Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmf 31506
Description: A measurable function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmf.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
mbfmf.2 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
mbfmf.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
Assertion
Ref Expression
mbfmf (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)

Proof of Theorem mbfmf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmf.3 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
2 mbfmf.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
3 mbfmf.2 . . . . 5 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
42, 3ismbfm 31503 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑇 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
51, 4mpbid 234 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑇 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
65simpld 497 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆))
7 elmapi 8420 . 2 (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
86, 7syl 17 1 (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2108  wral 3136   cuni 4830  ccnv 5547  ran crn 5549  cima 5551  wf 6344  (class class class)co 7148  m cmap 8398  sigAlgebracsiga 31360  MblFnMcmbfm 31501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-map 8400  df-mbfm 31502
This theorem is referenced by:  imambfm  31513  mbfmco  31515  mbfmco2  31516  mbfmvolf  31517  sibff  31587  sitgclg  31593  orvcval4  31711
  Copyright terms: Public domain W3C validator