Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measinb 33207
Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measinb ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑀
Proof of Theorem measinb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 measbase 33183 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
32ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 simpr 485 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
5 simplr 767 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
6 inelsiga 33121 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 33191 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 584 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
109fmpttd 7111 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
11 eqidd 2733 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))))
12 ineq1 4204 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (βˆ… ∩ 𝐴))
13 0in 4392 . . . . . . 7 (βˆ… ∩ 𝐴) = βˆ…
1412, 13eqtrdi 2788 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = βˆ…)
1514fveq2d 6892 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
1615adantl 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
17 measvnul 33192 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
1817ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
1916, 18eqtrd 2772 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) = 0)
202adantr 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
21 0elsiga 33100 . . . 4 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
23 0red 11213 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ℝ)
2411, 19, 22, 23fvmptd 7002 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆ…) = 0)
25 measinblem 33206 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴)) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧(π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))
26 eqidd 2733 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))))
27 ineq1 4204 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆͺ 𝑧 β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴))
2827adantl 482 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑧) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴))
2928fveq2d 6892 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑧) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜(βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴)))
30 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
3130, 2syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
32 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
33 simprl 769 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ 𝑧 β‰Ό Ο‰)
34 sigaclcu 33103 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑆)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑆)
36 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
37 inelsiga 33121 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
3831, 35, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
39 measvxrge0 33191 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4030, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ (π‘€β€˜(βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4126, 29, 35, 40fvmptd 7002 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝑧) = (π‘€β€˜(βˆͺ 𝑧 ∩ 𝐴)))
42 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))))
43 ineq1 4204 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
4443adantl 482 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (𝑦 ∩ 𝐴))
4544fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))
46 elpwi 4608 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ 𝑧 βŠ† 𝑆)
4746ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑆)
48 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
4947, 48sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
50 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
5150, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
52 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
53 inelsiga 33121 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
5451, 49, 52, 53syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
55 measvxrge0 33191 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5650, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5742, 45, 49, 56fvmptd 7002 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))
5857esumeq2dv 33024 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧(π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))
5958adantr 481 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧(π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))
6025, 41, 593eqtr4d 2782 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝑧) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦))
6160ex 413 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ ((𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝑧) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦)))
6261ralrimiva 3146 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝑧) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦)))
63 ismeas 33185 . . 3 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝑧) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦)))))
6420, 63syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜βˆͺ 𝑧) = Ξ£*𝑦 ∈ 𝑧((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))β€˜π‘¦)))))
6510, 24, 62, 64mpbir3and 1342 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8933  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  [,]cicc 13323  Ξ£*cesum 33013  sigAlgebracsiga 33094  measurescmeas 33181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-esum 33014  df-siga 33095  df-meas 33182
This theorem is referenced by:  measinb2  33209  totprobd  33413  probmeasb  33417
  Copyright terms: Public domain W3C validator