Theorem measdivcst 34201

Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measdivcst	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem measdivcst

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofcfval3 34079	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
2		measfrge0 34180	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
3	2	fdmd 6715	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → dom 𝑀 = 𝑆)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → dom 𝑀 = 𝑆)
5	4	mpteq1d 5210	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
6	1, 5	eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
7		measvxrge0 34182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8	7	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	8, 9	xrpxdivcld 32855	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
11	10	fmpttd 7104	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
12		measbase 34174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		0elsiga 34091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
16		ovex 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
17		fveq2 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∅))
18	17	oveq1d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
20	18, 19	fvmptg 6983	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
21	15, 16, 20	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
22		measvnul 34183	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
23	22	oveq1d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
24		xdiv0rp 32850	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
25	23, 24	sylan9eq 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
26	21, 25	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
27		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
28		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
29		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
30		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
31		vex 3463	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
33		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
34		velpw 4580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆)
35		ssel2 3953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
36	34, 35	sylanb 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
37	36	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
38		measvxrge0 34182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
39	33, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
40		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
41	32, 39, 40	esumdivc 34060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
42	41	3ad2antr1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
43	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
44		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
45		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
46		sigaclcu 34094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
48		fveq2 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦))
49	48	oveq1d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
50		ovex 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
51	49, 19, 50	fvmpt3i 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
52	47, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
53		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
54		simpr3 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
55		measvun 34186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
56	53, 44, 45, 54, 55	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
57	56	oveq1d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
58	52, 57	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
59		fveq2 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝑧))
60	59	oveq1d 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
61	60, 19, 50	fvmpt3i 6990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
62	36, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
63	62	esumeq2dv 34015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
64	44, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
65	42, 58, 64	3eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
66	27, 28, 29, 30, 65	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
67	66	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
68	67	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
69		ismeas 34176	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
70	12, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
71	70	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
72	71	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
73	11, 26, 68, 72	mp3and 1466	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))
74	6, 73	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  ∪ cuni 4883  Disj wdisj 5086   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ran crn 5655  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ωcom 7859   ≼ cdom 8955  0cc0 11127  +∞cpnf 11264  ℝ⁺crp 13006  [,]cicc 13363   /_𝑒 cxdiv 32837  Σ^*cesum 34004   ∘_f/c cofc 34072  sigAlgebracsiga 34085  measurescmeas 34172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-ordt 17513  df-xrs 17514  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-ps 18574  df-tsr 18575  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-ntr 22956  df-nei 23034  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-tsms 24063  df-xdiv 32838  df-esum 34005  df-ofc 34073  df-siga 34086  df-meas 34173

This theorem is referenced by:  probfinmeasb  34406