Theorem measun 34927

Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measun	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +e (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem measun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		measbase 34913	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		simp2r 1219	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		unelsiga 34849	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
8		ssun2 4180	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
10		measxun2 34926	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))))
11	1, 7, 5, 9, 10	syl121anc 1403	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))))
12		difun2 4440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ 𝐵)
13		uneq1 4163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
14		uncom 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ ∅)
15		un0 4347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ ∅) = (𝐴 ∖ 𝐵)
16	14, 15	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵)
17	13, 16	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
18		inundif 4438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
19	17, 18	eqtr3di 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝐴 ∖ 𝐵) = 𝐴)
20	12, 19	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝑀‘𝐴))
22	21	oveq2d 7462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘𝐴)))
23	22	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘𝐴)))
24		iccssxr 13591	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25		measvxrge0 34921	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
26	24, 25	sselid 3911	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
27	1, 5, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
28		measvxrge0 34921	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
29	24, 28	sselid 3911	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
30	1, 4, 29	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13400	. . 3 ⊢ (((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘𝐴) +e (𝑀‘𝐵)))
32	27, 30, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑀‘𝐵) +e (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘𝐴) +e (𝑀‘𝐵)))
33	11, 23, 32	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +e (𝑀‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ∪ cuni 4870  ran crn 5657  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  +∞cpnf 11370  ℝ^*cxr 11372   +_e cxad 13269  [,]cicc 13509  sigAlgebracsiga 34823  measurescmeas 34911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-pi 16270  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-ordt 17705  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-ps 18772  df-tsr 18773  df-plusf 18847  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-abv 21099  df-lmod 21170  df-scaf 21171  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-tmd 24424  df-tgp 24425  df-tsms 24479  df-trg 24512  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-nm 24934  df-ngp 24935  df-nrg 24937  df-nlm 24938  df-ii 25231  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220  df-log 26917  df-esum 34743  df-siga 34824  df-meas 34912

This theorem is used by:  measvuni  34930  measunl  34932