Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meascnbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem meascnbl 33867
Description: A measure is continuous from below. Cf. volsup 25501. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
meascnbl.0 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
meascnbl.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
meascnbl.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘†)
meascnbl.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) βŠ† (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
meascnbl (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜π½)(π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐽   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   πœ‘,𝑛
Proof of Theorem meascnbl
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘œ 𝑝 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meascnbl.0 . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 meascnbl.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
32adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
4 measbase 33845 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
65adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
7 meascnbl.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘†)
87ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
9 simpll 765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ πœ‘)
10 fzossnn 13711 . . . . . . . . 9 (1..^𝑛) βŠ† β„•
11 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑛))
1210, 11sselid 3970 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
137ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
149, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
1514ralrimiva 3136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
16 sigaclfu2 33769 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
176, 15, 16syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
18 difelsiga 33781 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑆)
196, 8, 17, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑆)
20 measvxrge0 33853 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (0[,]+∞))
213, 19, 20syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (0[,]+∞))
22 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = π‘œ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘œ))
23 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑛 = π‘œ β†’ (1..^𝑛) = (1..^π‘œ))
2423iuneq1d 5016 . . . . 5 (𝑛 = π‘œ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘œ)(πΉβ€˜π‘˜))
2522, 24difeq12d 4113 . . . 4 (𝑛 = π‘œ β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘œ) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘œ)(πΉβ€˜π‘˜)))
2625fveq2d 6894 . . 3 (𝑛 = π‘œ β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘œ) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘œ)(πΉβ€˜π‘˜))))
27 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘))
28 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 β†’ (1..^𝑛) = (1..^𝑝))
2928iuneq1d 5016 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑝)(πΉβ€˜π‘˜))
3027, 29difeq12d 4113 . . . 4 (𝑛 = 𝑝 β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑝)(πΉβ€˜π‘˜)))
3130fveq2d 6894 . . 3 (𝑛 = 𝑝 β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑝)(πΉβ€˜π‘˜))))
321, 21, 26, 31esumcvg2 33735 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))(β‡π‘‘β€˜π½)Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
33 measfrge0 33851 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
342, 33syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
35 fcompt 7136 . . . 4 ((𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (𝑀 ∘ 𝐹) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
3634, 7, 35syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
37 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑛(πΉβ€˜π‘˜)
38 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
39 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
4039nnzd 12613 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
41 fzval3 13731 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4342olcd 872 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((1...𝑖) = β„• ∨ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1))))
442adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
45 simpll 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ πœ‘)
46 fzossnn 13711 . . . . . . . 8 (1..^(𝑖 + 1)) βŠ† β„•
4742eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑖) ↔ 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1))))
4847biimpa 475 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1)))
4946, 48sselid 3970 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5045, 49, 8syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
5137, 38, 43, 44, 50measiuns 33865 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑖)(πΉβ€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
527ffnd 6716 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„•)
53 meascnbl.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) βŠ† (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
5452, 53iuninc 32368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑖)(πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘–))
5554fveq2d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑖)(πΉβ€˜π‘›)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
5651, 55eqtr3d 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
5756mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
5836, 57eqtr4d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹) = (𝑖 ∈ β„• ↦ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)))))
598ralrimiva 3136 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
60 dfiun2g 5026 . . . . . 6 (βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6159, 60syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
62 fnrnfv 6951 . . . . . . 7 (𝐹 Fn β„• β†’ ran 𝐹 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6352, 62syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6463unieqd 4914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐹 = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6561, 64eqtr4d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝐹)
6665fveq2d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›)) = (π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹))
67 eqidd 2726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• = β„•)
6867orcd 871 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„• = β„• ∨ β„• = (1..^(𝑖 + 1))))
6937, 38, 68, 2, 8measiuns 33865 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
7066, 69eqtr3d 2767 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
7132, 58, 703brtr4d 5173 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜π½)(π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  βˆͺ cuni 4901  βˆͺ ciun 4989   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5671   ∘ ccom 5674   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  +∞cpnf 11273  β„•cn 12240  β„€cz 12586  [,]cicc 13357  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657   β†Ύs cress 17206  TopOpenctopn 17400  β„*𝑠cxrs 17479  β‡π‘‘clm 23146  Ξ£*cesum 33675  sigAlgebracsiga 33756  measurescmeas 33843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-ordt 17480  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-ps 18555  df-tsr 18556  df-plusf 18596  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-abv 20699  df-lmod 20747  df-scaf 20748  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tmd 23992  df-tgp 23993  df-tsms 24047  df-trg 24080  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-nm 24507  df-ngp 24508  df-nrg 24510  df-nlm 24511  df-ii 24813  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-esum 33676  df-siga 33757  df-meas 33844
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  34126
  Copyright terms: Public domain W3C validator