Theorem probmeasb 34050

Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probmeasb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measinb 33840	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
2		measdivcstALTV 33844	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
3	1, 2	stoic3 1771	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
4		eqidd 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴))))
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
6	5	ineq1d 4211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6901	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simp1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11		measbase 33816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
15		inelsiga 33754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
16	12, 8, 14, 15	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
17		measvxrge0 33824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
18	10, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
19	4, 7, 8, 18	fvmptd 7012	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
20	19	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)))
21		iccssxr 13440	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22	21, 18	sselid 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
23		simp3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 13049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
26		0xr 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27		pnfxr 11299	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
28		iccgelb 13413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
29	26, 27, 28	mp3an12 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
31		inss2 4230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴)
33	10, 16, 14, 32	measssd 33834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))
34		xrrege0 13186	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∧ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ≤ (𝑀‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
35	22, 25, 30, 33, 34	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
36	24	rpne0d 13054	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
37		rexdiv 32662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
38	35, 25, 36, 37	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
39	20, 38	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴)) = ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))
40	39	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑦 ∩ 𝐴)))‘𝑥) /𝑒 (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
41	35, 24	rerpdivcld 13080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
42	41	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ)
43		dmmptg 6246	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = 𝑆)
45	44	fveq2d 6901	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = (measures‘𝑆))
46	45	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (measures‘𝑆) = (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
47	3, 40, 46	3eltr3d 2843	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
48		measbasedom 33821	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ (measures‘dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))))
49	47, 48	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures)
50	44	unieqd 4921	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = ∪ 𝑆)
51	50	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆))
52		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))))
53	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+)
54	53	rpcnd 13051	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ ℂ)
55	23	rpne0d 13054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ≠ 0)
57		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → 𝑥 = ∪ 𝑆)
58	57	ineq1d 4211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐴))
59		incom 4201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑆)
60		elssuni 4940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
61		df-ss 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
62	60, 61	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐴)
63	59, 62	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
64	13, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐴) = 𝐴)
66	58, 65	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝐴)
67	66	fveq2d 6901	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘𝐴))
68	54, 56, 67	diveq1bd 12069	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑆) → ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)) = 1)
69		sgon 33743	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆))
70		baselsiga 33734	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑆) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
71	9, 11, 69, 70	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
72		1red 11246	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
73	52, 68, 71, 72	fvmptd 7012	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ 𝑆) = 1)
74	51, 73	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1)
75		elprob 34029	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))‘∪ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴)))) = 1))
76	49, 74, 75	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) / (𝑀‘𝐴))) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  +∞cpnf 11276  ℝ^*cxr 11278   ≤ cle 11280   / cdiv 11902  ℝ⁺crp 13007  [,]cicc 13360   /_𝑒 cxdiv 32653  sigAlgebracsiga 33727  measurescmeas 33814  Probcprb 34027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-ordt 17483  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-ps 18558  df-tsr 18559  df-plusf 18599  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-abv 20697  df-lmod 20745  df-scaf 20746  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tmd 23989  df-tgp 23990  df-tsms 24044  df-trg 24077  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-ii 24810  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-xdiv 32654  df-esum 33647  df-siga 33728  df-meas 33815  df-prob 34028

This theorem is referenced by:  cndprobprob  34058