Theorem measinb 31698

Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measinb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		measbase 31674	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		inelsiga 31612	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
8		measvxrge0 31682	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 7, 8	syl2anc 588	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	9	fmpttd 6868	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞))
11		eqidd 2760	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
12		ineq1 4110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
13		0in 4288	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
15	14	fveq2d 6660	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
16	15	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
17		measvnul 31683	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
18	17	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
20	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21		0elsiga 31591	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
23		0red 10672	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
24	11, 19, 22, 23	fvmptd 6764	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0)
25		measinblem 31697	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
26		eqidd 2760	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
27		ineq1 4110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
28	27	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
29	28	fveq2d 6660	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
30		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
31	30, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
32		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
33		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ≼ ω)
34		sigaclcu 31594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ≼ ω) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
36		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
37		inelsiga 31612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
39		measvxrge0 31682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
40	30, 38, 39	syl2anc 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
41	26, 29, 35, 40	fvmptd 6764	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
42		eqidd 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
43		ineq1 4110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
44	43	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
45	44	fveq2d 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
46		elpwi 4501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑆)
47	46	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝑆)
48		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3894	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑆)
50		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
51	50, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
52		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝐴 ∈ 𝑆)
53		inelsiga 31612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
54	51, 49, 52, 53	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
55		measvxrge0 31682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
56	50, 54, 55	syl2anc 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
57	42, 45, 49, 56	fvmptd 6764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
58	57	esumeq2dv 31515	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
59	58	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
60	25, 41, 59	3eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦))
61	60	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
62	61	ralrimiva 3114	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
63		ismeas 31676	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
64	20, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
65	10, 24, 62, 64	mpbir3and 1340	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  𝒫 cpw 4492  ∪ cuni 4796  Disj wdisj 4995   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ran crn 5523  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  ωcom 7577   ≼ cdom 8523  ℝcr 10564  0cc0 10565  +∞cpnf 10700  [,]cicc 12772  Σ^*cesum 31504  sigAlgebracsiga 31585  measurescmeas 31672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-inf2 9127  ax-ac2 9913  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-pre-sup 10643  ax-addf 10644  ax-mulf 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7403  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7834  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-2o 8111  df-oadd 8114  df-er 8297  df-map 8416  df-pm 8417  df-ixp 8478  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-fsupp 8857  df-fi 8898  df-sup 8929  df-inf 8930  df-oi 8997  df-dju 9353  df-card 9391  df-acn 9394  df-ac 9566  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-5 11730  df-6 11731  df-7 11732  df-8 11733  df-9 11734  df-n0 11925  df-z 12011  df-dec 12128  df-uz 12273  df-q 12379  df-rp 12421  df-xneg 12538  df-xadd 12539  df-xmul 12540  df-ioo 12773  df-ioc 12774  df-ico 12775  df-icc 12776  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-fl 13201  df-mod 13277  df-seq 13409  df-exp 13470  df-fac 13674  df-bc 13703  df-hash 13731  df-shft 14464  df-cj 14496  df-re 14497  df-im 14498  df-sqrt 14632  df-abs 14633  df-limsup 14866  df-clim 14883  df-rlim 14884  df-sum 15081  df-ef 15459  df-sin 15461  df-cos 15462  df-pi 15464  df-struct 16533  df-ndx 16534  df-slot 16535  df-base 16537  df-sets 16538  df-ress 16539  df-plusg 16626  df-mulr 16627  df-starv 16628  df-sca 16629  df-vsca 16630  df-ip 16631  df-tset 16632  df-ple 16633  df-ds 16635  df-unif 16636  df-hom 16637  df-cco 16638  df-rest 16744  df-topn 16745  df-0g 16763  df-gsum 16764  df-topgen 16765  df-pt 16766  df-prds 16769  df-ordt 16822  df-xrs 16823  df-qtop 16828  df-imas 16829  df-xps 16831  df-mre 16905  df-mrc 16906  df-acs 16908  df-ps 17866  df-tsr 17867  df-plusf 17907  df-mgm 17908  df-sgrp 17957  df-mnd 17968  df-mhm 18012  df-submnd 18013  df-grp 18162  df-minusg 18163  df-sbg 18164  df-mulg 18282  df-subg 18333  df-cntz 18504  df-cmn 18965  df-abl 18966  df-mgp 19298  df-ur 19310  df-ring 19357  df-cring 19358  df-subrg 19591  df-abv 19646  df-lmod 19694  df-scaf 19695  df-sra 20002  df-rgmod 20003  df-psmet 20148  df-xmet 20149  df-met 20150  df-bl 20151  df-mopn 20152  df-fbas 20153  df-fg 20154  df-cnfld 20157  df-top 21584  df-topon 21601  df-topsp 21623  df-bases 21636  df-cld 21709  df-ntr 21710  df-cls 21711  df-nei 21788  df-lp 21826  df-perf 21827  df-cn 21917  df-cnp 21918  df-haus 22005  df-tx 22252  df-hmeo 22445  df-fil 22536  df-fm 22628  df-flim 22629  df-flf 22630  df-tmd 22762  df-tgp 22763  df-tsms 22817  df-trg 22850  df-xms 23012  df-ms 23013  df-tms 23014  df-nm 23274  df-ngp 23275  df-nrg 23277  df-nlm 23278  df-ii 23568  df-cncf 23569  df-limc 24555  df-dv 24556  df-log 25237  df-esum 31505  df-siga 31586  df-meas 31673

This theorem is referenced by:  measinb2  31700  totprobd  31902  probmeasb  31906