Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measiun 33870
Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measiun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
measiun.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
measiun.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡)
Assertion
Ref Expression
measiun (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)
Proof of Theorem measiun
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13447 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 measiun.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
3 measiun.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
4 measvxrge0 33857 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
52, 3, 4syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3980 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
7 measbase 33849 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
82, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
9 measiun.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
11 sigaclcu2 33772 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
128, 10, 11syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
13 measvxrge0 33857 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
142, 12, 13syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
151, 14sselid 3980 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ ℝ*)
16 nnex 12256 . . . 4 β„• ∈ V
172adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
18 measvxrge0 33857 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
1917, 9, 18syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2019ralrimiva 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
21 nfcv 2899 . . . . 5 Ⅎ𝑛ℕ
2221esumcl 33682 . . . 4 ((β„• ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2316, 20, 22sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
241, 23sselid 3980 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
25 measiun.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡)
262, 3, 12, 25measssd 33867 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡))
27 nfcsb1v 3919 . . . 4 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅
28 csbeq1a 3908 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)
29 eqidd 2729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• = β„•)
3029orcd 871 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„• = β„• ∨ β„• = (1..^π‘š)))
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 33869 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)))
3216a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
338adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
34 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›πœ‘
35 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›π‘˜
3635nfel1 2916 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛 π‘˜ ∈ β„•
3727nfel1 2916 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆
3836, 37nfim 1891 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
3934, 38nfim 1891 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
40 eleq1w 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ β„•))
4128eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4240, 41imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆) ↔ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)))
4342imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))))
449ex 411 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
4539, 43, 44chvarfv 2228 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4645ralrimiv 3142 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
47 fzossnn 13721 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑛) βŠ† β„•
48 ssralv 4050 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑛) βŠ† β„• β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
50 sigaclfu2 33773 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
5149, 50sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
528, 46, 51syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
5352adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
54 difelsiga 33785 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 33857 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ∈ (0[,]+∞))
5717, 55, 56syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ∈ (0[,]+∞))
58 difssd 4133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) βŠ† 𝐡)
5917, 55, 9, 58measssd 33867 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ≀ (π‘€β€˜π΅))
6032, 57, 19, 59esumle 33710 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
6131, 60eqbrtrd 5174 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 13181 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912  βˆͺ ciun 5000   class class class wbr 5152  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  [,]cicc 13367  ..^cfzo 13667  Ξ£*cesum 33679  sigAlgebracsiga 33760  measurescmeas 33847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-plusf 18606  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-abv 20704  df-lmod 20752  df-scaf 20753  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tmd 23996  df-tgp 23997  df-tsms 24051  df-trg 24084  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-nm 24511  df-ngp 24512  df-nrg 24514  df-nlm 24515  df-ii 24817  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-esum 33680  df-siga 33761  df-meas 33848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator