Theorem mndvlid 21452

Description: Tuple-wise left identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mndvlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvlid	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐼 × { 0 }) ∘f + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem mndvlid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8594	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4		elmapi 8595	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6		mndvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		mndvlid.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
8	6, 7	mndidcl 18315	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ 𝐵)
10		mndvcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	6, 10, 7	mndlid 18320	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantlr 711	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
13	3, 5, 9, 12	caofid0l 7542	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → ((𝐼 × { 0 }) ∘f + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301

This theorem is referenced by:  mendring  40933