Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measunl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measunl 32576
Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measunl.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measunl.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
measunl.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
measunl (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))

Proof of Theorem measunl
StepHypRef Expression
1 undif1 4434 . . . 4 ((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡) = (𝐴 βˆͺ 𝐡)
21fveq2i 6841 . . 3 (π‘€β€˜((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡)) = (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
3 measunl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
4 measbase 32557 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6 measunl.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
7 measunl.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
8 difelsiga 32493 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆)
95, 6, 7, 8syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆)
10 disjdifr 4431 . . . . 5 ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∩ 𝐡) = βˆ…
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∩ 𝐡) = βˆ…)
12 measun 32571 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∩ 𝐡) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
133, 9, 7, 11, 12syl121anc 1376 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
142, 13eqtr3id 2792 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
15 iccssxr 13276 . . . 4 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
16 measvxrge0 32565 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
173, 9, 16syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
1815, 17sselid 3941 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ ℝ*)
19 measvxrge0 32565 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
203, 6, 19syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
2115, 20sselid 3941 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
22 measvxrge0 32565 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
233, 7, 22syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2415, 23sselid 3941 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
25 inelsiga 32495 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ 𝑆)
265, 6, 7, 25syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ 𝑆)
27 measvxrge0 32565 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
283, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∈ (0[,]+∞))
29 elxrge0 13303 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))))
3028, 29sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))))
3130simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
3215, 28sselid 3941 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∈ ℝ*)
33 xraddge02 31443 . . . . . 6 (((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ≀ ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))))
3418, 32, 33syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ≀ ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))))
3531, 34mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ≀ ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))))
36 uncom 4112 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = ((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐡))
37 inundif 4437 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴
3836, 37eqtr3i 2768 . . . . . 6 ((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐡)) = 𝐴
3938fveq2i 6841 . . . . 5 (π‘€β€˜((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐡))) = (π‘€β€˜π΄)
40 incom 4160 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∩ (𝐴 ∩ 𝐡))
41 inindif 31228 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = βˆ…
4240, 41eqtr3i 2768 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∩ (𝐴 ∩ 𝐡)) = βˆ…
4342a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∩ (𝐴 ∩ 𝐡)) = βˆ…)
44 measun 32571 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴 βˆ– 𝐡) ∩ (𝐴 ∩ 𝐡)) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐡))) = ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))))
453, 9, 26, 43, 44syl121anc 1376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜((𝐴 βˆ– 𝐡) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐡))) = ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))))
4639, 45eqtr3id 2792 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))))
4735, 46breqtrrd 5132 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ≀ (π‘€β€˜π΄))
48 xleadd1a 13101 . . 3 ((((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*) ∧ (π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) ≀ (π‘€β€˜π΄)) β†’ ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
4918, 21, 24, 47, 48syl31anc 1374 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐴 βˆ– 𝐡)) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
5014, 49eqbrtrd 5126 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ≀ ((π‘€β€˜π΄) +𝑒 (π‘€β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3906   βˆͺ cun 3907   ∩ cin 3908  βˆ…c0 4281  βˆͺ cuni 4864   class class class wbr 5104  ran crn 5632  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124   +𝑒 cxad 12960  [,]cicc 13196  sigAlgebracsiga 32468  measurescmeas 32555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-ac2 10333  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-acn 9812  df-ac 9986  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-fac 14102  df-bc 14131  df-hash 14159  df-shft 14886  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-limsup 15288  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-sum 15506  df-ef 15885  df-sin 15887  df-cos 15888  df-pi 15890  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-starv 17083  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-unif 17091  df-hom 17092  df-cco 17093  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-pt 17261  df-prds 17264  df-ordt 17318  df-xrs 17319  df-qtop 17324  df-imas 17325  df-xps 17327  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-ps 18390  df-tsr 18391  df-plusf 18431  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-mhm 18536  df-submnd 18537  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-mulg 18807  df-subg 18858  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-subrg 20143  df-abv 20199  df-lmod 20247  df-scaf 20248  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294  df-nei 22371  df-lp 22409  df-perf 22410  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-haus 22588  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tmd 23345  df-tgp 23346  df-tsms 23400  df-trg 23433  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-nm 23860  df-ngp 23861  df-nrg 23863  df-nlm 23864  df-ii 24162  df-cncf 24163  df-limc 25152  df-dv 25153  df-log 25834  df-esum 32388  df-siga 32469  df-meas 32556
This theorem is referenced by:  aean  32604
  Copyright terms: Public domain W3C validator