![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mply1topmatval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix. ๐ผ is the inverse function of the transformation ๐ of polynomial matrices into polynomials over matrices: (๐โ(๐ผโ๐)) = ๐) (see mp2pm2mp 22700). (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mply1topmat.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mply1topmat.q | โข ๐ = (Poly1โ๐ด) |
mply1topmat.l | โข ๐ฟ = (Baseโ๐) |
mply1topmat.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
mply1topmat.m | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
mply1topmat.e | โข ๐ธ = (.gโ(mulGrpโ๐)) |
mply1topmat.y | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
mply1topmat.i | โข ๐ผ = (๐ โ ๐ฟ โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
Ref | Expression |
---|---|
mply1topmatval | โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ (๐ผโ๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mply1topmat.i | . 2 โข ๐ผ = (๐ โ ๐ฟ โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) | |
2 | fveq2 6891 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ โ (coe1โ๐) = (coe1โ๐)) | |
3 | 2 | fveq1d 6893 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ โ ((coe1โ๐)โ๐) = ((coe1โ๐)โ๐)) |
4 | 3 | oveqd 7431 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐((coe1โ๐)โ๐)๐) = (๐((coe1โ๐)โ๐)๐)) |
5 | 4 | oveq1d 7429 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)) = ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))) |
6 | 5 | mpteq2dv 5244 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))) |
7 | 6 | oveq2d 7430 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) |
8 | 7 | mpoeq3dv 7493 | . 2 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
9 | simpr 484 | . 2 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ ๐ โ ๐ฟ) | |
10 | simpl 482 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ ๐ โ ๐) | |
11 | mpoexga 8076 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) โ V) | |
12 | 10, 11 | syldan 590 | . 2 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) โ V) |
13 | 1, 8, 9, 12 | fvmptd3 7022 | 1 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ (๐ผโ๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3469 โฆ cmpt 5225 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โ cmpo 7416 โ0cn0 12494 Basecbs 17171 ยท๐ cvsca 17228 ฮฃg cgsu 17413 .gcmg 19014 mulGrpcmgp 20065 var1cv1 22082 Poly1cpl1 22083 coe1cco1 22084 Mat cmat 22294 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-1st 7987 df-2nd 7988 |
This theorem is referenced by: mply1topmatcl 22694 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |