Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measiun 34051
Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measiun.2 (𝜑𝐴𝑆)
measiun.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
measiun.4 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
measiun (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem measiun
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13461 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 measiun.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
3 measiun.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 measvxrge0 34038 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
52, 3, 4syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3977 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
7 measbase 34030 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
82, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
9 measiun.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
109ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
11 sigaclcu2 33953 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
128, 10, 11syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
13 measvxrge0 34038 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
142, 12, 13syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
151, 14sselid 3977 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ*)
16 nnex 12270 . . . 4 ℕ ∈ V
172adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
18 measvxrge0 34038 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1917, 9, 18syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2019ralrimiva 3136 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21 nfcv 2892 . . . . 5 𝑛
2221esumcl 33863 . . . 4 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2316, 20, 22sylancr 585 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
241, 23sselid 3977 . 2 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
25 measiun.4 . . 3 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
262, 3, 12, 25measssd 34048 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵))
27 nfcsb1v 3917 . . . 4 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵
28 csbeq1a 3906 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑛𝐵)
29 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → ℕ = ℕ)
3029orcd 871 . . . 4 (𝜑 → (ℕ = ℕ ∨ ℕ = (1..^𝑚)))
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 34050 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)))
3216a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
338adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
34 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
35 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘
3635nfel1 2909 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑘 ∈ ℕ
3727nfel1 2909 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵𝑆
3836, 37nfim 1892 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
3934, 38nfim 1892 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
40 eleq1w 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
4128eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑆𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4240, 41imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)))
4342imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆)) ↔ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))))
449ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆))
4539, 43, 44chvarfv 2229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4645ralrimiv 3135 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
47 fzossnn 13735 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
48 ssralv 4048 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑛) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
50 sigaclfu2 33954 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5149, 50sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
528, 46, 51syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5352adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
54 difelsiga 33966 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 34038 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
5717, 55, 56syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
58 difssd 4132 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ⊆ 𝐵)
5917, 55, 9, 58measssd 34048 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ (𝑀𝐵))
6032, 57, 19, 59esumle 33891 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
6131, 60eqbrtrd 5175 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 13195 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  csb 3892  cdif 3944  wss 3947   cuni 4913   ciun 5001   class class class wbr 5153  ran crn 5683  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159  +∞cpnf 11295  *cxr 11297  cle 11299  cn 12264  [,]cicc 13381  ..^cfzo 13681  Σ*cesum 33860  sigAlgebracsiga 33941  measurescmeas 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-ac2 10506  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-ac 10159  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-ordt 17516  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-ps 18591  df-tsr 18592  df-plusf 18632  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-abv 20788  df-lmod 20838  df-scaf 20839  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-tmd 24067  df-tgp 24068  df-tsms 24122  df-trg 24155  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-nm 24582  df-ngp 24583  df-nrg 24585  df-nlm 24586  df-ii 24888  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-esum 33861  df-siga 33942  df-meas 34029
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator