Theorem measunl 34727

Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
measunl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measunl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
measunl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
measunl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem measunl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif1 4430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	fveq2i 6881	. . 3 ⊢ (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵))
3		measunl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4		measbase 34708	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		measunl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		measunl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
8		difelsiga 34645	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
10		disjdifr 4427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
12		measun 34722	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
13	3, 9, 7, 11, 12	syl121anc 1402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
14	2, 13	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
15		iccssxr 13483	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16		measvxrge0 34716	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
17	3, 9, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
18	15, 17	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19		measvxrge0 34716	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
20	3, 6, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
21	15, 20	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
22		measvxrge0 34716	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
23	3, 7, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
24	15, 23	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
25		inelsiga 34646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)
26	5, 6, 7, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)
27		measvxrge0 34716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
28	3, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29		elxrge0 13510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
30	28, 29	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
31	30	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
32	15, 28	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
33		xraddge02 33228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
34	18, 32, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
35	31, 34	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
36		uncom 4105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))
37		inundif 4435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
38	36, 37	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
39	38	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴)
40		incom 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
41		inindif 4324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
42	40, 41	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
44		measun 34722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
45	3, 9, 26, 43, 44	syl121anc 1402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
46	39, 45	eqtr3id 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
47	35, 46	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ (𝑀‘𝐴))
48		xleadd1a 13305	. . 3 ⊢ ((((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ (𝑀‘𝐴)) → ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
49	18, 21, 24, 47, 48	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
50	14, 49	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268   +_𝑒 cxad 13161  [,]cicc 13401  sigAlgebracsiga 34618  measurescmeas 34706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-pi 16158  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-ordt 17587  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-ps 18654  df-tsr 18655  df-plusf 18729  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-abv 20975  df-lmod 21046  df-scaf 21047  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-tmd 24298  df-tgp 24299  df-tsms 24353  df-trg 24386  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-nm 24808  df-ngp 24809  df-nrg 24811  df-nlm 24812  df-ii 25105  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26793  df-esum 34538  df-siga 34619  df-meas 34707

This theorem is used by:  aean  34755