Theorem probmeasb 35108

Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probmeasb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measinb 34900	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
2		measdivcstALTV 34904	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /e (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
3	1, 2	stoic3 1808	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /e (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
4		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))))
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	ineq1d 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
8		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11		measbase 34876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15		inelsiga 34814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
17		measvxrge0 34884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
18	10, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
19	4, 7, 8, 18	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
20	19	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /e (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /e (𝑀‘𝐴)))
21		iccssxr 13564	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22	21, 18	sselid 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
23		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 13167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
26		0xr 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		pnfxr 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28		iccgelb 13536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
29	26, 27, 28	mp3an12 1480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
30	18, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
31		inss2 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	10, 16, 14, 32	measssd 34894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))
34		xrrege0 13307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
35	22, 25, 30, 33, 34	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
36	24	rpne0d 13172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
37		rexdiv 33538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /e (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
38	35, 25, 36, 37	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /e (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
39	20, 38	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /e (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
40	39	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /e (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
41	35, 24	rerpdivcld 13198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
42	41	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
43		dmmptg 6243	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
44	42, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
45	44	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = (measures‘𝑆))
46	45	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘𝑆) = (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
47	3, 40, 46	3eltr3d 2874	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
48		measbasedom 34881	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
49	47, 48	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures)
50	44	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = ∪ 𝑆)
51	50	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆))
52		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
53	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
54	53	rpcnd 13169	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
55	23	rpne0d 13172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
56	55	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
57		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → 𝑥 = ∪ 𝑆)
58	57	ineq1d 4116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
59		incom 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑆)
60		elssuni 4898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
61		dfss2 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
62	60, 61	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
63	59, 62	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
64	13, 63	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
65	64	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
66	58, 65	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝐴)
67	66	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘𝐴))
68	54, 56, 67	diveq1bd 12144	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) = 1)
69		sgon 34802	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆))
70		baselsiga 34793	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
71	9, 11, 69, 70	4syl 20	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
72		1red 11312	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
73	52, 68, 71, 72	fvmptd 7001	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆) = 1)
74	51, 73	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1)
75		elprob 35087	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1))
76	49, 74, 75	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   ≤ cle 11347   / cdiv 11976  ℝ⁺crp 13123  [,]cicc 13482   /_e cxdiv 33529  sigAlgebracsiga 34786  measurescmeas 34874  Probcprb 35085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-ordt 17678  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-ps 18745  df-tsr 18746  df-plusf 18820  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-abv 21071  df-lmod 21142  df-scaf 21143  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-tmd 24396  df-tgp 24397  df-tsms 24451  df-trg 24484  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-nm 24906  df-ngp 24907  df-nrg 24909  df-nlm 24910  df-ii 25203  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-xdiv 33530  df-esum 34706  df-siga 34787  df-meas 34875  df-prob 35086

This theorem is used by:  cndprobprob  35116