Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probmeasb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probmeasb 33727
Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probmeasb ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ Prob)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem probmeasb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measinb 33517 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 measdivcstALTV 33521 . . . . 5 (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜π΄))) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
31, 2stoic3 1776 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜π΄))) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
4 eqidd 2731 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴))))
5 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
65ineq1d 4210 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) = (π‘₯ ∩ 𝐴))
76fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))
8 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
9 simp1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
109adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
11 measbase 33493 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
13 simp2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1413adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
15 inelsiga 33431 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
1612, 8, 14, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
17 measvxrge0 33501 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘₯ ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
1810, 16, 17syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
194, 7, 8, 18fvmptd 7004 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))
2019oveq1d 7426 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) /𝑒 (π‘€β€˜π΄)))
21 iccssxr 13411 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2221, 18sselid 3979 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
23 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+)
2524rpred 13020 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ)
26 0xr 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
27 pnfxr 11272 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
28 iccgelb 13384 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))
2926, 27, 28mp3an12 1449 . . . . . . . . 9 ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))
3018, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)))
31 inss2 4228 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
3310, 16, 14, 32measssd 33511 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜π΄))
34 xrrege0 13157 . . . . . . . 8 ((((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∧ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜π΄))) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
3522, 25, 30, 33, 34syl22anc 835 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
3624rpne0d 13025 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  0)
37 rexdiv 32359 . . . . . . 7 (((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (π‘€β€˜π΄) β‰  0) β†’ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) /𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))
3835, 25, 36, 37syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) /𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))
3920, 38eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜π΄)) = ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))
4039mpteq2dva 5247 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘€β€˜(𝑦 ∩ 𝐴)))β€˜π‘₯) /𝑒 (π‘€β€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))))
4135, 24rerpdivcld 13051 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)) ∈ ℝ)
4241ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)) ∈ ℝ)
43 dmmptg 6240 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) = 𝑆)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) = 𝑆)
4544fveq2d 6894 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))) = (measuresβ€˜π‘†))
4645eqcomd 2736 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (measuresβ€˜π‘†) = (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))))
473, 40, 463eltr3d 2845 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))))
48 measbasedom 33498 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ βˆͺ ran measures ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ (measuresβ€˜dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))))
4947, 48sylibr 233 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ βˆͺ ran measures)
5044unieqd 4921 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) = βˆͺ 𝑆)
5150fveq2d 6894 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))β€˜βˆͺ 𝑆))
52 eqidd 2731 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))))
5323adantr 479 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 13022 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) ∈ β„‚)
5523rpne0d 13025 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  0)
5655adantr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π΄) β‰  0)
57 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ π‘₯ = βˆͺ 𝑆)
5857ineq1d 4210 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴))
59 incom 4200 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ βˆͺ 𝑆)
60 elssuni 4940 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
61 df-ss 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝑆) = 𝐴)
6260, 61sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝐴 ∩ βˆͺ 𝑆) = 𝐴)
6359, 62eqtrid 2782 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6413, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6564adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ (βˆͺ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6658, 65eqtrd 2770 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = 𝐴)
6766fveq2d 6894 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜π΄))
6854, 56, 67diveq1bd 12042 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)) = 1)
69 sgon 33420 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆))
70 baselsiga 33411 . . . . 5 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
719, 11, 69, 704syl 19 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
72 1red 11219 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
7352, 68, 71, 72fvmptd 7004 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))β€˜βˆͺ 𝑆) = 1)
7451, 73eqtrd 2770 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))) = 1)
75 elprob 33706 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ Prob ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ βˆͺ ran measures ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))β€˜βˆͺ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄)))) = 1))
7649, 74, 75sylanbrc 581 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘€β€˜π΄) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜(π‘₯ ∩ 𝐴)) / (π‘€β€˜π΄))) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„+crp 12978  [,]cicc 13331   /𝑒 cxdiv 32350  sigAlgebracsiga 33404  measurescmeas 33491  Probcprb 33704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-scaf 20617  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tmd 23796  df-tgp 23797  df-tsms 23851  df-trg 23884  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-ii 24617  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-xdiv 32351  df-esum 33324  df-siga 33405  df-meas 33492  df-prob 33705
This theorem is referenced by:  cndprobprob  33735
  Copyright terms: Public domain W3C validator