Theorem mndvcl 18756

Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvcl	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))

Proof of Theorem mndvcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndvcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		mndvcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑀)
3	1, 2	mndcl 18701	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
5	4	3ad2antl1 1187	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6		elmapi 8789	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
7	6	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
8		elmapi 8789	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
9	8	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
10		elmapex 8788	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
11	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
12	11	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
13		inidm 4168	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
14	5, 7, 9, 12, 12, 13	off 7642	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵)
15	1	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		elmapg 8779	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
17	15, 12, 16	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ∘f + 𝑌):𝐼⟶𝐵))
18	14, 17	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8768  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694

This theorem is referenced by:  ringvcl  22375  mamudi  22378  mamudir  22379