Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measdivcst 33843
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
measdivcst ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem measdivcst
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofcfval3 33721 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
2 measfrge0 33822 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
32fdmd 6733 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → dom 𝑀 = 𝑆)
43adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → dom 𝑀 = 𝑆)
54mpteq1d 5243 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
61, 5eqtrd 2768 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
7 measvxrge0 33824 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
87adantlr 714 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9 simplr 768 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
108, 9xrpxdivcld 32671 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
1110fmpttd 7125 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
12 measbase 33816 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
13 0elsiga 33733 . . . . . . 7 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
16 ovex 7453 . . . . 5 ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
17 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀‘∅))
1817oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
19 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))
2018, 19fvmptg 7003 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
2115, 16, 20sylancl 585 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
22 measvnul 33825 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
2322oveq1d 7435 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
24 xdiv0rp 32666 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
2523, 24sylan9eq 2788 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
2621, 25eqtrd 2768 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
27 simpll 766 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
28 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
29 simprl 770 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
30 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
31 vex 3475 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
33 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
34 velpw 4608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
35 ssel2 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3634, 35sylanb 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3736adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
38 measvxrge0 33824 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
3933, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
40 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4132, 39, 40esumdivc 33702 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
42413ad2antr1 1186 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
4312ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
44 simpr1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
45 simpr2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
46 sigaclcu 33736 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑆)
48 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀 𝑦))
4948oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
50 ovex 7453 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
5149, 19, 50fvmpt3i 7010 . . . . . . . . 9 ( 𝑦𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
5247, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
53 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
54 simpr3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
55 measvun 33828 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5653, 44, 45, 54, 55syl112anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5756oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
5852, 57eqtrd 2768 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
59 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑧))
6059oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6160, 19, 50fvmpt3i 7010 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6236, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6362esumeq2dv 33657 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6444, 63syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6542, 58, 643eqtr4d 2778 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6627, 28, 29, 30, 65syl13anc 1370 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6766ex 412 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
6867ralrimiva 3143 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
69 ismeas 33818 . . . . . 6 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7012, 69syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7170biimprd 247 . . . 4 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7271adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7311, 26, 68, 72mp3and 1461 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))
746, 73eqeltrd 2829 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  Vcvv 3471  wss 3947  c0 4323  𝒫 cpw 4603   cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  ωcom 7870  cdom 8962  0cc0 11139  +∞cpnf 11276  +crp 13007  [,]cicc 13360   /𝑒 cxdiv 32653  Σ*cesum 33646  f/c cofc 33714  sigAlgebracsiga 33727  measurescmeas 33814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-ordt 17483  df-xrs 17484  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-ps 18558  df-tsr 18559  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-ntr 22937  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tsms 24044  df-xdiv 32654  df-esum 33647  df-ofc 33715  df-siga 33728  df-meas 33815
This theorem is referenced by:  probfinmeasb  34048
  Copyright terms: Public domain W3C validator