MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvcl 22306
Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvcl ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼))

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 mndvcl.p . . . . . 6 + = (+g𝑀)
31, 2mndcl 18702 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
433expb 1118 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
543ad2antl1 1183 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6 elmapi 8868 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
763ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
8 elmapi 8868 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
983ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
10 elmapex 8867 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
1110simprd 495 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
12113ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
13 inidm 4219 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
145, 7, 9, 12, 12, 13off 7703 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + 𝑌):𝐼𝐵)
151fvexi 6911 . . 3 𝐵 ∈ V
16 elmapg 8858 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼) ↔ (𝑋f + 𝑌):𝐼𝐵))
1715, 12, 16sylancr 586 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼) ↔ (𝑋f + 𝑌):𝐼𝐵))
1814, 17mpbird 257 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  f cof 7683  m cmap 8845  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Mndcmnd 18694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695
This theorem is referenced by:  ringvcl  22313  mamudi  22316  mamudir  22317
  Copyright terms: Public domain W3C validator