem5  38329  ftc1anclem8  38332  smfmbfcex  47457