Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measun 33209
Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measun ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
Proof of Theorem measun
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 measbase 33195 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
323ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 simp2l 1200 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
5 simp2r 1201 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
6 unelsiga 33132 . . . 4 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ 𝑆)
8 ssun2 4174 . . . 4 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
98a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡))
10 measxun2 33208 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))))
111, 7, 5, 9, 10syl121anc 1376 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))))
12 difun2 4481 . . . . . 6 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡) = (𝐴 βˆ– 𝐡)
13 uneq1 4157 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = (βˆ… βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)))
14 uncom 4154 . . . . . . . . 9 (βˆ… βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = ((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ βˆ…)
15 un0 4391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ βˆ…) = (𝐴 βˆ– 𝐡)
1614, 15eqtri 2761 . . . . . . . 8 (βˆ… βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = (𝐴 βˆ– 𝐡)
1713, 16eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = (𝐴 βˆ– 𝐡))
18 inundif 4479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴
1917, 18eqtr3di 2788 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) = 𝐴)
2012, 19eqtrid 2785 . . . . 5 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡) = 𝐴)
2120fveq2d 6896 . . . 4 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡)) = (π‘€β€˜π΄))
2221oveq2d 7425 . . 3 ((𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)))
23223ad2ant3 1136 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆ– 𝐡))) = ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)))
24 iccssxr 13407 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
25 measvxrge0 33203 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2624, 25sselid 3981 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
271, 5, 26syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
28 measvxrge0 33203 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
2924, 28sselid 3981 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
301, 4, 29syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 13219 . . 3 (((π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
3227, 30, 31syl2anc 585 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜π΅) +𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
3311, 23, 323eqtrd 2777 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   +𝑒 cxad 13090  [,]cicc 13327  sigAlgebracsiga 33106  measurescmeas 33193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-esum 33026  df-siga 33107  df-meas 33194
This theorem is referenced by:  measvuni  33212  measunl  33214
  Copyright terms: Public domain W3C validator