Theorem measdivcstALTV 34192

Description: Alternate version of measdivcst 34191. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
measdivcstALTV	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem measdivcstALTV

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6520	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
2		ovex 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
3	2	rgenw 3048	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
4		dmmptg 6191	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆
6		df-fn 6485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ↔ (Fun (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆))
7	1, 5, 6	mpbir2an 711	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆)
9		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
10		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
11	10	elrnmpt 5900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
13		measfrge0 34170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
14		ffvelcdm 7015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 14	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
16	15	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	16, 17	xrpxdivcld 32875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
19		eleq1a 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
21	20	rexlimdva 3130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
22	12, 21	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
23	22	ssrdv 3941	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ⊆ (0[,]+∞))
24		df-f 6486	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ⊆ (0[,]+∞)))
25	8, 23, 24	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
26		measbase 34164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
27		0elsiga 34081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
30		ovex 7382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
31	29, 30	jctir 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V))
32		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∅))
33	32	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
34	33, 10	fvmptg 6928	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
35	31, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
36		measvnul 34173	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
37	36	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
38		xdiv0rp 32870	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
39	37, 38	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
41		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
42		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
43		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
44		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
45	42, 43, 44	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
46	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
47		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
48		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
50		elpwg 4554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆))
51	9, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆)
52		ssel2 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
53	51, 52	sylanb 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
54	48, 49, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
55		measvxrge0 34172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
56	47, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
57		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
58	46, 56, 57	esumdivc 34050	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
59	58	3ad2antr1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
60	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
61		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
62		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
63		sigaclcu 34084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
65		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦))
66	65	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
67	66, 10, 2	fvmpt3i 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
69		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
70	69, 61	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆))
71		simpr3 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
72	62, 71	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
73		measvun 34176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
74	73	3expia 1121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
75	74	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
76	75	r19.21bi 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
77	70, 72, 76	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
78	77	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
79	68, 78	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
80		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝑧))
81	80	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
82	81, 10, 2	fvmpt3i 6935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
83	53, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
84	83	esumeq2dv 34005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
85	61, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
86	59, 79, 85	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
87	41, 45, 86	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
88	87	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
89	88	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
90	25, 40, 89	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))))
91		ismeas 34166	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
92	26, 91	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
93	92	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
94	93	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
95	90, 94	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4858  Disj wdisj 5059   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ran crn 5620  Fun wfun 6476   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ωcom 7799   ≼ cdom 8870  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  ℝ⁺crp 12893  [,]cicc 13251   /_𝑒 cxdiv 32857  Σ^*cesum 33994  sigAlgebracsiga 34075  measurescmeas 34162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-ntr 22905  df-nei 22983  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-tsms 24012  df-xdiv 32858  df-esum 33995  df-siga 34076  df-meas 34163

This theorem is referenced by:  probfinmeasbALTV  34397  probmeasb  34398