Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvcl 21093
 Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvcl ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼))

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 mndvcl.p . . . . . 6 + = (+g𝑀)
31, 2mndcl 17985 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
433expb 1117 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
543ad2antl1 1182 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6 elmapi 8438 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
8 elmapi 8438 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
983ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
10 elmapex 8437 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
1110simprd 499 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
12113ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
13 inidm 4123 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
145, 7, 9, 12, 12, 13off 7422 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + 𝑌):𝐼𝐵)
151fvexi 6672 . . 3 𝐵 ∈ V
16 elmapg 8429 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼) ↔ (𝑋f + 𝑌):𝐼𝐵))
1715, 12, 16sylancr 590 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼) ↔ (𝑋f + 𝑌):𝐼𝐵))
1814, 17mpbird 260 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼)) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403   ↑m cmap 8416  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  Mndcmnd 17977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-map 8418  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978 This theorem is referenced by:  ringvcl  21100  mamudi  21103  mamudir  21104
 Copyright terms: Public domain W3C validator