Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmco2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmco2 33259
Description: The pair building of two measurable functions is measurable. ( cf. cnmpt1t 23168). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmco.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
mbfmco.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
mbfmco.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
mbfmco2.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅MblFnM𝑆))
mbfmco2.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑅MblFnM𝑇))
mbfmco2.6 𝐻 = (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
mbfmco2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝑅MblFnM(𝑆 Γ—s 𝑇)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻
Proof of Theorem mbfmco2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmco.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2 mbfmco.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 mbfmco2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅MblFnM𝑆))
41, 2, 3mbfmf 33247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ 𝑆)
54ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑆)
6 mbfmco.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
7 mbfmco2.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑅MblFnM𝑇))
81, 6, 7mbfmf 33247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ 𝑇)
98ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑇)
10 opelxpi 5713 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
115, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
12 sxuni 33186 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
132, 6, 12syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1413adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1511, 14eleqtrd 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
16 mbfmco2.6 . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
1715, 16fmptd 7113 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
18 eqid 2732 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))
19 vex 3478 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
20 vex 3478 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
2119, 20xpex 7739 . . . . 5 (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ V
2218, 21elrnmpo 7544 . . . 4 (𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏))
23 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏))
2423imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) = (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)))
25 simp1 1136 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ πœ‘)
26 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
27 simp2r 1200 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
284, 8, 16xppreima2 31871 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)))
29283ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)))
3013ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3123ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅MblFnM𝑆))
33 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
3430, 31, 32, 33mbfmcnvima 33249 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝑅)
3563ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3673ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺 ∈ (𝑅MblFnM𝑇))
37 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
3830, 35, 36, 37mbfmcnvima 33249 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝑏) ∈ 𝑅)
39 inelsiga 33128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝑅 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝑏) ∈ 𝑅) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)) ∈ 𝑅)
4030, 34, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)) ∈ 𝑅)
4129, 40eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝑅)
4225, 26, 27, 41syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝑅)
4324, 42eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
44433expia 1121 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅))
4544rexlimdvva 3211 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅))
4645imp 407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
4722, 46sylan2b 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
4847ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))(◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
49 eqid 2732 . . . . 5 ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))
5049txbasex 23069 . . . 4 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ V)
512, 6, 50syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ V)
5249sxval 33183 . . . 4 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))))
532, 6, 52syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))))
5451, 1, 53imambfm 33256 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (𝑅MblFnM(𝑆 Γ—s 𝑇)) ↔ (𝐻:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∧ βˆ€π‘ ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))(◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)))
5517, 48, 54mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝑅MblFnM(𝑆 Γ—s 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  sigAlgebracsiga 33101  sigaGencsigagen 33131   Γ—s csx 33181  MblFnMcmbfm 33242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-siga 33102  df-sigagen 33132  df-sx 33182  df-mbfm 33243
This theorem is referenced by:  rrvadd  33446
  Copyright terms: Public domain W3C validator