Theorem mndvlid 22315

Description: Tuple-wise left identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mndvlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvlid	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐼 × { 0 }) ∘f + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndvlid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8873	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4		elmapi 8874	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
5	4	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6		mndvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		mndvlid.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
8	6, 7	mndidcl 18716	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ 𝐵)
10		mndvcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	6, 10, 7	mndlid 18721	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantlr 713	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
13	3, 5, 9, 12	caofid0l 7722	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐼 × { 0 }) ∘f + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632   × cxp 5680  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7689   ↑_m cmap 8851  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  0_gc0g 17428  Mndcmnd 18701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702

This theorem is referenced by:  mendring  42647