Theorem probmeasb 31959

Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probmeasb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measinb 31751	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
2		measdivcstALTV 31755	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
3	1, 2	stoic3 1783	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
4		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))))
5		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	ineq1d 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6672	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
8		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simp1 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
10	9	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11		measbase 31727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15		inelsiga 31665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
17		measvxrge0 31735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
18	10, 16, 17	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
19	4, 7, 8, 18	fvmptd 6776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
20	19	oveq1d 7179	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)))
21		iccssxr 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22	21, 18	sseldi 3873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
23		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
24	23	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
26		0xr 10759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		pnfxr 10766	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28		iccgelb 12870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
29	26, 27, 28	mp3an12 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
31		inss2 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	10, 16, 14, 32	measssd 31745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))
34		xrrege0 12643	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
35	22, 25, 30, 33, 34	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
36	24	rpne0d 12512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
37		rexdiv 30767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
38	35, 25, 36, 37	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
39	20, 38	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
40	39	mpteq2dva 5122	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
41	35, 24	rerpdivcld 12538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
42	41	ralrimiva 3096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
43		dmmptg 6068	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
45	44	fveq2d 6672	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = (measures‘𝑆))
46	45	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘𝑆) = (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
47	3, 40, 46	3eltr3d 2847	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
48		measbasedom 31732	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
49	47, 48	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures)
50	44	unieqd 4807	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = ∪ 𝑆)
51	50	fveq2d 6672	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆))
52		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
53	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
54	53	rpcnd 12509	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
55	23	rpne0d 12512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
56	55	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
57		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → 𝑥 = ∪ 𝑆)
58	57	ineq1d 4100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
59		incom 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑆)
60		elssuni 4825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
61		df-ss 3858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
62	60, 61	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
63	59, 62	syl5eq 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
64	13, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
65	64	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
66	58, 65	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝐴)
67	66	fveq2d 6672	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘𝐴))
68	54, 56, 67	diveq1bd 11535	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) = 1)
69		sgon 31654	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆))
70		baselsiga 31645	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
71	9, 11, 69, 70	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
72		1red 10713	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
73	52, 68, 71, 72	fvmptd 6776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆) = 1)
74	51, 73	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1)
75		elprob 31938	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1))
76	49, 74, 75	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ∩ cin 3840   ⊆ wss 3841  ∪ cuni 4793   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107  dom cdm 5519  ran crn 5520  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℝcr 10607  0cc0 10608  1c1 10609  +∞cpnf 10743  ℝ^*cxr 10745   ≤ cle 10747   / cdiv 11368  ℝ⁺crp 12465  [,]cicc 12817   /_𝑒 cxdiv 30758  sigAlgebracsiga 31638  measurescmeas 31725  Probcprb 31936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-ac2 9956  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-disj 4993  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-acn 9437  df-ac 9609  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-ordt 16870  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-ps 17919  df-tsr 17920  df-plusf 17960  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-subrg 19645  df-abv 19700  df-lmod 19748  df-scaf 19749  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-tmd 22816  df-tgp 22817  df-tsms 22871  df-trg 22904  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-nm 23328  df-ngp 23329  df-nrg 23331  df-nlm 23332  df-ii 23622  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292  df-xdiv 30759  df-esum 31558  df-siga 31639  df-meas 31726  df-prob 31937

This theorem is referenced by:  cndprobprob  31967