Theorem measinb 34921

Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measinb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		measbase 34897	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	2	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		inelsiga 34835	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
8		measvxrge0 34905	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	9	fmpttd 7136	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞))
11		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
12		ineq1 4113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
13		0in 4350	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
15	14	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
17		measvnul 34906	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
18	17	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
20	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21		0elsiga 34813	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
23		0red 11335	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
24	11, 19, 22, 23	fvmptd 7021	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0)
25		measinblem 34920	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
26		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
27		ineq1 4113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
28	27	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
29	28	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
30		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
31	30, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
32		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
33		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ≼ ω)
34		sigaclcu 34816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ≼ ω) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
36		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
37		inelsiga 34835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
39		measvxrge0 34905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
40	30, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
41	26, 29, 35, 40	fvmptd 7021	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
42		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
43		ineq1 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
44	43	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
45	44	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
46		elpwi 4567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑆)
47	46	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝑆)
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3914	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑆)
50		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
51	50, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
52		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝐴 ∈ 𝑆)
53		inelsiga 34835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
54	51, 49, 52, 53	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
55		measvxrge0 34905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
56	50, 54, 55	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
57	42, 45, 49, 56	fvmptd 7021	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
58	57	esumeq2dv 34737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
59	58	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
60	25, 41, 59	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦))
61	60	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
62	61	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
63		ismeas 34899	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
64	20, 63	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
65	10, 24, 62, 64	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  Disj wdisj 5073   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5656  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ωcom 7898   ≼ cdom 8996  ℝcr 11223  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  [,]cicc 13503  Σ^*cesum 34726  sigAlgebracsiga 34807  measurescmeas 34895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-ordt 17699  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-ps 18766  df-tsr 18767  df-plusf 18841  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-abv 21093  df-lmod 21164  df-scaf 21165  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-tmd 24418  df-tgp 24419  df-tsms 24473  df-trg 24506  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-nm 24928  df-ngp 24929  df-nrg 24931  df-nlm 24932  df-ii 25225  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-esum 34727  df-siga 34808  df-meas 34896

This theorem is used by:  measinb2  34923  totprobd  35125  probmeasb  35129