Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measun 31530
Description: The measure the union of two disjoint sets is the sum of their measures. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measun ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem measun
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 31516 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
323ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 simp2l 1196 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴𝑆)
5 simp2r 1197 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵𝑆)
6 unelsiga 31453 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
8 ssun2 4135 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
98a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵))
10 measxun2 31529 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))))
111, 7, 5, 9, 10syl121anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))))
12 difun2 4412 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐴𝐵)
13 inundif 4410 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
14 uneq1 4118 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = (∅ ∪ (𝐴𝐵)))
15 uncom 4115 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ ∅)
16 un0 4327 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∪ ∅) = (𝐴𝐵)
1715, 16eqtri 2847 . . . . . . . 8 (∅ ∪ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
1814, 17syl6eq 2875 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
1913, 18syl5reqr 2874 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝐴𝐵) = 𝐴)
2012, 19syl5eq 2871 . . . . 5 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∖ 𝐵) = 𝐴)
2120fveq2d 6665 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵)) = (𝑀𝐴))
2221oveq2d 7165 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)))
23223ad2ant3 1132 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐵))) = ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)))
24 iccssxr 12817 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
25 measvxrge0 31524 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2624, 25sseldi 3951 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
271, 5, 26syl2anc 587 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
28 measvxrge0 31524 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2924, 28sseldi 3951 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
301, 4, 29syl2anc 587 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 12630 . . 3 (((𝑀𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
3227, 30, 31syl2anc 587 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑀𝐵) +𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
3311, 23, 323eqtrd 2863 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  cun 3917  cin 3918  wss 3919  c0 4276   cuni 4824  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  +∞cpnf 10670  *cxr 10672   +𝑒 cxad 12502  [,]cicc 12738  sigAlgebracsiga 31427  measurescmeas 31514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-ac2 9883  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-ac 9540  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-ordt 16774  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-ps 17810  df-tsr 17811  df-plusf 17851  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-abv 19588  df-lmod 19636  df-scaf 19637  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-tmd 22683  df-tgp 22684  df-tsms 22738  df-trg 22771  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-nm 23195  df-ngp 23196  df-nrg 23198  df-nlm 23199  df-ii 23488  df-cncf 23489  df-limc 24475  df-dv 24476  df-log 25154  df-esum 31347  df-siga 31428  df-meas 31515
This theorem is referenced by:  measvuni  31533  measunl  31535
  Copyright terms: Public domain W3C validator