Theorem mbfmf 34765

Description: A measurable function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmf.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
mbfmf.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
mbfmf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Assertion

Ref	Expression
mbfmf	⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)

Proof of Theorem mbfmf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
2		mbfmf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3		mbfmf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	2, 3	ismbfm 34762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝑆)))
5	1, 4	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝑆))
6	5	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆))
7		elmapi 8848	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝑇 ↑m ∪ 𝑆) → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)
8	6, 7	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝑆⟶∪ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656   “ cima 5658  ⟶wf 6529  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  sigAlgebracsiga 34618  MblFnMcmbfm 34760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8828  df-mbfm 34761

This theorem is used by:  imambfm  34773  mbfmco  34775  mbfmco2  34776  mbfmvolf  34777  sibff  34847  sitgclg  34853  orvcval4  34972