Theorem measdivcstALTV 34222

Description: Alternate version of measdivcst 34221. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
measdivcstALTV	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem measdivcstALTV

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6557	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
2		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
3	2	rgenw 3049	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
4		dmmptg 6218	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆
6		df-fn 6517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ↔ (Fun (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = 𝑆))
7	1, 5, 6	mpbir2an 711	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆)
9		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
10		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
11	10	elrnmpt 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))
13		measfrge0 34200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
14		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 14	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
16	15	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
18	16, 17	xrpxdivcld 32862	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
19		eleq1a 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
21	20	rexlimdva 3135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
22	12, 21	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
23	22	ssrdv 3955	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ⊆ (0[,]+∞))
24		df-f 6518	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ⊆ (0[,]+∞)))
25	8, 23, 24	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
26		measbase 34194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
27		0elsiga 34111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
30		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
31	29, 30	jctir 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V))
32		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∅))
33	32	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
34	33, 10	fvmptg 6969	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
35	31, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
36		measvnul 34203	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
37	36	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
38		xdiv0rp 32857	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
39	37, 38	sylan9eq 2785	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
41		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
42		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
43		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
44		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
45	42, 43, 44	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
46	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
47		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
48		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)
50		elpwg 4569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆))
51	9, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑆)
52		ssel2 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
53	51, 52	sylanb 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
54	48, 49, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑆)
55		measvxrge0 34202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
56	47, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝑀‘𝑧) ∈ (0[,]+∞))
57		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
58	46, 56, 57	esumdivc 34080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
59	58	3ad2antr1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
60	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
61		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
62		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
63		sigaclcu 34114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
65		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘∪ 𝑦))
66	65	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
67	66, 10, 2	fvmpt3i 6976	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴))
69		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
70	69, 61	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆))
71		simpr3 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
72	62, 71	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
73		measvun 34206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
74	73	3expia 1121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
75	74	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
76	75	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧)))
77	70, 72, 76	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → (𝑀‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧))
78	77	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑀‘∪ 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
79	68, 78	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = (Σ*𝑧 ∈ 𝑦(𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
80		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝑧))
81	80	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
82	81, 10, 2	fvmpt3i 6976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
83	53, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
84	83	esumeq2dv 34035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
85	61, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑀‘𝑧) /𝑒 𝐴))
86	59, 79, 85	3eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
87	41, 45, 86	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
88	87	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
89	88	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
90	25, 40, 89	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))))
91		ismeas 34196	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
92	26, 91	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
93	92	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
94	93	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘∪ 𝑦) = Σ*𝑧 ∈ 𝑦((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
95	90, 94	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑀‘𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874  Disj wdisj 5077   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ran crn 5642  Fun wfun 6508   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ωcom 7845   ≼ cdom 8919  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ⁺crp 12958  [,]cicc 13316   /_𝑒 cxdiv 32844  Σ^*cesum 34024  sigAlgebracsiga 34105  measurescmeas 34192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-xrs 17472  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-ntr 22914  df-nei 22992  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-tsms 24021  df-xdiv 32845  df-esum 34025  df-siga 34106  df-meas 34193

This theorem is referenced by:  probfinmeasbALTV  34427  probmeasb  34428