Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measunl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measunl 30610
Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measunl.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measunl.2 (𝜑𝐴𝑆)
measunl.3 (𝜑𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
measunl (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem measunl
StepHypRef Expression
1 undif1 4246 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
21fveq2i 6414 . . 3 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴𝐵))
3 measunl.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4 measbase 30591 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
6 measunl.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
7 measunl.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
8 difelsiga 30527 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
95, 6, 7, 8syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
10 incom 4011 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵)
11 disjdif 4243 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1210, 11eqtr3i 2837 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
14 measun 30605 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
153, 9, 7, 13, 14syl121anc 1487 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
162, 15syl5eqr 2861 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
17 iccssxr 12477 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 measvxrge0 30599 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
193, 9, 18syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19sseldi 3803 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
21 measvxrge0 30599 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
223, 6, 21syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2317, 22sseldi 3803 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
24 measvxrge0 30599 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
253, 7, 24syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2617, 25sseldi 3803 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
27 inelsiga 30529 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
285, 6, 7, 27syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
29 measvxrge0 30599 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
303, 28, 29syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
31 elxrge0 12504 . . . . . . 7 ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵))))
3230, 31sylib 209 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵))))
3332simprd 485 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)))
3417, 30sseldi 3803 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
35 xraddge02 29854 . . . . . 6 (((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵)))))
3620, 34, 35syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵)))))
3733, 36mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
38 uncom 3963 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
39 inundif 4249 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
4038, 39eqtr3i 2837 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
4140fveq2i 6414 . . . . 5 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴)
42 incom 4011 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵))
43 inindif 29684 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4442, 43eqtr3i 2837 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
46 measun 30605 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
473, 9, 28, 45, 46syl121anc 1487 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
4841, 47syl5eqr 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
4937, 48breqtrrd 4879 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ (𝑀𝐴))
50 xleadd1a 12304 . . 3 ((((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ (𝑀𝐴)) → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
5120, 23, 26, 49, 50syl31anc 1485 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
5216, 51eqbrtrd 4873 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cdif 3773  cun 3774  cin 3775  c0 4123   cuni 4637   class class class wbr 4851  ran crn 5319  cfv 6104  (class class class)co 6877  0cc0 10224  +∞cpnf 10359  *cxr 10361  cle 10363   +𝑒 cxad 12163  [,]cicc 12399  sigAlgebracsiga 30501  measurescmeas 30589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-disj 4820  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-mod 12896  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-bc 13313  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-sin 15023  df-cos 15024  df-pi 15026  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17796  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-cring 18755  df-subrg 18985  df-abv 19024  df-lmod 19072  df-scaf 19073  df-sra 19384  df-rgmod 19385  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-tmd 22093  df-tgp 22094  df-tsms 22147  df-trg 22180  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-nm 22604  df-ngp 22605  df-nrg 22607  df-nlm 22608  df-ii 22897  df-cncf 22898  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24523  df-esum 30421  df-siga 30502  df-meas 30590
This theorem is referenced by:  aean  30638
  Copyright terms: Public domain W3C validator