Theorem measinb 34577

Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measinb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		measbase 34553	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	2	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		inelsiga 34491	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
8		measvxrge0 34561	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 7, 8	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10	9	fmpttd 7110	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞))
11		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
12		ineq1 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
13		0in 4353	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
15	14	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
16	15	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
17		measvnul 34562	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
18	17	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = 0)
20	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
21		0elsiga 34470	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
23		0red 11210	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
24	11, 19, 22, 23	fvmptd 6997	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0)
25		measinblem 34576	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
26		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
27		ineq1 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑧 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
28	27	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑧 ∩ 𝐴))
29	28	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑧) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
30		simplll 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
31	30, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
32		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
33		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝑧 ≼ ω)
34		sigaclcu 34473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ≼ ω) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)
36		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
37		inelsiga 34491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
39		measvxrge0 34561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (∪ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
40	30, 38, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
41	26, 29, 35, 40	fvmptd 6997	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = (𝑀‘(∪ 𝑧 ∩ 𝐴)))
42		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
43		ineq1 4165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
44	43	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
45	44	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
46		elpwi 4568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑧 ⊆ 𝑆)
47	46	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝑆)
48		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑧)
49	47, 48	sseldd 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑆)
50		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
51	50, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
52		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝐴 ∈ 𝑆)
53		inelsiga 34491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
54	51, 49, 52, 53	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
55		measvxrge0 34561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
56	50, 54, 55	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
57	42, 45, 49, 56	fvmptd 6997	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
58	57	esumeq2dv 34394	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
59	58	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧(𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))
60	25, 41, 59	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦))
61	60	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
62	61	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))
63		ismeas 34555	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
64	20, 63	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘∪ 𝑧) = Σ*𝑦 ∈ 𝑧((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))‘𝑦)))))
65	10, 24, 62, 64	mpbir3and 1359	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7861   ≼ cdom 8940  ℝcr 11098  0cc0 11099  +∞cpnf 11239  [,]cicc 13374  Σ^*cesum 34383  sigAlgebracsiga 34464  measurescmeas 34551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-ac2 10446  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-ac 10099  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-ordt 17554  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-ps 18621  df-tsr 18622  df-plusf 18696  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-abv 20891  df-lmod 20962  df-scaf 20963  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-tmd 24208  df-tgp 24209  df-tsms 24263  df-trg 24296  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-nm 24718  df-ngp 24719  df-nrg 24721  df-nlm 24722  df-ii 25015  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-esum 34384  df-siga 34465  df-meas 34552

This theorem is referenced by:  measinb2  34579  totprobd  34782  probmeasb  34786