Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem measiun 33204
Description: A measure is sub-additive. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiun.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
measiun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
measiun.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
measiun.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡)
Assertion
Ref Expression
measiun (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)
Proof of Theorem measiun
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13403 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 measiun.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
3 measiun.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
4 measvxrge0 33191 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ*)
7 measbase 33183 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
82, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
9 measiun.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
109ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
11 sigaclcu2 33106 . . . . 5 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
128, 10, 11syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆)
13 measvxrge0 33191 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
142, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ (0[,]+∞))
151, 14sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ∈ ℝ*)
16 nnex 12214 . . . 4 β„• ∈ V
172adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
18 measvxrge0 33191 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
1917, 9, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2019ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
21 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑛ℕ
2221esumcl 33016 . . . 4 ((β„• ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
2316, 20, 22sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
241, 23sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅) ∈ ℝ*)
25 measiun.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡)
262, 3, 12, 25measssd 33201 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡))
27 nfcsb1v 3917 . . . 4 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅
28 csbeq1a 3906 . . . 4 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝐡 = β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)
29 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• = β„•)
3029orcd 871 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„• = β„• ∨ β„• = (1..^π‘š)))
3127, 28, 30, 2, 9measiuns 33203 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) = Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)))
3216a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
338adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
34 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›πœ‘
35 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›π‘˜
3635nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛 π‘˜ ∈ β„•
3727nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘›β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆
3836, 37nfim 1899 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
3934, 38nfim 1899 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
40 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ β„•))
4128eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ 𝑆 ↔ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4240, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆) ↔ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)))
4342imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))))
449ex 413 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
4539, 43, 44chvarfv 2233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4645ralrimiv 3145 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
47 fzossnn 13677 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑛) βŠ† β„•
48 ssralv 4049 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑛) βŠ† β„• β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
50 sigaclfu2 33107 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
5149, 50sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
528, 46, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
5352adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆)
54 difelsiga 33119 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅ ∈ 𝑆) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆)
5533, 9, 53, 54syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 33191 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ∈ (0[,]+∞))
5717, 55, 56syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ∈ (0[,]+∞))
58 difssd 4131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅) βŠ† 𝐡)
5917, 55, 9, 58measssd 33201 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ≀ (π‘€β€˜π΅))
6032, 57, 19, 59esumle 33044 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐡 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)β¦‹π‘˜ / π‘›β¦Œπ΅)) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
6131, 60eqbrtrd 5169 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• 𝐡) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
626, 15, 24, 26, 61xrletrd 13137 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ Ξ£*𝑛 ∈ β„•(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  β¦‹csb 3892   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  [,]cicc 13323  ..^cfzo 13623  Ξ£*cesum 33013  sigAlgebracsiga 33094  measurescmeas 33181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-esum 33014  df-siga 33095  df-meas 33182
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator