Theorem measdivcstALTV 33161

Description: Alternate version of measdivcst 33160. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
measdivcstALTV	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem measdivcstALTV

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6583	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
2		ovex 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
3	2	rgenw 3066	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
4		dmmptg 6238	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆
6		df-fn 6543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ↔ (Fun (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆))
7	1, 5, 6	mpbir2an 710	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆)
9		vex 3479	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
10		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
11	10	elrnmpt 5953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
13		measfrge0 33139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
14		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 14	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
16	15	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	16, 17	xrpxdivcld 32079	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
19		eleq1a 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
21	20	rexlimdva 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
22	12, 21	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
23	22	ssrdv 3987	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ⊆ (0[,]+∞))
24		df-f 6544	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ⊆ (0[,]+∞)))
25	8, 23, 24	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
26		measbase 33133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
27		0elsiga 33050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
29	28	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
30		ovex 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
31	29, 30	jctir 522	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V))
32		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∅))
33	32	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
34	33, 10	fvmptg 6992	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
35	31, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
36		measvnul 33142	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
37	36	oveq1d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
38		xdiv0rp 32074	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
39	37, 38	sylan9eq 2793	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
41		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
42		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
43		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
44		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
45	42, 43, 44	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
46	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
47		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
48		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
49		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
50		elpwg 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆))
51	9, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆)
52		ssel2 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
53	51, 52	sylanb 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
54	48, 49, 53	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
55		measvxrge0 33141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
56	47, 54, 55	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
57		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
58	46, 56, 57	esumdivc 33019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
59	58	3ad2antr1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
60	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
61		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
62		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
63		sigaclcu 33053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
65		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦))
66	65	oveq1d 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
67	66, 10, 2	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
69		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
70	69, 61	jca 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆))
71		simpr3 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
72	62, 71	jca 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
73		measvun 33145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
74	73	3expia 1122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
75	74	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
76	75	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
77	70, 72, 76	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
78	77	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
79	68, 78	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
80		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝑧))
81	80	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
82	81, 10, 2	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
83	53, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
84	83	esumeq2dv 32974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
85	61, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
86	59, 79, 85	3eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
87	41, 45, 86	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
88	87	ex 414	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
89	88	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
90	25, 40, 89	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))))
91		ismeas 33135	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
92	26, 91	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
93	92	biimprd 247	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
94	93	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
95	90, 94	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  ∪ cuni 4907  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ωcom 7850   ≼ cdom 8933  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  ℝ⁺crp 12970  [,]cicc 13323   /_𝑒 cxdiv 32061  Σ^*cesum 32963  sigAlgebracsiga 33044  measurescmeas 33131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-ntr 22506  df-nei 22584  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-tsms 23613  df-xdiv 32062  df-esum 32964  df-siga 33045  df-meas 33132

This theorem is referenced by:  probfinmeasbALTV  33366  probmeasb  33367