Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measiun 31585
Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measiun.2 (𝜑𝐴𝑆)
measiun.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
measiun.4 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
measiun (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem measiun
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12812 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 measiun.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
3 measiun.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 measvxrge0 31572 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
52, 3, 4syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sseldi 3916 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
7 measbase 31564 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
82, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
9 measiun.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
109ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
11 sigaclcu2 31487 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
128, 10, 11syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
13 measvxrge0 31572 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
142, 12, 13syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
151, 14sseldi 3916 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ*)
16 nnex 11635 . . . 4 ℕ ∈ V
172adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
18 measvxrge0 31572 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1917, 9, 18syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2019ralrimiva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21 nfcv 2958 . . . . 5 𝑛
2221esumcl 31397 . . . 4 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2316, 20, 22sylancr 590 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
241, 23sseldi 3916 . 2 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
25 measiun.4 . . 3 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
262, 3, 12, 25measssd 31582 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵))
27 nfcsb1v 3855 . . . 4 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵
28 csbeq1a 3845 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑛𝐵)
29 eqidd 2802 . . . . 5 (𝜑 → ℕ = ℕ)
3029orcd 870 . . . 4 (𝜑 → (ℕ = ℕ ∨ ℕ = (1..^𝑚)))
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 31584 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)))
3216a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
338adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
34 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
35 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘
3635nfel1 2974 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑘 ∈ ℕ
3727nfel1 2974 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵𝑆
3836, 37nfim 1897 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
3934, 38nfim 1897 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
40 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
4128eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑆𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4240, 41imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)))
4342imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆)) ↔ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))))
449ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆))
4539, 43, 44chvarfv 2241 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4645ralrimiv 3151 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
47 fzossnn 13085 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
48 ssralv 3984 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑛) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
50 sigaclfu2 31488 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5149, 50sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
528, 46, 51syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5352adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
54 difelsiga 31500 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 31572 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
5717, 55, 56syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
58 difssd 4063 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ⊆ 𝐵)
5917, 55, 9, 58measssd 31582 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ (𝑀𝐵))
6032, 57, 19, 59esumle 31425 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
6131, 60eqbrtrd 5055 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 12547 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  csb 3831  cdif 3881  wss 3884   cuni 4803   ciun 4884   class class class wbr 5033  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531  +∞cpnf 10665  *cxr 10667  cle 10669  cn 11629  [,]cicc 12733  ..^cfzo 13032  Σ*cesum 31394  sigAlgebracsiga 31475  measurescmeas 31562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-ordt 16769  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-lmod 19632  df-scaf 19633  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-tsms 22735  df-trg 22768  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196  df-ii 23485  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-esum 31395  df-siga 31476  df-meas 31563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator