Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measun 33830
Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measun ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
Proof of Theorem measun
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 measbase 33816 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
323ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 simp2l 1197 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5 simp2r 1198 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
6 unelsiga 33753 . . . 4 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1369 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ 𝑆)
8 ssun2 4173 . . . 4 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
98a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡))
10 measxun2 33829 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))))
111, 7, 5, 9, 10syl121anc 1373 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))))
12 difun2 4481 . . . . . 6 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡) = (𝐴 βˆ– 𝐡)
13 uneq1 4155 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = (βˆ… βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)))
14 uncom 4152 . . . . . . . . 9 (βˆ… βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = ((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ βˆ…)
15 un0 4391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ βˆ…) = (𝐴 βˆ– 𝐡)
1614, 15eqtri 2756 . . . . . . . 8 (βˆ… βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = (𝐴 βˆ– 𝐡)
1713, 16eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = (𝐴 βˆ– 𝐡))
18 inundif 4479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴
1917, 18eqtr3di 2783 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) = 𝐴)
2012, 19eqtrid 2780 . . . . 5 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡) = 𝐴)
2120fveq2d 6901 . . . 4 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡)) = (π‘€β€˜π΄))
2221oveq2d 7436 . . 3 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)))
23223ad2ant3 1133 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)))
24 iccssxr 13440 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
25 measvxrge0 33824 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2624, 25sselid 3978 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
271, 5, 26syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
28 measvxrge0 33824 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
2924, 28sselid 3978 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
301, 4, 29syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 13252 . . 3 (((π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
3227, 30, 31syl2anc 583 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
3311, 23, 323eqtrd 2772 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  +∞cpnf 11276  β„*cxr 11278   +𝑒 cxad 13123  [,]cicc 13360  sigAlgebracsiga 33727  measurescmeas 33814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-ordt 17483  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-ps 18558  df-tsr 18559  df-plusf 18599  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-abv 20697  df-lmod 20745  df-scaf 20746  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tmd 23989  df-tgp 23990  df-tsms 24044  df-trg 24077  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-ii 24810  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-esum 33647  df-siga 33728  df-meas 33815
This theorem is referenced by:  measvuni  33833  measunl  33835
  Copyright terms: Public domain W3C validator