MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfadd 25041
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfadd (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfadd
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 25005 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
43ffnd 6674 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
5 mbfadd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 25005 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
87ffnd 6674 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 25006 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
101, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 25006 . . . 4 (𝐺 ∈ MblFn β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2737 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
15 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
164, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7631 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))))
17 elinel1 4160 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
18 ffvelcdm 7037 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
193, 17, 18syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
20 elinel2 4161 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
21 ffvelcdm 7037 . . . . . . . 8 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
227, 20, 21syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2319, 22readdd 15106 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) = ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2423mpteq2dva 5210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
25 inmbl 24922 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2610, 12, 25syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2719recld 15086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2822recld 15086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
29 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
30 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
3126, 27, 28, 29, 30offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
3224, 31eqtr4d 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
33 inss1 4193 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹
34 resmpt 5996 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
363feqmptd 6915 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3736, 1eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
38 mbfres 25024 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
3937, 26, 38syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4035, 39eqeltrrid 2843 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
4119ismbfcn2 25018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)))
4240, 41mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn))
4342simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
44 inss2 4194 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
45 resmpt 5996 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯))
477feqmptd 6915 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
4847, 5eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
49 mbfres 25024 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5048, 26, 49syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5146, 50eqeltrrid 2843 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
5222ismbfcn2 25018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)))
5351, 52mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn))
5453simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
5527fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
5628fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
5743, 54, 55, 56mbfaddlem 25040 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
5832, 57eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
5919, 22imaddd 15107 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) = ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
6059mpteq2dva 5210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
6119imcld 15087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6222imcld 15087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
63 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
64 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
6526, 61, 62, 63, 64offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) + (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
6660, 65eqtr4d 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) = ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
6742simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
6853simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
6961fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
7062fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„)
7167, 68, 69, 70mbfaddlem 25040 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜(πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
7266, 71eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)
7319, 22addcld 11181 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7473ismbfcn2 25018 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn ↔ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯)))) ∈ MblFn)))
7558, 72, 74mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
7616, 75eqeltrd 2838 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057   + caddc 11061  β„œcre 14989  β„‘cim 14990  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfsub  25042  mbfmulc2  25043  mbfmul  25107  itg2monolem1  25131  itg2addlem  25139  ibladd  25201
  Copyright terms: Public domain W3C validator