Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measiun 31481
Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measiun.2 (𝜑𝐴𝑆)
measiun.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
measiun.4 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
measiun (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem measiun
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12822 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 measiun.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
3 measiun.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 measvxrge0 31468 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
52, 3, 4syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sseldi 3968 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
7 measbase 31460 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
82, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
9 measiun.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝑆)
109ralrimiva 3185 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
11 sigaclcu2 31383 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
128, 10, 11syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆)
13 measvxrge0 31468 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ 𝐵𝑆) → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
142, 12, 13syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
151, 14sseldi 3968 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ*)
16 nnex 11647 . . . 4 ℕ ∈ V
172adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
18 measvxrge0 31468 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1917, 9, 18syl2anc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2019ralrimiva 3185 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
21 nfcv 2980 . . . . 5 𝑛
2221esumcl 31293 . . . 4 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2316, 20, 22sylancr 589 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
241, 23sseldi 3968 . 2 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
25 measiun.4 . . 3 (𝜑𝐴 𝑛 ∈ ℕ 𝐵)
262, 3, 12, 25measssd 31478 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵))
27 nfcsb1v 3910 . . . 4 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵
28 csbeq1a 3900 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐵 = 𝑘 / 𝑛𝐵)
29 eqidd 2825 . . . . 5 (𝜑 → ℕ = ℕ)
3029orcd 869 . . . 4 (𝜑 → (ℕ = ℕ ∨ ℕ = (1..^𝑚)))
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 31480 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)))
3216a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
338adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
34 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
35 nfcv 2980 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘
3635nfel1 2997 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑘 ∈ ℕ
3727nfel1 2997 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑘 / 𝑛𝐵𝑆
3836, 37nfim 1896 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
3934, 38nfim 1896 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
40 eleq1w 2898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
4128eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑆𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4240, 41imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆) ↔ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)))
4342imbi2d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆)) ↔ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))))
449ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐵𝑆))
4539, 43, 44chvarfv 2241 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4645ralrimiv 3184 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
47 fzossnn 13089 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
48 ssralv 4036 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑛) ⊆ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
50 sigaclfu2 31384 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5149, 50sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
528, 46, 51syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
5352adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆)
54 difelsiga 31396 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵𝑆) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 31468 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
5717, 55, 56syl2anc 586 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
58 difssd 4112 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵) ⊆ 𝐵)
5917, 55, 9, 58measssd 31478 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ (𝑀𝐵))
6032, 57, 19, 59esumle 31321 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘(𝐵 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑘 / 𝑛𝐵)) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
6131, 60eqbrtrd 5091 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ 𝐵) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 12558 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wral 3141  Vcvv 3497  csb 3886  cdif 3936  wss 3939   cuni 4841   ciun 4922   class class class wbr 5069  ran crn 5559  cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541  +∞cpnf 10675  *cxr 10677  cle 10679  cn 11641  [,]cicc 12744  ..^cfzo 13036  Σ*cesum 31290  sigAlgebracsiga 31371  measurescmeas 31458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-ac2 9888  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-acn 9374  df-ac 9545  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-pi 15429  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-ordt 16777  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-ps 17813  df-tsr 17814  df-plusf 17854  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-subrg 19536  df-abv 19591  df-lmod 19639  df-scaf 19640  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-tmd 22683  df-tgp 22684  df-tsms 22738  df-trg 22771  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-nm 23195  df-ngp 23196  df-nrg 23198  df-nlm 23199  df-ii 23488  df-cncf 23489  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25143  df-esum 31291  df-siga 31372  df-meas 31459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator