Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measdivcst 33752
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
measdivcst ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measuresβ€˜π‘†))

Proof of Theorem measdivcst
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofcfval3 33630 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) = (π‘₯ ∈ dom 𝑀 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)))
2 measfrge0 33731 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
32fdmd 6722 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ dom 𝑀 = 𝑆)
43adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ dom 𝑀 = 𝑆)
54mpteq1d 5236 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝑀 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)))
61, 5eqtrd 2766 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)))
7 measvxrge0 33733 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
87adantlr 712 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
9 simplr 766 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
108, 9xrpxdivcld 32606 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
1110fmpttd 7110 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
12 measbase 33725 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
13 0elsiga 33642 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
16 ovex 7438 . . . . 5 ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) ∈ V
17 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜βˆ…))
1817oveq1d 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) = ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴))
19 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))
2018, 19fvmptg 6990 . . . . 5 ((βˆ… ∈ 𝑆 ∧ ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴))
2115, 16, 20sylancl 585 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴))
22 measvnul 33734 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
2322oveq1d 7420 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
24 xdiv0rp 32601 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (0 /𝑒 𝐴) = 0)
2523, 24sylan9eq 2786 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) = 0)
2621, 25eqtrd 2766 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0)
27 simpll 764 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
28 simplr 766 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
29 simprl 768 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 β‰Ό Ο‰)
30 simprr 770 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
31 vex 3472 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ V)
33 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
34 velpw 4602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑆)
35 ssel2 3972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3634, 35sylanb 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
3736adantll 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
38 measvxrge0 33733 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π‘§) ∈ (0[,]+∞))
3933, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (π‘€β€˜π‘§) ∈ (0[,]+∞))
40 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4132, 39, 40esumdivc 33611 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
42413ad2antr1 1185 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
4312ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
44 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
45 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 β‰Ό Ο‰)
46 sigaclcu 33645 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)
48 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦))
4948oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴))
50 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) ∈ V
5149, 19, 50fvmpt3i 6997 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴))
5247, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴))
53 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
54 simpr3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
55 measvun 33737 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§))
5653, 44, 45, 54, 55syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§))
5756oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
5852, 57eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
59 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘§))
6059oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) = ((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
6160, 19, 50fvmpt3i 6997 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = ((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
6236, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = ((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
6362esumeq2dv 33566 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
6444, 63syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
6542, 58, 643eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))
6627, 28, 29, 30, 65syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))
6766ex 412 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ ((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))
6867ralrimiva 3140 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))
69 ismeas 33727 . . . . . 6 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))))
7012, 69syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))))
7170biimprd 247 . . . 4 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†)))
7271adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†)))
7311, 26, 68, 72mp3and 1460 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
746, 73eqeltrd 2827 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 𝐴) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  Disj wdisj 5106   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Ο‰com 7852   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„+crp 12980  [,]cicc 13333   /𝑒 cxdiv 32588  Ξ£*cesum 33555   ∘f/c cofc 33623  sigAlgebracsiga 33636  measurescmeas 33723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-ntr 22879  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tsms 23986  df-xdiv 32589  df-esum 33556  df-ofc 33624  df-siga 33637  df-meas 33724
This theorem is referenced by:  probfinmeasb  33957
  Copyright terms: Public domain W3C validator