Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measiun 33745
Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measiun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
measiun.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
measiun.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡)
Assertion
Ref Expression
measiun (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)
Proof of Theorem measiun
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13410 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 measiun.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
3 measiun.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
4 measvxrge0 33732 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
52, 3, 4syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3975 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
7 measbase 33724 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
82, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
9 measiun.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
11 sigaclcu2 33647 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
128, 10, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
13 measvxrge0 33732 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
142, 12, 13syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
151, 14sselid 3975 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ ℝ*)
16 nnex 12219 . . . 4 β„• ∈ V
172adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
18 measvxrge0 33732 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
1917, 9, 18syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2019ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
21 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑛ℕ
2221esumcl 33557 . . . 4 ((β„• ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2316, 20, 22sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
241, 23sselid 3975 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
25 measiun.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡)
262, 3, 12, 25measssd 33742 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡))
27 nfcsb1v 3913 . . . 4 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅
28 csbeq1a 3902 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)
29 eqidd 2727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• = β„•)
3029orcd 870 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„• = β„• ∨ β„• = (1..^π‘š)))
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 33744 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)))
3216a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
338adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
34 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›πœ‘
35 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›π‘˜
3635nfel1 2913 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛 π‘˜ ∈ β„•
3727nfel1 2913 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆
3836, 37nfim 1891 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
3934, 38nfim 1891 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
40 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ β„•))
4128eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4240, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆) ↔ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)))
4342imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))))
449ex 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
4539, 43, 44chvarfv 2225 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4645ralrimiv 3139 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
47 fzossnn 13684 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑛) βŠ† β„•
48 ssralv 4045 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑛) βŠ† β„• β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
50 sigaclfu2 33648 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
5149, 50sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
528, 46, 51syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
54 difelsiga 33660 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 33732 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ∈ (0[,]+∞))
5717, 55, 56syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ∈ (0[,]+∞))
58 difssd 4127 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) βŠ† 𝐡)
5917, 55, 9, 58measssd 33742 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ≀ (π‘€β€˜π΅))
6032, 57, 19, 59esumle 33585 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
6131, 60eqbrtrd 5163 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 13144 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  [,]cicc 13330  ..^cfzo 13630  Ξ£*cesum 33554  sigAlgebracsiga 33635  measurescmeas 33722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-ordt 17453  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-plusf 18569  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-abv 20657  df-lmod 20705  df-scaf 20706  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-tmd 23926  df-tgp 23927  df-tsms 23981  df-trg 24014  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-nm 24441  df-ngp 24442  df-nrg 24444  df-nlm 24445  df-ii 24747  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-esum 33555  df-siga 33636  df-meas 33723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator