Theorem mndvcl 19021

Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvcl	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))

Proof of Theorem mndvcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndvcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mndvcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑀)
3	1, 2	mndcl 18960	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5	4	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6		elmapi 8897	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
8		elmapi 8897	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
9	8	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
10		elmapex 8896	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
11	10	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
13		inidm 4126	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
14	5, 7, 9, 12, 12, 13	off 7735	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵)
15	1	fvexi 6922	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		elmapg 8887	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
17	15, 12, 16	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
18	14, 17	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715   ↑_m cmap 8875  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  Mndcmnd 18952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-map 8877  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953

This theorem is used by:  ringvcl  22745  mamudi  22748  mamudir  22749