Theorem probmeasb 34798

Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probmeasb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measinb 34589	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
2		measdivcstALTV 34593	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
3	1, 2	stoic3 1806	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
4		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))))
5		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	ineq1d 4173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
8		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
10	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11		measbase 34565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15		inelsiga 34503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
17		measvxrge0 34573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
18	10, 16, 17	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
19	4, 7, 8, 18	fvmptd 6999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
20	19	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)))
21		iccssxr 13458	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22	21, 18	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
23		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 13061	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
26		0xr 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		pnfxr 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28		iccgelb 13430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
29	26, 27, 28	mp3an12 1480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
30	18, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
31		inss2 4191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	10, 16, 14, 32	measssd 34583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))
34		xrrege0 13201	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
35	22, 25, 30, 33, 34	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
36	24	rpne0d 13066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
37		rexdiv 33223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
38	35, 25, 36, 37	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
39	20, 38	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
40	39	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
41	35, 24	rerpdivcld 13092	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
42	41	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
43		dmmptg 6245	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
44	42, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
45	44	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = (measures‘𝑆))
46	45	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘𝑆) = (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
47	3, 40, 46	3eltr3d 2877	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
48		measbasedom 34570	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
49	47, 48	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures)
50	44	unieqd 4886	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = ∪ 𝑆)
51	50	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆))
52		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
53	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
54	53	rpcnd 13063	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
55	23	rpne0d 13066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
56	55	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
57		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → 𝑥 = ∪ 𝑆)
58	57	ineq1d 4173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
59		incom 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑆)
60		elssuni 4905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
61		dfss2 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
62	60, 61	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
63	59, 62	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
64	13, 63	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
65	64	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
66	58, 65	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝐴)
67	66	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘𝐴))
68	54, 56, 67	diveq1bd 12040	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) = 1)
69		sgon 34492	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆))
70		baselsiga 34483	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
71	9, 11, 69, 70	4syl 20	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
72		1red 11210	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
73	52, 68, 71, 72	fvmptd 6999	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆) = 1)
74	51, 73	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1)
75		elprob 34777	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1))
76	49, 74, 75	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  ℝ⁺crp 13017  [,]cicc 13376   /_𝑒 cxdiv 33214  sigAlgebracsiga 34476  measurescmeas 34563  Probcprb 34775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-ac2 10448  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-ordt 17556  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-plusf 18698  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-abv 20893  df-lmod 20964  df-scaf 20965  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-tmd 24210  df-tgp 24211  df-tsms 24265  df-trg 24298  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-nrg 24723  df-nlm 24724  df-ii 25017  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26699  df-xdiv 33215  df-esum 34396  df-siga 34477  df-meas 34564  df-prob 34776

This theorem is referenced by:  cndprobprob  34806