Theorem mbfadd 25857

Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfadd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbff 25821	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4	3	ffnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5		mbfadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
6		mbff 25821	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
8	7	ffnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn dom 𝐺)
9		mbfdm 25822	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	1, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11		mbfdm 25822	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
12	5, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
13		eqid 2766	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14		eqidd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
15		eqidd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
16	4, 8, 10, 12, 13, 14, 15	offval 7696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
17		elinel1 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
18		ffvelcdm 7083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
19	3, 17, 18	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20		elinel2 4158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
21		ffvelcdm 7083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
22	7, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
23	19, 22	readdd 15291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))
24	23	mpteq2dva 5209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
25		inmbl 25738	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
26	10, 12, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
27	19	recld 15271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
28	22	recld 15271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
29		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
30		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))
31	26, 27, 28, 29, 30	offval2 7707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
32	24, 31	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
33		inss1 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
34		resmpt 6044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥))
36	3	feqmptd 6956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
37	36, 1	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
38		mbfres 25840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
39	37, 26, 38	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
40	35, 39	eqeltrrid 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
41	19	ismbfcn2 25834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
42	40, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
43	42	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
44		inss2 4193	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
45		resmpt 6044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥))
47	7	feqmptd 6956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
48	47, 5	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
49		mbfres 25840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
50	48, 26, 49	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
51	46, 50	eqeltrrid 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
52	22	ismbfcn2 25834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)))
53	51, 52	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn))
54	53	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
55	27	fmpttd 7117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
56	28	fmpttd 7117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
57	43, 54, 55, 56	mbfaddlem 25856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
58	32, 57	eqeltrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
59	19, 22	imaddd 15292	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))
60	59	mpteq2dva 5209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
61	19	imcld 15272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
62	22	imcld 15272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
63		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
64		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))
65	26, 61, 62, 63, 64	offval2 7707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
66	60, 65	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
67	42	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
68	53	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
69	61	fmpttd 7117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
70	62	fmpttd 7117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
71	67, 68, 69, 70	mbfaddlem 25856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
72	66, 71	eqeltrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
73	19, 22	addcld 11246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
74	73	ismbfcn2 25834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
75	58, 72, 74	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
76	16, 75	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685  ℂcc 11116  ℝcr 11117   + caddc 11121  ℜcre 15174  ℑcim 15175  volcvol 25659  MblFncmbf 25810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-xmet 21552  df-met 21553  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815

This theorem is used by:  mbfsub  25858  mbfmulc2  25859  mbfmul  25922  itg2monolem1  25946  itg2addlem  25954  ibladd  26017