Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem 33210
Description: Lemma for measvuni 33212. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1 β„²π‘₯𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 simp3l 1202 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
3 measvunilem.1 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝐴
43abrexctf 31943 . . . . . 6 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰)
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰)
6 ctex 8959 . . . . 5 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V)
8 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
9 eldifi 4127 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
109ralimi 3084 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆)
11 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯𝑆
1211abrexss 31749 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑆 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
148, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆)
15 elpwg 4606 . . . . 5 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V β†’ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆))
1615biimpar 479 . . . 4 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} βŠ† 𝑆) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆)
177, 14, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆)
18 simp3r 1203 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
193disjabrexf 31814 . . . 4 (Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)
21 measvun 33207 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}𝑧)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1375 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
23 dfiun2g 5034 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡})
2423fveq2d 6896 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}))
258, 24syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆͺ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡}))
26 nfcv 2904 . . 3 β„²π‘₯(π‘€β€˜π‘§)
27 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘₯ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†)
28 nfra1 3282 . . . 4 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})
29 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯ β‰Ό
30 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯Ο‰
313, 29, 30nfbr 5196 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐴 β‰Ό Ο‰
32 nfdisj1 5128 . . . . 5 β„²π‘₯Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
3331, 32nfan 1903 . . . 4 β„²π‘₯(𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
3427, 28, 33nf3an 1905 . . 3 β„²π‘₯(𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
35 fveq2 6892 . . 3 (𝑧 = 𝐡 β†’ (π‘€β€˜π‘§) = (π‘€β€˜π΅))
36 ctex 8959 . . . 4 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
372, 36syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ V)
388r19.21bi 3249 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}))
3934, 3, 38, 18disjdsct 31924 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Fun β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
40 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
41 measvxrge0 33203 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
429, 41sylan2 594 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
4340, 38, 42syl2anc 585 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
4426, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38esumc 33049 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = Ξ£*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐡} (π‘€β€˜π‘§))
4522, 25, 443eqtr4d 2783 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (𝑆 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  [,]cicc 13327  Ξ£*cesum 33025  measurescmeas 33193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-xadd 13093  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631  df-esum 33026  df-meas 33194
This theorem is referenced by:  measvuni  33212
  Copyright terms: Public domain W3C validator