Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem 33508
Description: Lemma for measvuni 33510. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1 β„²π‘₯𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 simp3l 1199 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
3 measvunilem.1 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝐴
43abrexctf 32210 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰)
6 ctex 8961 . . . . 5 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V)
8 simp2 1135 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
9 eldifi 4125 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
109ralimi 3081 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
11 nfcv 2901 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝑆
1211abrexss 32016 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
148, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
15 elpwg 4604 . . . . 5 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V β†’ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆))
1615biimpar 476 . . . 4 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆)
177, 14, 16syl2anc 582 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆)
18 simp3r 1200 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
193disjabrexf 32081 . . . 4 (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)
21 measvun 33505 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
23 dfiun2g 5032 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡})
2423fveq2d 6894 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}))
258, 24syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}))
26 nfcv 2901 . . 3 β„²π‘₯(π‘€β€˜π‘§)
27 nfv 1915 . . . 4 β„²π‘₯ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†)
28 nfra1 3279 . . . 4 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})
29 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘₯ β‰Ό
30 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘₯Ο‰
313, 29, 30nfbr 5194 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐴 β‰Ό Ο‰
32 nfdisj1 5126 . . . . 5 β„²π‘₯Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3331, 32nfan 1900 . . . 4 β„²π‘₯(𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
3427, 28, 33nf3an 1902 . . 3 β„²π‘₯(𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
35 fveq2 6890 . . 3 (𝑧 = 𝐡 β†’ (π‘€β€˜π‘§) = (π‘€β€˜π΅))
36 ctex 8961 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
372, 36syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ V)
388r19.21bi 3246 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
3934, 3, 38, 18disjdsct 32191 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Fun β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
40 simpl1 1189 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
41 measvxrge0 33501 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
429, 41sylan2 591 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
4340, 38, 42syl2anc 582 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 33347 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
4522, 25, 443eqtr4d 2780 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  β„²wnfc 2881  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  [,]cicc 13331  Ξ£*cesum 33323  measurescmeas 33491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-xadd 13097  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tsms 23851  df-esum 33324  df-meas 33492
This theorem is referenced by:  measvuni  33510
  Copyright terms: Public domain W3C validator