Theorem measinb 34204

Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measinb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		measbase 34180	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		inelsiga 34118	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
8		measvxrge0 34188	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	9	fmpttd 7069	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞))
11		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
12		ineq1 4172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
13		0in 4356	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
15	14	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
17		measvnul 34189	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
18	17	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
20	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21		0elsiga 34097	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
23		0red 11153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
24	11, 19, 22, 23	fvmptd 6957	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0)
25		measinblem 34203	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
26		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
27		ineq1 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
29	28	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
30		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
31	30, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
32		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
33		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ≼ ω)
34		sigaclcu 34100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ≼ ω) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
36		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
37		inelsiga 34118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
39		measvxrge0 34188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
40	30, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
41	26, 29, 35, 40	fvmptd 6957	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
42		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
43		ineq1 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
45	44	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
46		elpwi 4566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑆)
47	46	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝑆)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑆)
50		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
51	50, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
52		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝐴 ∈ 𝑆)
53		inelsiga 34118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
54	51, 49, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
55		measvxrge0 34188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
56	50, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
57	42, 45, 49, 56	fvmptd 6957	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
58	57	esumeq2dv 34021	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
60	25, 41, 59	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦))
61	60	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
62	61	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
63		ismeas 34182	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
64	20, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
65	10, 24, 62, 64	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ωcom 7822   ≼ cdom 8893  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  [,]cicc 13285  Σ^*cesum 34010  sigAlgebracsiga 34091  measurescmeas 34178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-ordt 17440  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-ps 18507  df-tsr 18508  df-plusf 18548  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-abv 20729  df-lmod 20800  df-scaf 20801  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tmd 23992  df-tgp 23993  df-tsms 24047  df-trg 24080  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nrg 24506  df-nlm 24507  df-ii 24803  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-esum 34011  df-siga 34092  df-meas 34179

This theorem is referenced by:  measinb2  34206  totprobd  34410  probmeasb  34414