Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probmeasb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probmeasb 31676
 Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probmeasb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probmeasb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measinb 31468 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
2 measdivcstALTV 31472 . . . . 5 (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
31, 2stoic3 1770 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
4 eqidd 2820 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴))))
5 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
65ineq1d 4186 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐴) = (𝑥𝐴))
76fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) = (𝑀‘(𝑥𝐴)))
8 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9 simp1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
109adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11 measbase 31444 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
13 simp2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 𝐴𝑆)
1413adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴𝑆)
15 inelsiga 31382 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
1612, 8, 14, 15syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
17 measvxrge0 31452 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
1810, 16, 17syl2anc 586 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
194, 7, 8, 18fvmptd 6768 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) = (𝑀‘(𝑥𝐴)))
2019oveq1d 7163 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) /𝑒 (𝑀𝐴)))
21 iccssxr 12811 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2221, 18sseldi 3963 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ*)
23 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ+)
2423adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ+)
2524rpred 12423 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
26 0xr 10680 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
27 pnfxr 10687 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
28 iccgelb 12785 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
2926, 27, 28mp3an12 1444 . . . . . . . . 9 ((𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
3018, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
31 inss2 4204 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐴) ⊆ 𝐴)
3310, 16, 14, 32measssd 31462 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ≤ (𝑀𝐴))
34 xrrege0 12559 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∧ (𝑀‘(𝑥𝐴)) ≤ (𝑀𝐴))) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
3522, 25, 30, 33, 34syl22anc 836 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
3624rpne0d 12428 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝐴) ≠ 0)
37 rexdiv 30595 . . . . . . 7 (((𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝐴) ≠ 0) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))
3835, 25, 36, 37syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))
3920, 38eqtrd 2854 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))
4039mpteq2dva 5152 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝑦𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))))
4135, 24rerpdivcld 12454 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) ∈ ℝ)
4241ralrimiva 3180 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ∀𝑥𝑆 ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) ∈ ℝ)
43 dmmptg 6089 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = 𝑆)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = 𝑆)
4544fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = (measures‘𝑆))
4645eqcomd 2825 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘𝑆) = (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))))
473, 40, 463eltr3d 2925 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))))
48 measbasedom 31449 . . 3 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ ran measures ↔ (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))))
4947, 48sylibr 236 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ ran measures)
5044unieqd 4840 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = 𝑆)
5150fveq2d 6667 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ 𝑆))
52 eqidd 2820 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))))
5323adantr 483 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 12425 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ ℂ)
5523rpne0d 12428 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀𝐴) ≠ 0)
5655adantr 483 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀𝐴) ≠ 0)
57 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 = 𝑆)
5857ineq1d 4186 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑥𝐴) = ( 𝑆𝐴))
59 incom 4176 . . . . . . . . . 10 ( 𝑆𝐴) = (𝐴 𝑆)
60 elssuni 4859 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆𝐴 𝑆)
61 df-ss 3950 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑆 ↔ (𝐴 𝑆) = 𝐴)
6260, 61sylib 220 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → (𝐴 𝑆) = 𝐴)
6359, 62syl5eq 2866 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑆 → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
6413, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
6564adantr 483 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ( 𝑆𝐴) = 𝐴)
6658, 65eqtrd 2854 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑥𝐴) = 𝐴)
6766fveq2d 6667 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀𝐴))
6854, 56, 67diveq1bd 11456 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)) = 1)
69 sgon 31371 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑆))
70 baselsiga 31362 . . . . 5 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑆) → 𝑆𝑆)
719, 11, 69, 704syl 19 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑆𝑆)
72 1red 10634 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
7352, 68, 71, 72fvmptd 6768 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ 𝑆) = 1)
7451, 73eqtrd 2854 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = 1)
75 elprob 31655 . 2 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ Prob ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ ran measures ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴)))) = 1))
7649, 74, 75sylanbrc 585 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆 ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥𝐴)) / (𝑀𝐴))) ∈ Prob)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∀wral 3136   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  ∪ cuni 4830   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668   / cdiv 11289  ℝ+crp 12381  [,]cicc 12733   /𝑒 cxdiv 30586  sigAlgebracsiga 31355  measurescmeas 31442  Probcprb 31653 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-subrg 19525  df-abv 19580  df-lmod 19628  df-scaf 19629  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-tmd 22672  df-tgp 22673  df-tsms 22727  df-trg 22760  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-nm 23184  df-ngp 23185  df-nrg 23187  df-nlm 23188  df-ii 23477  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-xdiv 30587  df-esum 31275  df-siga 31356  df-meas 31443  df-prob 31654 This theorem is referenced by:  cndprobprob  31684
 Copyright terms: Public domain W3C validator