Theorem measvunilem 34845

Description: Lemma for measvuni 34847. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
measvunilem	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3		measvunilem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	abrexctf 33309	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
5	2, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6		ctex 8990	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	9	ralimi 3100	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
12	11	abrexss 33108	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
14	8, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15		elpwg 4560	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
16	15	biimpar 483	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
17	7, 14, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
19	3	disjabrexf 33177	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21		measvun 34842	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
22	1, 17, 5, 20, 21	syl112anc 1401	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
23		dfiun2g 4988	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
24	23	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
25	8, 24	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑧)
27		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28		nfra1 3287	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
30		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ω
31	3, 29, 30	nfbr 5152	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
32		nfdisj1 5084	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
33	31, 32	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
34	27, 28, 33	nf3an 1934	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
35		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑀‘𝑧) = (𝑀‘𝐵))
36		ctex 8990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
37	2, 36	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
38	8	r19.21bi 3255	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
39	34, 3, 38, 18	disjdsct 33296	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun ◡(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
40		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41		measvxrge0 34838	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
42	9, 41	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
43	40, 38, 42	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
44	26, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38	esumc 34683	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
45	22, 25, 44	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ≼ cdom 8971  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  [,]cicc 13479  Σ^*cesum 34659  measurescmeas 34828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-xadd 13242  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-ordt 17673  df-xrs 17674  df-ps 18740  df-tsr 18741  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-ntr 23338  df-nei 23416  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-tsms 24446  df-esum 34660  df-meas 34829

This theorem is used by:  measvuni  34847