Theorem measvunilem 34356

Description: Lemma for measvuni 34358. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
measvunilem	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3		measvunilem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	abrexctf 32790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6		ctex 8910	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9		eldifi 4071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	9	ralimi 3074	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
12	11	abrexss 32582	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15		elpwg 4544	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
16	15	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
17	7, 14, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18		simp3r 1204	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
19	3	disjabrexf 32653	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21		measvun 34353	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
22	1, 17, 5, 20, 21	syl112anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
23		dfiun2g 4972	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
24	23	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑧)
27		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28		nfra1 3261	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
30		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ω
31	3, 29, 30	nfbr 5132	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
32		nfdisj1 5066	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
33	31, 32	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
34	27, 28, 33	nf3an 1903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
35		fveq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑀‘𝑧) = (𝑀‘𝐵))
36		ctex 8910	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
37	2, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
38	8	r19.21bi 3229	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
39	34, 3, 38, 18	disjdsct 32776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun ◡(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
40		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41		measvxrge0 34349	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
42	9, 41	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
43	40, 38, 42	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
44	26, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38	esumc 34195	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
45	22, 25, 44	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  ∪ cuni 4850  ∪ ciun 4933  Disj wdisj 5052   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817   ≼ cdom 8891  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  [,]cicc 13301  Σ^*cesum 34171  measurescmeas 34339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-xadd 13064  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-ordt 17465  df-xrs 17466  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-ntr 22985  df-nei 23063  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-tsms 24092  df-esum 34172  df-meas 34340

This theorem is referenced by:  measvuni  34358