MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mply1topmatval 22169
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix. ๐ผ is the inverse function of the transformation ๐‘‡ of polynomial matrices into polynomials over matrices: (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = ๐‘‚) (see mp2pm2mp 22176). (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mply1topmat.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mply1topmat.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mply1topmat.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
mply1topmat.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mply1topmat.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mply1topmat.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mply1topmat.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
Assertion
Ref Expression
mply1topmatval ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‰,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘˜,๐‘   ยท ,๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ฟ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mply1topmatval
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.i . 2 ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
2 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (coe1โ€˜๐‘) = (coe1โ€˜๐‘‚))
32fveq1d 6845 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜))
43oveqd 7375 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) = (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—))
54oveq1d 7373 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) = ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))
65mpteq2dv 5208 . . . 4 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))
76oveq2d 7374 . . 3 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))
87mpoeq3dv 7437 . 2 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
9 simpr 486 . 2 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ)
10 simpl 484 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)
11 mpoexga 8011 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ V)
1210, 11syldan 592 . 2 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ V)
131, 8, 9, 12fvmptd3 6972 1 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088   ยท๐‘  cvsca 17142   ฮฃg cgsu 17327  .gcmg 18877  mulGrpcmgp 19901  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   Mat cmat 21770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923
This theorem is referenced by:  mply1topmatcl  22170
  Copyright terms: Public domain W3C validator