Theorem measun 34245

Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measun	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem measun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		measbase 34231	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		unelsiga 34168	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
8		ssun2 4128	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
10		measxun2 34244	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))))
11	1, 7, 5, 9, 10	syl121anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))))
12		difun2 4430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ 𝐵)
13		uneq1 4110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
14		uncom 4107	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ ∅)
15		un0 4343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ ∅) = (𝐴 ∖ 𝐵)
16	14, 15	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵)
17	13, 16	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
18		inundif 4428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
19	17, 18	eqtr3di 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝐴 ∖ 𝐵) = 𝐴)
20	12, 19	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝑀‘𝐴))
22	21	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)))
23	22	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)))
24		iccssxr 13332	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25		measvxrge0 34239	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
26	24, 25	sselid 3928	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
27	1, 5, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
28		measvxrge0 34239	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
29	24, 28	sselid 3928	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
30	1, 4, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13141	. . 3 ⊢ (((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
32	27, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
33	11, 23, 32	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ∪ cuni 4858  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   +_𝑒 cxad 13011  [,]cicc 13250  sigAlgebracsiga 34142  measurescmeas 34229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-ordt 17407  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-ps 18474  df-tsr 18475  df-plusf 18549  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-abv 20726  df-lmod 20797  df-scaf 20798  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-tmd 23988  df-tgp 23989  df-tsms 24043  df-trg 24076  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-nm 24498  df-ngp 24499  df-nrg 24501  df-nlm 24502  df-ii 24798  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-esum 34062  df-siga 34143  df-meas 34230

This theorem is referenced by:  measvuni  34248  measunl  34250