Theorem measvunilem 31864

Description: Lemma for measvuni 31866. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
measvunilem	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1138	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3		measvunilem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	abrexctf 30745	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6		ctex 8632	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8		simp2 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9		eldifi 4031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	9	ralimi 3076	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		nfcv 2900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
12	11	abrexss 30548	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15		elpwg 4506	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
16	15	biimpar 481	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
17	7, 14, 16	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18		simp3r 1204	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
19	3	disjabrexf 30613	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21		measvun 31861	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
22	1, 17, 5, 20, 21	syl112anc 1376	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
23		dfiun2g 4930	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
24	23	fveq2d 6710	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26		nfcv 2900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑧)
27		nfv 1922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28		nfra1 3133	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29		nfcv 2900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
30		nfcv 2900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ω
31	3, 29, 30	nfbr 5090	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
32		nfdisj1 5022	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
33	31, 32	nfan 1907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
34	27, 28, 33	nf3an 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
35		fveq2 6706	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑀‘𝑧) = (𝑀‘𝐵))
36		ctex 8632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
37	2, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
38	8	r19.21bi 3123	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
39	34, 3, 38, 18	disjdsct 30727	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun ◡(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
40		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41		measvxrge0 31857	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
42	9, 41	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
43	40, 38, 42	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
44	26, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38	esumc 31703	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
45	22, 25, 44	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {cab 2712  Ⅎwnfc 2880  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  Vcvv 3401   ∖ cdif 3854   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4503  {csn 4531  ∪ cuni 4809  ∪ ciun 4894  Disj wdisj 5008   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ωcom 7633   ≼ cdom 8613  0cc0 10712  +∞cpnf 10847  [,]cicc 12921  Σ^*cesum 31679  measurescmeas 31847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-ac2 10060  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-disj 5009  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-fi 9016  df-oi 9115  df-card 9538  df-acn 9541  df-ac 9713  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-xadd 12688  df-icc 12925  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-seq 13558  df-hash 13880  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-rest 16899  df-topn 16900  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-topgen 16920  df-ordt 16978  df-xrs 16979  df-ps 18044  df-tsr 18045  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-submnd 18191  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-fbas 20332  df-fg 20333  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-ntr 21889  df-nei 21967  df-fil 22715  df-fm 22807  df-flim 22808  df-flf 22809  df-tsms 22996  df-esum 31680  df-meas 31848

This theorem is referenced by:  measvuni  31866