Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measdivcst 34205
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
measdivcst ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem measdivcst
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofcfval3 34083 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
2 measfrge0 34184 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
32fdmd 6747 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → dom 𝑀 = 𝑆)
43adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → dom 𝑀 = 𝑆)
54mpteq1d 5243 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
61, 5eqtrd 2775 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
7 measvxrge0 34186 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
87adantlr 715 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9 simplr 769 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
108, 9xrpxdivcld 32902 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
1110fmpttd 7135 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
12 measbase 34178 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
13 0elsiga 34095 . . . . . . 7 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
16 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
17 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀‘∅))
1817oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
19 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))
2018, 19fvmptg 7014 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
2115, 16, 20sylancl 586 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
22 measvnul 34187 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
2322oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
24 xdiv0rp 32897 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
2523, 24sylan9eq 2795 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
2621, 25eqtrd 2775 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
27 simpll 767 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
28 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
29 simprl 771 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
30 simprr 773 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
31 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
33 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
34 velpw 4610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
35 ssel2 3990 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3634, 35sylanb 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3736adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
38 measvxrge0 34186 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
3933, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
40 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4132, 39, 40esumdivc 34064 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
42413ad2antr1 1187 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
4312ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
44 simpr1 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
45 simpr2 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
46 sigaclcu 34098 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑆)
48 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀 𝑦))
4948oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
50 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
5149, 19, 50fvmpt3i 7021 . . . . . . . . 9 ( 𝑦𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
5247, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
53 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
54 simpr3 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
55 measvun 34190 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5653, 44, 45, 54, 55syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5756oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
5852, 57eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
59 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑧))
6059oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6160, 19, 50fvmpt3i 7021 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6236, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6362esumeq2dv 34019 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6444, 63syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6542, 58, 643eqtr4d 2785 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6627, 28, 29, 30, 65syl13anc 1371 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6766ex 412 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
6867ralrimiva 3144 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
69 ismeas 34180 . . . . . 6 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7012, 69syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7170biimprd 248 . . . 4 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7271adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7311, 26, 68, 72mp3and 1463 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))
746, 73eqeltrd 2839 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8982  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  +crp 13032  [,]cicc 13387   /𝑒 cxdiv 32884  Σ*cesum 34008  f/c cofc 34076  sigAlgebracsiga 34089  measurescmeas 34176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-xdiv 32885  df-esum 34009  df-ofc 34077  df-siga 34090  df-meas 34177
This theorem is referenced by:  probfinmeasb  34410
  Copyright terms: Public domain W3C validator