MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfadd 25696
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfadd (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfadd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 25660 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
43ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
5 mbfadd.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 25660 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
87ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 25661 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
101, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 25661 . . . 4 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2737 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
15 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
164, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7706 . 2 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
17 elinel1 4201 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
18 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
193, 17, 18syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
20 elinel2 4202 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
21 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
227, 20, 21syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
2319, 22readdd 15253 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) = ((ℜ‘(𝐹𝑥)) + (ℜ‘(𝐺𝑥))))
2423mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) + (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
25 inmbl 25577 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2610, 12, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2719recld 15233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
2822recld 15233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
29 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
30 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))
3126, 27, 28, 29, 30offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) + (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
3224, 31eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
33 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
34 resmpt 6055 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥))
363feqmptd 6977 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)))
3736, 1eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
38 mbfres 25679 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
3937, 26, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4035, 39eqeltrrid 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
4119ismbfcn2 25673 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)))
4240, 41mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn))
4342simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
44 inss2 4238 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
45 resmpt 6055 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥))
477feqmptd 6977 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
4847, 5eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
49 mbfres 25679 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5048, 26, 49syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5146, 50eqeltrrid 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
5222ismbfcn2 25673 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)))
5351, 52mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn))
5453simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
5527fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
5628fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
5743, 54, 55, 56mbfaddlem 25695 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
5832, 57eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
5919, 22imaddd 15254 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) = ((ℑ‘(𝐹𝑥)) + (ℑ‘(𝐺𝑥))))
6059mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) + (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
6119imcld 15234 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6222imcld 15234 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
63 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
64 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))
6526, 61, 62, 63, 64offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) + (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
6660, 65eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
6742simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
6853simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
6961fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
7062fmpttd 7135 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
7167, 68, 69, 70mbfaddlem 25695 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
7266, 71eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
7319, 22addcld 11280 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
7473ismbfcn2 25673 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)))
7558, 72, 74mpbir2and 713 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
7616, 75eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158  cre 15136  cim 15137  volcvol 25498  MblFncmbf 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654
This theorem is referenced by:  mbfsub  25697  mbfmulc2  25698  mbfmul  25761  itg2monolem1  25785  itg2addlem  25793  ibladd  25856
  Copyright terms: Public domain W3C validator