Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmf 34235
Description: A measurable function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmf.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
mbfmf.2 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
mbfmf.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
Assertion
Ref Expression
mbfmf (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)

Proof of Theorem mbfmf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmf.3 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
2 mbfmf.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
3 mbfmf.2 . . . . 5 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
42, 3ismbfm 34232 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑇 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
51, 4mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑇 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
65simpld 494 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆))
7 elmapi 8888 . 2 (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
86, 7syl 17 1 (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wral 3059   cuni 4912  ccnv 5688  ran crn 5690  cima 5692  wf 6559  (class class class)co 7431  m cmap 8865  sigAlgebracsiga 34089  MblFnMcmbfm 34230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-mbfm 34231
This theorem is referenced by:  imambfm  34244  mbfmco  34246  mbfmco2  34247  mbfmvolf  34248  sibff  34318  sitgclg  34324  orvcval4  34442
  Copyright terms: Public domain W3C validator