Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metpsmet 44979
Description: A metric is a pseudometric. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
metpsmet (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))

Proof of Theorem metpsmet
StepHypRef Expression
1 metxmet 24341 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetpsmet 24355 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
31, 2syl 17 1 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2104  cfv 6558  PsMetcpsmet 21347  ∞Metcxmet 21348  Metcmet 21349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-mulcl 11208  ax-i2m1 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-er 8738  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-xadd 13146  df-psmet 21355  df-xmet 21356  df-met 21357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator