Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmco2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfmco2 33562
Description: The pair building of two measurable functions is measurable. ( cf. cnmpt1t 23389). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmco.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
mbfmco.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
mbfmco.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
mbfmco2.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅MblFnM𝑆))
mbfmco2.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑅MblFnM𝑇))
mbfmco2.6 𝐻 = (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
mbfmco2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝑅MblFnM(𝑆 Γ—s 𝑇)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻
Proof of Theorem mbfmco2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmco.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2 mbfmco.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 mbfmco2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅MblFnM𝑆))
41, 2, 3mbfmf 33550 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ 𝑆)
54ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑆)
6 mbfmco.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
7 mbfmco2.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑅MblFnM𝑇))
81, 6, 7mbfmf 33550 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ 𝑇)
98ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑇)
10 opelxpi 5712 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
115, 9, 10syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
12 sxuni 33489 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
132, 6, 12syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1413adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1511, 14eleqtrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
16 mbfmco2.6 . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑅 ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
1715, 16fmptd 7114 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
18 eqid 2730 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))
19 vex 3476 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
20 vex 3476 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
2119, 20xpex 7742 . . . . 5 (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ V
2218, 21elrnmpo 7547 . . . 4 (𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏))
23 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏))
2423imaeq2d 6058 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) = (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)))
25 simp1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ πœ‘)
26 simp2l 1197 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
27 simp2r 1198 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
284, 8, 16xppreima2 32143 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)))
29283ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)))
3013ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3123ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3233ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅MblFnM𝑆))
33 simp2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
3430, 31, 32, 33mbfmcnvima 33552 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝑅)
3563ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3673ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺 ∈ (𝑅MblFnM𝑇))
37 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ 𝑏 ∈ 𝑇)
3830, 35, 36, 37mbfmcnvima 33552 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝑏) ∈ 𝑅)
39 inelsiga 33431 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∈ 𝑅 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝑏) ∈ 𝑅) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)) ∈ 𝑅)
4030, 34, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ž) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑏)) ∈ 𝑅)
4129, 40eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝑅)
4225, 26, 27, 41syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ 𝑅)
4324, 42eqeltrd 2831 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) ∧ 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
44433expia 1119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅))
4544rexlimdvva 3209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅))
4645imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑆 βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏)) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
4722, 46sylan2b 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
4847ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))(◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)
49 eqid 2730 . . . . 5 ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) = ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))
5049txbasex 23290 . . . 4 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ V)
512, 6, 50syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏)) ∈ V)
5249sxval 33486 . . . 4 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))))
532, 6, 52syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) = (sigaGenβ€˜ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))))
5451, 1, 53imambfm 33559 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (𝑅MblFnM(𝑆 Γ—s 𝑇)) ↔ (𝐻:βˆͺ π‘…βŸΆβˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∧ βˆ€π‘ ∈ ran (π‘Ž ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑇 ↦ (π‘Ž Γ— 𝑏))(◑𝐻 β€œ 𝑐) ∈ 𝑅)))
5517, 48, 54mpbir2and 709 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝑅MblFnM(𝑆 Γ—s 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  sigAlgebracsiga 33404  sigaGencsigagen 33434   Γ—s csx 33484  MblFnMcmbfm 33545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-siga 33405  df-sigagen 33435  df-sx 33485  df-mbfm 33546
This theorem is referenced by:  rrvadd  33749
  Copyright terms: Public domain W3C validator