Theorem probmeasb 34464

Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probmeasb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measinb 34255	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
2		measdivcstALTV 34259	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
3	1, 2	stoic3 1777	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
4		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))))
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	ineq1d 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11		measbase 34231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15		inelsiga 34169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
17		measvxrge0 34239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
18	10, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
19	4, 7, 8, 18	fvmptd 6942	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
20	19	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)))
21		iccssxr 13332	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22	21, 18	sselid 3928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
23		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 12936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
26		0xr 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		pnfxr 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28		iccgelb 13304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
29	26, 27, 28	mp3an12 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
31		inss2 4187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	10, 16, 14, 32	measssd 34249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))
34		xrrege0 13075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
35	22, 25, 30, 33, 34	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
36	24	rpne0d 12941	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
37		rexdiv 32913	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
38	35, 25, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
39	20, 38	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
40	39	mpteq2dva 5186	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
41	35, 24	rerpdivcld 12967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
42	41	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
43		dmmptg 6194	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
45	44	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = (measures‘𝑆))
46	45	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘𝑆) = (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
47	3, 40, 46	3eltr3d 2847	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
48		measbasedom 34236	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
49	47, 48	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures)
50	44	unieqd 4871	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = ∪ 𝑆)
51	50	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆))
52		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
53	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
54	53	rpcnd 12938	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
55	23	rpne0d 12941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → 𝑥 = ∪ 𝑆)
58	57	ineq1d 4168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
59		incom 4158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑆)
60		elssuni 4889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
61		dfss2 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
62	60, 61	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
63	59, 62	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
64	13, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
66	58, 65	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝐴)
67	66	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘𝐴))
68	54, 56, 67	diveq1bd 11952	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) = 1)
69		sgon 34158	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆))
70		baselsiga 34149	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
71	9, 11, 69, 70	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
72		1red 11120	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
73	52, 68, 71, 72	fvmptd 6942	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆) = 1)
74	51, 73	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1)
75		elprob 34443	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1))
76	49, 74, 75	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   ≤ cle 11154   / cdiv 11781  ℝ⁺crp 12892  [,]cicc 13250   /_𝑒 cxdiv 32904  sigAlgebracsiga 34142  measurescmeas 34229  Probcprb 34441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-ordt 17407  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-ps 18474  df-tsr 18475  df-plusf 18549  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-abv 20726  df-lmod 20797  df-scaf 20798  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-tmd 23988  df-tgp 23989  df-tsms 24043  df-trg 24076  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-nm 24498  df-ngp 24499  df-nrg 24501  df-nlm 24502  df-ii 24798  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-xdiv 32905  df-esum 34062  df-siga 34143  df-meas 34230  df-prob 34442

This theorem is referenced by:  cndprobprob  34472