Theorem metpsmet 45215

Description: A metric is a pseudometric. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
metpsmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))

Proof of Theorem metpsmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24252	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetpsmet 24266	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  PsMetcpsmet 21279  ∞Metcxmet 21280  Metcmet 21281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-mulcl 11077  ax-i2m1 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-xadd 13016  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289

This theorem is referenced by: (None)