Theorem mbfmf 33550

Description: A measurable function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmf.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
mbfmf.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
mbfmf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mbfmf	⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)

Proof of Theorem mbfmf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
2		mbfmf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3		mbfmf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	2, 3	ismbfm 33547	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝑆)))
5	1, 4	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝑆))
6	5	simpld 493	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆))
7		elmapi 8845	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∪ cuni 4907  ^◡ccnv 5674  ran crn 5676   “ cima 5678  ⟶wf 6538  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  sigAlgebracsiga 33404  MblFnMcmbfm 33545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-mbfm 33546

This theorem is referenced by:  imambfm  33559  mbfmco  33561  mbfmco2  33562  mbfmvolf  33563  sibff  33633  sitgclg  33639  orvcval4  33757