Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probmeasb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probmeasb 31959
Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probmeasb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probmeasb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measinb 31751 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
2 measdivcstALTV 31755 . . . . 5 (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
31, 2stoic3 1783 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
4 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))))
5 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
65ineq1d 4100 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐴) = (𝑥𝐴))
76fveq2d 6672 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) = (𝑀‘(𝑥𝐴)))
8 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
109adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11 measbase 31727 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
13 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 𝐴𝑆)
1413adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴𝑆)
15 inelsiga 31665 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
1612, 8, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
17 measvxrge0 31735 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
1810, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
194, 7, 8, 18fvmptd 6776 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) = (𝑀‘(𝑥𝐴)))
2019oveq1d 7179 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) /𝑒 (𝑀𝐴)))
21 iccssxr 12897 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2221, 18sseldi 3873 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ*)
23 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ+)
2423adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ+)
2524rpred 12507 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
26 0xr 10759 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
27 pnfxr 10766 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
28 iccgelb 12870 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
2926, 27, 28mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 ((𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
3018, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
31 inss2 4118 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴)
3310, 16, 14, 32measssd 31745 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ≤ (𝑀𝐴))
34 xrrege0 12643 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∧ (𝑀‘(𝑥𝐴)) ≤ (𝑀𝐴))) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
3522, 25, 30, 33, 34syl22anc 838 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
3624rpne0d 12512 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝐴) ≠ 0)
37 rexdiv 30767 . . . . . . 7 (((𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝐴) ≠ 0) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))
3835, 25, 36, 37syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))
3920, 38eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))
4039mpteq2dva 5122 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))))
4135, 24rerpdivcld 12538 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) ∈ ℝ)
4241ralrimiva 3096 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑆 ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) ∈ ℝ)
43 dmmptg 6068 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = 𝑆)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = 𝑆)
4544fveq2d 6672 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = (measures‘𝑆))
4645eqcomd 2744 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘𝑆) = (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))))
473, 40, 463eltr3d 2847 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))))
48 measbasedom 31732 . . 3 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ ran measures ↔ (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))))
4947, 48sylibr 237 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ ran measures)
5044unieqd 4807 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = 𝑆)
5150fveq2d 6672 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ 𝑆))
52 eqidd 2739 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))))
5323adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 12509 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℂ)
5523rpne0d 12512 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀𝐴) ≠ 0)
5655adantr 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀𝐴) ≠ 0)
57 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 = 𝑆)
5857ineq1d 4100 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑥𝐴) = ( 𝑆𝐴))
59 incom 4089 . . . . . . . . . 10 ( 𝑆𝐴) = (𝐴 𝑆)
60 elssuni 4825 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆𝐴 𝑆)
61 df-ss 3858 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑆 ↔ (𝐴 𝑆) = 𝐴)
6260, 61sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → (𝐴 𝑆) = 𝐴)
6359, 62syl5eq 2785 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑆 → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
6413, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
6564adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
6658, 65eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑥𝐴) = 𝐴)
6766fveq2d 6672 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀𝐴))
6854, 56, 67diveq1bd 11535 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) = 1)
69 sgon 31654 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑆))
70 baselsiga 31645 . . . . 5 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑆) → 𝑆𝑆)
719, 11, 69, 704syl 19 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑆𝑆)
72 1red 10713 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
7352, 68, 71, 72fvmptd 6776 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ 𝑆) = 1)
7451, 73eqtrd 2773 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = 1)
75 elprob 31938 . 2 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ Prob ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ ran measures ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = 1))
7649, 74, 75sylanbrc 586 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  cin 3840  wss 3841   cuni 4793   class class class wbr 5027  cmpt 5107  dom cdm 5519  ran crn 5520  cfv 6333  (class class class)co 7164  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609  +∞cpnf 10743  *cxr 10745  cle 10747   / cdiv 11368  +crp 12465  [,]cicc 12817   /𝑒 cxdiv 30758  sigAlgebracsiga 31638  measurescmeas 31725  Probcprb 31936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-ac2 9956  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-disj 4993  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-acn 9437  df-ac 9609  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-ordt 16870  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-ps 17919  df-tsr 17920  df-plusf 17960  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-subrg 19645  df-abv 19700  df-lmod 19748  df-scaf 19749  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-tmd 22816  df-tgp 22817  df-tsms 22871  df-trg 22904  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-nm 23328  df-ngp 23329  df-nrg 23331  df-nlm 23332  df-ii 23622  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292  df-xdiv 30759  df-esum 31558  df-siga 31639  df-meas 31726  df-prob 31937
This theorem is referenced by:  cndprobprob  31967
  Copyright terms: Public domain W3C validator