Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measun 32175
Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measun ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem measun
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 32161 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
323ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 simp2l 1198 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴𝑆)
5 simp2r 1199 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵𝑆)
6 unelsiga 32098 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1370 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
8 ssun2 4112 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
98a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵))
10 measxun2 32174 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))))
111, 7, 5, 9, 10syl121anc 1374 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))))
12 difun2 4420 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐴𝐵)
13 uneq1 4095 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = (∅ ∪ (𝐴𝐵)))
14 uncom 4092 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ ∅)
15 un0 4330 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∪ ∅) = (𝐴𝐵)
1614, 15eqtri 2768 . . . . . . . 8 (∅ ∪ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
1713, 16eqtrdi 2796 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
18 inundif 4418 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
1917, 18eqtr3di 2795 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝐴𝐵) = 𝐴)
2012, 19eqtrid 2792 . . . . 5 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = 𝐴)
2120fveq2d 6775 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝑀𝐴))
2221oveq2d 7287 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)))
23223ad2ant3 1134 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)))
24 iccssxr 13161 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25 measvxrge0 32169 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2624, 25sselid 3924 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
271, 5, 26syl2anc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
28 measvxrge0 32169 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2924, 28sselid 3924 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
301, 4, 29syl2anc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 12973 . . 3 (((𝑀𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
3227, 30, 31syl2anc 584 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
3311, 23, 323eqtrd 2784 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  cdif 3889  cun 3890  cin 3891  wss 3892  c0 4262   cuni 4845  ran crn 5591  cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  +∞cpnf 11007  *cxr 11009   +𝑒 cxad 12845  [,]cicc 13081  sigAlgebracsiga 32072  measurescmeas 32159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-ac2 10220  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-dju 9660  df-card 9698  df-acn 9701  df-ac 9873  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-pi 15780  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-ordt 17210  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-ps 18282  df-tsr 18283  df-plusf 18323  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-subrg 20020  df-abv 20075  df-lmod 20123  df-scaf 20124  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-tmd 23221  df-tgp 23222  df-tsms 23276  df-trg 23309  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-nm 23736  df-ngp 23737  df-nrg 23739  df-nlm 23740  df-ii 24038  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-log 25710  df-esum 31992  df-siga 32073  df-meas 32160
This theorem is referenced by:  measvuni  32178  measunl  32180
  Copyright terms: Public domain W3C validator