MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mply1topmatval 22693
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix. ๐ผ is the inverse function of the transformation ๐‘‡ of polynomial matrices into polynomials over matrices: (๐‘‡โ€˜(๐ผโ€˜๐‘‚)) = ๐‘‚) (see mp2pm2mp 22700). (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mply1topmat.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mply1topmat.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mply1topmat.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
mply1topmat.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mply1topmat.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mply1topmat.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mply1topmat.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
Assertion
Ref Expression
mply1topmatval ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‰,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘˜,๐‘   ยท ,๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ฟ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mply1topmatval
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.i . 2 ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
2 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (coe1โ€˜๐‘) = (coe1โ€˜๐‘‚))
32fveq1d 6893 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜))
43oveqd 7431 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) = (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—))
54oveq1d 7429 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) = ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))
65mpteq2dv 5244 . . . 4 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))
76oveq2d 7430 . . 3 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))
87mpoeq3dv 7493 . 2 (๐‘ = ๐‘‚ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
9 simpr 484 . 2 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ)
10 simpl 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)
11 mpoexga 8076 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ V)
1210, 11syldan 590 . 2 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ V)
131, 8, 9, 12fvmptd3 7022 1 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  โ„•0cn0 12494  Basecbs 17171   ยท๐‘  cvsca 17228   ฮฃg cgsu 17413  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084   Mat cmat 22294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988
This theorem is referenced by:  mply1topmatcl  22694
  Copyright terms: Public domain W3C validator