Theorem mbfadd 23827

Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfadd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbff 23791	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4	3	ffnd 6279	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5		mbfadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
6		mbff 23791	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
8	7	ffnd 6279	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn dom 𝐺)
9		mbfdm 23792	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11		mbfdm 23792	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
12	5, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
13		eqid 2825	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14		eqidd 2826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
15		eqidd 2826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
16	4, 8, 10, 12, 13, 14, 15	offval 7164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
17		elin 4023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
18	17	simplbi 493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
19		ffvelrn 6606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20	3, 18, 19	syl2an 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
21	17	simprbi 492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
22		ffvelrn 6606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
23	7, 21, 22	syl2an 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
24	20, 23	readdd 14331	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))
25	24	mpteq2dva 4967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
26		inmbl 23708	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
27	10, 12, 26	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
28	20	recld 14311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	23	recld 14311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
30		eqidd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
31		eqidd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))
32	27, 28, 29, 30, 31	offval2 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
33	25, 32	eqtr4d 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
34		inss1 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
35		resmpt 5686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥))
37	3	feqmptd 6496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
38	37, 1	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
39		mbfres 23810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
40	38, 27, 39	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
41	36, 40	syl5eqelr 2911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
42	20	ismbfcn2 23804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
43	41, 42	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
44	43	simpld 490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
45		inss2 4058	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
46		resmpt 5686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥))
48	7	feqmptd 6496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
49	48, 5	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
50		mbfres 23810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
51	49, 27, 50	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
52	47, 51	syl5eqelr 2911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
53	23	ismbfcn2 23804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)))
54	52, 53	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn))
55	54	simpld 490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
56	28	fmpttd 6634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
57	29	fmpttd 6634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
58	44, 55, 56, 57	mbfaddlem 23826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
59	33, 58	eqeltrd 2906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
60	20, 23	imaddd 14332	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))
61	60	mpteq2dva 4967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
62	20	imcld 14312	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
63	23	imcld 14312	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
64		eqidd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
65		eqidd 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))
66	27, 62, 63, 64, 65	offval2 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) + (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
67	61, 66	eqtr4d 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
68	43	simprd 491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
69	54	simprd 491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
70	62	fmpttd 6634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
71	63	fmpttd 6634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
72	68, 69, 70, 71	mbfaddlem 23826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
73	67, 72	eqeltrd 2906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
74	20, 23	addcld 10376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
75	74	ismbfcn2 23804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
76	59, 73, 75	mpbir2and 706	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
77	16, 76	eqeltrd 2906	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342   ↾ cres 5344  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ∘_𝑓 cof 7155  ℂcc 10250  ℝcr 10251   + caddc 10255  ℜcre 14214  ℑcim 14215  volcvol 23629  MblFncmbf 23780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cc 9572  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xadd 12233  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-xmet 20099  df-met 20100  df-ovol 23630  df-vol 23631  df-mbf 23785

This theorem is referenced by:  mbfsub  23828  mbfmulc2  23829  mbfmul  23892  itg2monolem1  23916  itg2addlem  23924  ibladd  23986