Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meascnbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem meascnbl 33747
Description: A measure is continuous from below. Cf. volsup 25440. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
meascnbl.0 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
meascnbl.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
meascnbl.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘†)
meascnbl.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) βŠ† (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
meascnbl (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜π½)(π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐽   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   πœ‘,𝑛
Proof of Theorem meascnbl
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘œ 𝑝 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meascnbl.0 . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 meascnbl.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
32adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
4 measbase 33725 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
65adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
7 meascnbl.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘†)
87ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
9 simpll 764 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ πœ‘)
10 fzossnn 13687 . . . . . . . . 9 (1..^𝑛) βŠ† β„•
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ (1..^𝑛))
1210, 11sselid 3975 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
137ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
149, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
1514ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
16 sigaclfu2 33649 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
176, 15, 16syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆)
18 difelsiga 33661 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑆)
196, 8, 17, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑆)
20 measvxrge0 33733 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (0[,]+∞))
213, 19, 20syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ (0[,]+∞))
22 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑛 = π‘œ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘œ))
23 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = π‘œ β†’ (1..^𝑛) = (1..^π‘œ))
2423iuneq1d 5017 . . . . 5 (𝑛 = π‘œ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘œ)(πΉβ€˜π‘˜))
2522, 24difeq12d 4118 . . . 4 (𝑛 = π‘œ β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘œ) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘œ)(πΉβ€˜π‘˜)))
2625fveq2d 6889 . . 3 (𝑛 = π‘œ β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘œ) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^π‘œ)(πΉβ€˜π‘˜))))
27 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘))
28 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 β†’ (1..^𝑛) = (1..^𝑝))
2928iuneq1d 5017 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑝)(πΉβ€˜π‘˜))
3027, 29difeq12d 4118 . . . 4 (𝑛 = 𝑝 β†’ ((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑝)(πΉβ€˜π‘˜)))
3130fveq2d 6889 . . 3 (𝑛 = 𝑝 β†’ (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑝)(πΉβ€˜π‘˜))))
321, 21, 26, 31esumcvg2 33615 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))(β‡π‘‘β€˜π½)Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
33 measfrge0 33731 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
342, 33syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
35 fcompt 7127 . . . 4 ((𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘†) β†’ (𝑀 ∘ 𝐹) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
3634, 7, 35syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
37 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑛(πΉβ€˜π‘˜)
38 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
39 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
4039nnzd 12589 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
41 fzval3 13707 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4342olcd 871 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((1...𝑖) = β„• ∨ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1))))
442adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
45 simpll 764 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ πœ‘)
46 fzossnn 13687 . . . . . . . 8 (1..^(𝑖 + 1)) βŠ† β„•
4742eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑖) ↔ 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1))))
4847biimpa 476 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1)))
4946, 48sselid 3975 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5045, 49, 8syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
5137, 38, 43, 44, 50measiuns 33745 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑖)(πΉβ€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
527ffnd 6712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„•)
53 meascnbl.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) βŠ† (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
5452, 53iuninc 32301 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑖)(πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘–))
5554fveq2d 6889 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑖)(πΉβ€˜π‘›)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
5651, 55eqtr3d 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–)))
5756mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘–))))
5836, 57eqtr4d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹) = (𝑖 ∈ β„• ↦ Ξ£*𝑛 ∈ (1...𝑖)(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)))))
598ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
60 dfiun2g 5026 . . . . . 6 (βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6159, 60syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
62 fnrnfv 6945 . . . . . . 7 (𝐹 Fn β„• β†’ ran 𝐹 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6352, 62syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6463unieqd 4915 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐹 = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›)})
6561, 64eqtr4d 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝐹)
6665fveq2d 6889 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›)) = (π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹))
67 eqidd 2727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• = β„•)
6867orcd 870 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„• = β„• ∨ β„• = (1..^(𝑖 + 1))))
6937, 38, 68, 2, 8measiuns 33745 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›)) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
7066, 69eqtr3d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜((πΉβ€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(πΉβ€˜π‘˜))))
7132, 58, 703brtr4d 5173 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜π½)(π‘€β€˜βˆͺ ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„•cn 12216  β„€cz 12562  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633   β†Ύs cress 17182  TopOpenctopn 17376  β„*𝑠cxrs 17455  β‡π‘‘clm 23085  Ξ£*cesum 33555  sigAlgebracsiga 33636  measurescmeas 33723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-plusf 18572  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-abv 20660  df-lmod 20708  df-scaf 20709  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tmd 23931  df-tgp 23932  df-tsms 23986  df-trg 24019  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-ii 24752  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-esum 33556  df-siga 33637  df-meas 33724
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  34006
  Copyright terms: Public domain W3C validator