Theorem measvunilem 34202

Description: Lemma for measvuni 34204. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
measvunilem	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3		measvunilem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	abrexctf 32642	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6		ctex 8935	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9		eldifi 4094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	9	ralimi 3066	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
12	11	abrexss 32441	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15		elpwg 4566	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
16	15	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
17	7, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
19	3	disjabrexf 32512	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21		measvun 34199	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
22	1, 17, 5, 20, 21	syl112anc 1376	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
23		dfiun2g 4994	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
24	23	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑧)
27		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28		nfra1 3261	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
30		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ω
31	3, 29, 30	nfbr 5154	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
32		nfdisj1 5088	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
33	31, 32	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
34	27, 28, 33	nf3an 1901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
35		fveq2 6858	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑀‘𝑧) = (𝑀‘𝐵))
36		ctex 8935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
37	2, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
38	8	r19.21bi 3229	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
39	34, 3, 38, 18	disjdsct 32626	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun ◡(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
40		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41		measvxrge0 34195	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
42	9, 41	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
43	40, 38, 42	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
44	26, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38	esumc 34041	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
45	22, 25, 44	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842   ≼ cdom 8916  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  [,]cicc 13309  Σ^*cesum 34017  measurescmeas 34185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-xadd 13073  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-ordt 17464  df-xrs 17465  df-ps 18525  df-tsr 18526  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-ntr 22907  df-nei 22985  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-tsms 24014  df-esum 34018  df-meas 34186

This theorem is referenced by:  measvuni  34204