Theorem measdivcst 33217

Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measdivcst	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem measdivcst

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofcfval3 33095	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
2		measfrge0 33196	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
3	2	fdmd 6728	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → dom 𝑀 = 𝑆)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → dom 𝑀 = 𝑆)
5	4	mpteq1d 5243	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
6	1, 5	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
7		measvxrge0 33198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8	7	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
10	8, 9	xrpxdivcld 32096	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
11	10	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
12		measbase 33190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		0elsiga 33107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
16		ovex 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
17		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∅))
18	17	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
19		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
20	18, 19	fvmptg 6996	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
21	15, 16, 20	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
22		measvnul 33199	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
23	22	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
24		xdiv0rp 32091	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
25	23, 24	sylan9eq 2792	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
26	21, 25	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
27		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
28		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
29		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
30		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
31		vex 3478	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
33		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
34		velpw 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆)
35		ssel2 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
36	34, 35	sylanb 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
37	36	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
38		measvxrge0 33198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
39	33, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
40		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
41	32, 39, 40	esumdivc 33076	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
42	41	3ad2antr1 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
43	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
44		simpr1 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
45		simpr2 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
46		sigaclcu 33110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
48		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦))
49	48	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
50		ovex 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
51	49, 19, 50	fvmpt3i 7003	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
52	47, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
53		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
54		simpr3 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
55		measvun 33202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
56	53, 44, 45, 54, 55	syl112anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
57	56	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
58	52, 57	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
59		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝑧))
60	59	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
61	60, 19, 50	fvmpt3i 7003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
62	36, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
63	62	esumeq2dv 33031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
64	44, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
65	42, 58, 64	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
66	27, 28, 29, 30, 65	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
67	66	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
68	67	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
69		ismeas 33192	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
70	12, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
71	70	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
72	71	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
73	11, 26, 68, 72	mp3and 1464	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))
74	6, 73	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ωcom 7854   ≼ cdom 8936  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  ℝ⁺crp 12973  [,]cicc 13326   /_𝑒 cxdiv 32078  Σ^*cesum 33020   ∘_f/c cofc 33088  sigAlgebracsiga 33101  measurescmeas 33188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-xrs 17447  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-tsms 23630  df-xdiv 32079  df-esum 33021  df-ofc 33089  df-siga 33102  df-meas 33189

This theorem is referenced by:  probfinmeasb  33422