Theorem mbfmf 34588

Description: A measurable function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmf.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
mbfmf.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
mbfmf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mbfmf	⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)

Proof of Theorem mbfmf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
2		mbfmf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3		mbfmf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	2, 3	ismbfm 34585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝑆)))
5	1, 4	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝑆))
6	5	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆))
7		elmapi 8845	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
8	6, 7	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∪ cuni 4876  ^◡ccnv 5661  ran crn 5663   “ cima 5665  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823  sigAlgebracsiga 34442  MblFnMcmbfm 34583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8825  df-mbfm 34584

This theorem is referenced by:  imambfm  34596  mbfmco  34598  mbfmco2  34599  mbfmvolf  34600  sibff  34670  sitgclg  34676  orvcval4  34795