Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmvolf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmvolf 31609
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure are real-valued functions on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
mbfmvolf (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem mbfmvolf
StepHypRef Expression
1 dmvlsiga 31473 . . . . . 6 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
2 issgon 31467 . . . . . 6 (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (dom vol ∈ ran sigAlgebra ∧ ℝ = dom vol))
31, 2mpbi 233 . . . . 5 (dom vol ∈ ran sigAlgebra ∧ ℝ = dom vol)
43simpli 487 . . . 4 dom vol ∈ ran sigAlgebra
54a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
6 brsigarn 31528 . . . . . 6 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
7 issgon 31467 . . . . . 6 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) ↔ (𝔅 ran sigAlgebra ∧ ℝ = 𝔅))
86, 7mpbi 233 . . . . 5 (𝔅 ran sigAlgebra ∧ ℝ = 𝔅)
98simpli 487 . . . 4 𝔅 ran sigAlgebra
109a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝔅 ran sigAlgebra)
11 id 22 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅))
125, 10, 11mbfmf 31598 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹: dom vol⟶ 𝔅)
133simpri 489 . . 3 ℝ = dom vol
148simpri 489 . . 3 ℝ = 𝔅
1513, 14feq23i 6499 . 2 (𝐹:ℝ⟶ℝ ↔ 𝐹: dom vol⟶ 𝔅)
1612, 15sylibr 237 1 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   cuni 4824  dom cdm 5543  ran crn 5544  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  cr 10536  volcvol 24076  sigAlgebracsiga 31452  𝔅cbrsiga 31525  MblFnMcmbfm 31593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cc 9857  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xadd 12507  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-fl 13168  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-topgen 16719  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bases 21560  df-ovol 24077  df-vol 24078  df-siga 31453  df-sigagen 31483  df-brsiga 31526  df-mbfm 31594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator