Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem 32875
Description: Lemma for measvuni 32877. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1 β„²π‘₯𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 simp3l 1202 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
3 measvunilem.1 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝐴
43abrexctf 31689 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰)
6 ctex 8909 . . . . 5 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V)
8 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
9 eldifi 4090 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
109ralimi 3083 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
11 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝑆
1211abrexss 31488 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
148, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
15 elpwg 4567 . . . . 5 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V β†’ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆))
1615biimpar 479 . . . 4 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆)
177, 14, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆)
18 simp3r 1203 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
193disjabrexf 31554 . . . 4 (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)
21 measvun 32872 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1375 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
23 dfiun2g 4994 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡})
2423fveq2d 6850 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}))
258, 24syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}))
26 nfcv 2904 . . 3 β„²π‘₯(π‘€β€˜π‘§)
27 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘₯ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†)
28 nfra1 3266 . . . 4 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})
29 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯ β‰Ό
30 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯Ο‰
313, 29, 30nfbr 5156 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐴 β‰Ό Ο‰
32 nfdisj1 5088 . . . . 5 β„²π‘₯Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3331, 32nfan 1903 . . . 4 β„²π‘₯(𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
3427, 28, 33nf3an 1905 . . 3 β„²π‘₯(𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
35 fveq2 6846 . . 3 (𝑧 = 𝐡 β†’ (π‘€β€˜π‘§) = (π‘€β€˜π΅))
36 ctex 8909 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
372, 36syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ V)
388r19.21bi 3233 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
3934, 3, 38, 18disjdsct 31670 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Fun β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
40 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
41 measvxrge0 32868 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
429, 41sylan2 594 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
4340, 38, 42syl2anc 585 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 32714 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
4522, 25, 443eqtr4d 2783 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887  0cc0 11059  +∞cpnf 11194  [,]cicc 13276  Ξ£*cesum 32690  measurescmeas 32858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-xadd 13042  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-ordt 17391  df-xrs 17392  df-ps 18463  df-tsr 18464  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-nei 22472  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-tsms 23501  df-esum 32691  df-meas 32859
This theorem is referenced by:  measvuni  32877
  Copyright terms: Public domain W3C validator