Theorem measvunilem 34350

Description: Lemma for measvuni 34352. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
measvunilem	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
3		measvunilem.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	abrexctf 32777	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω)
6		ctex 8904	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
8		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9		eldifi 4084	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	9	ralimi 3074	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
11		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
12	11	abrexss 32569	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆)
15		elpwg 4558	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆))
16	15	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝑆) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
17	7, 14, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
18		simp3r 1204	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
19	3	disjabrexf 32640	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)
21		measvun 34347	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}𝑧)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
22	1, 17, 5, 20, 21	syl112anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
23		dfiun2g 4986	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
24	23	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}))
26		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑧)
27		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
28		nfra1 3261	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})
29		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
30		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ω
31	3, 29, 30	nfbr 5146	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
32		nfdisj1 5080	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
33	31, 32	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
34	27, 28, 33	nf3an 1903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
35		fveq2 6835	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑀‘𝑧) = (𝑀‘𝐵))
36		ctex 8904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
37	2, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
38	8	r19.21bi 3229	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
39	34, 3, 38, 18	disjdsct 32763	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Fun ◡(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
40		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
41		measvxrge0 34343	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
42	9, 41	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
43	40, 38, 42	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
44	26, 34, 3, 35, 37, 39, 43, 38	esumc 34189	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑧 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} (𝑀‘𝑧))
45	22, 25, 44	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  {csn 4581  ∪ cuni 4864  ∪ ciun 4947  Disj wdisj 5066   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ωcom 7810   ≼ cdom 8885  0cc0 11030  +∞cpnf 11167  [,]cicc 13268  Σ^*cesum 34165  measurescmeas 34333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-xadd 13031  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-ordt 17426  df-xrs 17427  df-ps 18493  df-tsr 18494  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-ntr 22968  df-nei 23046  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-tsms 24075  df-esum 34166  df-meas 34334

This theorem is referenced by:  measvuni  34352