Theorem measunl 30610

Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
measunl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measunl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
measunl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
measunl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem measunl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undif1 4246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
2	1	fveq2i 6414	. . 3 ⊢ (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵))
3		measunl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4		measbase 30591	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		measunl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		measunl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
8		difelsiga 30527	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆)
10		incom 4011	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵)
11		disjdif 4243	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
12	10, 11	eqtr3i 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
14		measun 30605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
15	3, 9, 7, 13, 14	syl121anc 1487	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
16	2, 15	syl5eqr 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
17		iccssxr 12477	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		measvxrge0 30599	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
19	3, 9, 18	syl2anc 575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
20	17, 19	sseldi 3803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
21		measvxrge0 30599	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
22	3, 6, 21	syl2anc 575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
23	17, 22	sseldi 3803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ*)
24		measvxrge0 30599	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
25	3, 7, 24	syl2anc 575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
26	17, 25	sseldi 3803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
27		inelsiga 30529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)
28	5, 6, 7, 27	syl3anc 1483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆)
29		measvxrge0 30599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
30	3, 28, 29	syl2anc 575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
31		elxrge0 12504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
32	30, 31	sylib 209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
33	32	simprd 485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
34	17, 30	sseldi 3803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
35		xraddge02 29854	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
36	20, 34, 35	syl2anc 575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵)))))
37	33, 36	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
38		uncom 3963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))
39		inundif 4249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
40	38, 39	eqtr3i 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) = 𝐴
41	40	fveq2i 6414	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = (𝑀‘𝐴)
42		incom 4011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
43		inindif 29684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∖ 𝐵)) = ∅
44	42, 43	eqtr3i 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅)
46		measun 30605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = ∅) → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
47	3, 9, 28, 45, 46	syl121anc 1487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
48	41, 47	syl5eqr 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴 ∩ 𝐵))))
49	37, 48	breqtrrd 4879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ (𝑀‘𝐴))
50		xleadd1a 12304	. . 3 ⊢ ((((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≤ (𝑀‘𝐴)) → ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
51	20, 23, 26, 49, 50	syl31anc 1485	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴 ∖ 𝐵)) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
52	16, 51	eqbrtrd 4873	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2157   ∖ cdif 3773   ∪ cun 3774   ∩ cin 3775  ∅c0 4123  ∪ cuni 4637   class class class wbr 4851  ran crn 5319  ‘cfv 6104  (class class class)co 6877  0cc0 10224  +∞cpnf 10359  ℝ^*cxr 10361   ≤ cle 10363   +_𝑒 cxad 12163  [,]cicc 12399  sigAlgebracsiga 30501  measurescmeas 30589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-disj 4820  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-mod 12896  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-bc 13313  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-sin 15023  df-cos 15024  df-pi 15026  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17796  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-cring 18755  df-subrg 18985  df-abv 19024  df-lmod 19072  df-scaf 19073  df-sra 19384  df-rgmod 19385  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-tmd 22093  df-tgp 22094  df-tsms 22147  df-trg 22180  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-nm 22604  df-ngp 22605  df-nrg 22607  df-nlm 22608  df-ii 22897  df-cncf 22898  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24523  df-esum 30421  df-siga 30502  df-meas 30590

This theorem is referenced by:  aean  30638