Theorem mndvcl 18972

Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvcl	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))

Proof of Theorem mndvcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndvcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mndvcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑀)
3	1, 2	mndcl 18911	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5	4	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6		elmapi 8853	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
8		elmapi 8853	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
9	8	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
10		elmapex 8852	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
11	10	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
13		inidm 4172	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
14	5, 7, 9, 12, 12, 13	off 7700	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵)
15	1	fvexi 6891	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		elmapg 8843	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
17	15, 12, 16	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
18	14, 17	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680   ↑_m cmap 8831  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Mndcmnd 18903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8833  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904

This theorem is used by:  ringvcl  22695  mamudi  22698  mamudir  22699