Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcstALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measdivcstALTV 32888
Description: Alternate version of measdivcst 32887. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
measdivcstALTV ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem measdivcstALTV
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6543 . . . . . 6 Fun (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))
2 ovex 7394 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) ∈ V
32rgenw 3065 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) ∈ V
4 dmmptg 6198 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) ∈ V β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) = 𝑆)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) = 𝑆
6 df-fn 6503 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ↔ (Fun (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) = 𝑆))
71, 5, 6mpbir2an 710 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆
87a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆)
9 vex 3451 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))
1110elrnmpt 5915 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)))
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))
13 measfrge0 32866 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
14 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀:π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1513, 14sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
1615adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
17 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
1816, 17xrpxdivcld 31847 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
19 eleq1a 2829 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞) β†’ (𝑦 = ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 = ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
2120rexlimdva 3149 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
2212, 21biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)))
2322ssrdv 3954 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) βŠ† (0[,]+∞))
24 df-f 6504 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) Fn 𝑆 ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) βŠ† (0[,]+∞)))
258, 23, 24sylanbrc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞))
26 measbase 32860 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
27 0elsiga 32777 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
2928adantr 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
30 ovex 7394 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) ∈ V
3129, 30jctir 522 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ… ∈ 𝑆 ∧ ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) ∈ V))
32 fveq2 6846 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜βˆ…))
3332oveq1d 7376 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) = ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴))
3433, 10fvmptg 6950 . . . . 5 ((βˆ… ∈ 𝑆 ∧ ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴))
3531, 34syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴))
36 measvnul 32869 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
3736oveq1d 7376 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
38 xdiv0rp 31842 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (0 /𝑒 𝐴) = 0)
3937, 38sylan9eq 2793 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘€β€˜βˆ…) /𝑒 𝐴) = 0)
4035, 39eqtrd 2773 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0)
41 simpll 766 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
42 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
43 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 β‰Ό Ο‰)
44 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
4542, 43, 443jca 1129 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
469a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ V)
47 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
48 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
49 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑦)
50 elpwg 4567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑆))
519, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑦 βŠ† 𝑆)
52 ssel2 3943 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
5351, 52sylanb 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
5448, 49, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
55 measvxrge0 32868 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜π‘§) ∈ (0[,]+∞))
5647, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (π‘€β€˜π‘§) ∈ (0[,]+∞))
57 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
5846, 56, 57esumdivc 32746 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
59583ad2antr1 1189 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
6026ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
61 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
62 simpr2 1196 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑦 β‰Ό Ο‰)
63 sigaclcu 32780 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆)
65 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦))
6665oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴))
6766, 10, 2fvmpt3i 6957 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴))
6864, 67syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴))
69 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†))
7069, 61jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆))
71 simpr3 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)
7262, 71jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧))
73 measvun 32872 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§))
74733expia 1122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ ((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§)))
7574ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§)))
7675r19.21bi 3233 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ ((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§)))
7770, 72, 76sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§))
7877oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
7968, 78eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = (Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦(π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
80 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘§))
8180oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴) = ((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
8281, 10, 2fvmpt3i 6957 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = ((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
8353, 82syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = ((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
8483esumeq2dv 32701 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
8561, 84syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘€β€˜π‘§) /𝑒 𝐴))
8659, 79, 853eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))
8741, 45, 86syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))
8887ex 414 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) β†’ ((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))
8988ralrimiva 3140 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))
9025, 40, 893jca 1129 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))))
91 ismeas 32862 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))))
9226, 91syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§)))))
9392biimprd 248 . . 3 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†)))
9493adantr 482 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)):π‘†βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆ…) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜βˆͺ 𝑦) = Ξ£*𝑧 ∈ 𝑦((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴))β€˜π‘§))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†)))
9590, 94mpd 15 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘€β€˜π‘₯) /𝑒 𝐴)) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887  0cc0 11059  +∞cpnf 11194  β„+crp 12923  [,]cicc 13276   /𝑒 cxdiv 31829  Ξ£*cesum 32690  sigAlgebracsiga 32771  measurescmeas 32858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-ordt 17391  df-xrs 17392  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-ps 18463  df-tsr 18464  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-tsms 23501  df-xdiv 31830  df-esum 32691  df-siga 32772  df-meas 32859
This theorem is referenced by:  probfinmeasbALTV  33093  probmeasb  33094
  Copyright terms: Public domain W3C validator