MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvlid 21758
Description: Tuple-wise left identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
mndvlid.z 0 = (0g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvlid ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝐼 × { 0 }) ∘f + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndvlid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 8793 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 497 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
32adantl 483 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4 elmapi 8794 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
54adantl 483 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
6 mndvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 mndvlid.z . . . 4 0 = (0g𝑀)
86, 7mndidcl 18578 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
98adantr 482 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 0𝐵)
10 mndvcl.p . . . 4 + = (+g𝑀)
116, 10, 7mndlid 18583 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
1211adantlr 714 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
133, 5, 9, 12caofid0l 7653 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼)) → ((𝐼 × { 0 }) ∘f + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  {csn 4591   × cxp 5636  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  f cof 7620  m cmap 8772  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Mndcmnd 18563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564
This theorem is referenced by:  mendring  41548
  Copyright terms: Public domain W3C validator