MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfadd 25608
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfadd (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfadd
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 25572 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
43ffnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
5 mbfadd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 25572 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
87ffnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 25573 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
101, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 25573 . . . 4 (𝐺 ∈ MblFn β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2727 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2728 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
15 eqidd 2728 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
164, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7698 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
17 elinel1 4195 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
18 ffvelcdm 7094 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
193, 17, 18syl2an 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
20 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
21 ffvelcdm 7094 . . . . . . . 8 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
227, 20, 21syl2an 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2319, 22readdd 15199 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) = ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2423mpteq2dva 5250 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
25 inmbl 25489 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2610, 12, 25syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2719recld 15179 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2822recld 15179 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
29 eqidd 2728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
30 eqidd 2728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
3126, 27, 28, 29, 30offval2 7709 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
3224, 31eqtr4d 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
33 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹
34 resmpt 6044 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
363feqmptd 6970 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3736, 1eqeltrrd 2829 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
38 mbfres 25591 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
3937, 26, 38syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4035, 39eqeltrrid 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
4119ismbfcn2 25585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)))
4240, 41mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn))
4342simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
44 inss2 4230 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
45 resmpt 6044 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯))
477feqmptd 6970 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
4847, 5eqeltrrd 2829 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
49 mbfres 25591 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5048, 26, 49syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5146, 50eqeltrrid 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
5222ismbfcn2 25585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)))
5351, 52mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn))
5453simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
5527fmpttd 7128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
5628fmpttd 7128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
5743, 54, 55, 56mbfaddlem 25607 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
5832, 57eqeltrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
5919, 22imaddd 15200 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) = ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
6059mpteq2dva 5250 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
6119imcld 15180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6222imcld 15180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
63 eqidd 2728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
64 eqidd 2728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
6526, 61, 62, 63, 64offval2 7709 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
6660, 65eqtr4d 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
6742simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
6853simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
6961fmpttd 7128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
7062fmpttd 7128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
7167, 68, 69, 70mbfaddlem 25607 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
7266, 71eqeltrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
7319, 22addcld 11269 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7473ismbfcn2 25585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)))
7558, 72, 74mpbir2and 711 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
7616, 75eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5233  dom cdm 5680   β†Ύ cres 5682  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∘f cof 7687  β„‚cc 11142  β„cr 11143   + caddc 11147  β„œcre 15082  β„‘cim 15083  volcvol 25410  MblFncmbf 25561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cc 10464  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5116  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-dju 9930  df-card 9968  df-acn 9971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xadd 13131  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-xmet 21277  df-met 21278  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566
This theorem is referenced by:  mbfsub  25609  mbfmulc2  25610  mbfmul  25674  itg2monolem1  25698  itg2addlem  25706  ibladd  25768
  Copyright terms: Public domain W3C validator