Theorem measunl 33203

Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
measunl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measunl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
measunl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
measunl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem measunl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif1 4475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	fveq2i 6892	. . 3 ⊢ (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵))
3		measunl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4		measbase 33184	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		measunl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		measunl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
8		difelsiga 33120	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
10		disjdifr 4472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
12		measun 33198	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
13	3, 9, 7, 11, 12	syl121anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
14	2, 13	eqtr3id 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
15		iccssxr 13404	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16		measvxrge0 33192	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
17	3, 9, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
18	15, 17	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19		measvxrge0 33192	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
20	3, 6, 19	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
21	15, 20	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
22		measvxrge0 33192	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
23	3, 7, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
24	15, 23	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
25		inelsiga 33122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)
26	5, 6, 7, 25	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)
27		measvxrge0 33192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
28	3, 26, 27	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29		elxrge0 13431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
30	28, 29	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
31	30	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
32	15, 28	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
33		xraddge02 31957	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
34	18, 32, 33	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
35	31, 34	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
36		uncom 4153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))
37		inundif 4478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
38	36, 37	eqtr3i 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
39	38	fveq2i 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴)
40		incom 4201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
41		inindif 31742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
42	40, 41	eqtr3i 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
44		measun 33198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
45	3, 9, 26, 43, 44	syl121anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
46	39, 45	eqtr3id 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
47	35, 46	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ (𝑀‘𝐴))
48		xleadd1a 13229	. . 3 ⊢ ((((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ (𝑀‘𝐴)) → ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
49	18, 21, 24, 47, 48	syl31anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
50	14, 49	eqbrtrd 5170	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947  ∅c0 4322  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  ran crn 5677  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246   +_𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324  sigAlgebracsiga 33095  measurescmeas 33182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-ordt 17444  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-ps 18516  df-tsr 18517  df-plusf 18557  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-subrg 20354  df-abv 20418  df-lmod 20466  df-scaf 20467  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-tmd 23568  df-tgp 23569  df-tsms 23623  df-trg 23656  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-nm 24083  df-ngp 24084  df-nrg 24086  df-nlm 24087  df-ii 24385  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-esum 33015  df-siga 33096  df-meas 33183

This theorem is referenced by:  aean  33231