Theorem measun 34242

Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measun	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem measun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2		measbase 34228	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		unelsiga 34165	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
8		ssun2 4154	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
10		measxun2 34241	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))))
11	1, 7, 5, 9, 10	syl121anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))))
12		difun2 4456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ 𝐵)
13		uneq1 4136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
14		uncom 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ ∅)
15		un0 4369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ ∅) = (𝐴 ∖ 𝐵)
16	14, 15	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵)
17	13, 16	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
18		inundif 4454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
19	17, 18	eqtr3di 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝐴 ∖ 𝐵) = 𝐴)
20	12, 19	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝑀‘𝐴))
22	21	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)))
23	22	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)))
24		iccssxr 13447	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25		measvxrge0 34236	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
26	24, 25	sselid 3956	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
27	1, 5, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
28		measvxrge0 34236	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
29	24, 28	sselid 3956	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
30	1, 4, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
31		xaddcom 13256	. . 3 ⊢ (((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
32	27, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑀‘𝐵) +𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
33	11, 23, 32	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ∪ cuni 4883  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   +_𝑒 cxad 13126  [,]cicc 13365  sigAlgebracsiga 34139  measurescmeas 34226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-ordt 17515  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-ps 18576  df-tsr 18577  df-plusf 18617  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-abv 20769  df-lmod 20819  df-scaf 20820  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-tmd 24010  df-tgp 24011  df-tsms 24065  df-trg 24098  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-nm 24521  df-ngp 24522  df-nrg 24524  df-nlm 24525  df-ii 24821  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-esum 34059  df-siga 34140  df-meas 34227

This theorem is referenced by:  measvuni  34245  measunl  34247