Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem 32591
Description: Lemma for measvuni 32593. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 simp3l 1202 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3 measvunilem.1 . . . . . . 7 𝑥𝐴
43abrexctf 31436 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6 ctex 8837 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9 eldifi 4085 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵𝑆)
109ralimi 3085 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
11 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑥𝑆
1211abrexss 31242 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
148, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15 elpwg 4562 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
1615biimpar 479 . . . 4 (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
177, 14, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18 simp3r 1203 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
193disjabrexf 31305 . . . 4 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21 measvun 32588 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1375 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
23 dfiun2g 4989 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
2423fveq2d 6842 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
258, 24syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26 nfcv 2906 . . 3 𝑥(𝑀𝑧)
27 nfv 1918 . . . 4 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28 nfra1 3266 . . . 4 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑥
30 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑥ω
313, 29, 30nfbr 5151 . . . . 5 𝑥 𝐴 ≼ ω
32 nfdisj1 5083 . . . . 5 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3331, 32nfan 1903 . . . 4 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
3427, 28, 33nf3an 1905 . . 3 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
35 fveq2 6838 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → (𝑀𝑧) = (𝑀𝐵))
36 ctex 8837 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
372, 36syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
388r19.21bi 3233 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
3934, 3, 38, 18disjdsct 31418 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Fun (𝑥𝐴𝐵))
40 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41 measvxrge0 32584 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
429, 41sylan2 594 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4340, 38, 42syl2anc 585 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 32430 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀𝑧))
4522, 25, 443eqtr4d 2788 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2715  wnfc 2886  wral 3063  wrex 3072  Vcvv 3444  cdif 3906  wss 3909  c0 4281  𝒫 cpw 4559  {csn 4585   cuni 4864   ciun 4953  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  ωcom 7793  cdom 8815  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  [,]cicc 13197  Σ*cesum 32406  measurescmeas 32574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-ac2 10333  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-oi 9380  df-card 9809  df-acn 9812  df-ac 9986  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-xadd 12964  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-seq 13837  df-hash 14160  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-rest 17240  df-topn 17241  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-topgen 17261  df-ordt 17319  df-xrs 17320  df-ps 18391  df-tsr 18392  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-ntr 22299  df-nei 22377  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-tsms 23406  df-esum 32407  df-meas 32575
This theorem is referenced by:  measvuni  32593
  Copyright terms: Public domain W3C validator