![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mply1topmatval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix. ๐ผ is the inverse function of the transformation ๐ of polynomial matrices into polynomials over matrices: (๐โ(๐ผโ๐)) = ๐) (see mp2pm2mp 22176). (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mply1topmat.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mply1topmat.q | โข ๐ = (Poly1โ๐ด) |
mply1topmat.l | โข ๐ฟ = (Baseโ๐) |
mply1topmat.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
mply1topmat.m | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
mply1topmat.e | โข ๐ธ = (.gโ(mulGrpโ๐)) |
mply1topmat.y | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
mply1topmat.i | โข ๐ผ = (๐ โ ๐ฟ โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
Ref | Expression |
---|---|
mply1topmatval | โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ (๐ผโ๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mply1topmat.i | . 2 โข ๐ผ = (๐ โ ๐ฟ โฆ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) | |
2 | fveq2 6843 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ โ (coe1โ๐) = (coe1โ๐)) | |
3 | 2 | fveq1d 6845 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ โ ((coe1โ๐)โ๐) = ((coe1โ๐)โ๐)) |
4 | 3 | oveqd 7375 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐((coe1โ๐)โ๐)๐) = (๐((coe1โ๐)โ๐)๐)) |
5 | 4 | oveq1d 7373 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)) = ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))) |
6 | 5 | mpteq2dv 5208 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))) = (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))) |
7 | 6 | oveq2d 7374 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) |
8 | 7 | mpoeq3dv 7437 | . 2 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
9 | simpr 486 | . 2 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ ๐ โ ๐ฟ) | |
10 | simpl 484 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ ๐ โ ๐) | |
11 | mpoexga 8011 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) โ V) | |
12 | 10, 11 | syldan 592 | . 2 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐))))) โ V) |
13 | 1, 8, 9, 12 | fvmptd3 6972 | 1 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ฟ) โ (๐ผโ๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐((coe1โ๐)โ๐)๐) ยท (๐๐ธ๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3444 โฆ cmpt 5189 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โ cmpo 7360 โ0cn0 12418 Basecbs 17088 ยท๐ cvsca 17142 ฮฃg cgsu 17327 .gcmg 18877 mulGrpcmgp 19901 var1cv1 21563 Poly1cpl1 21564 coe1cco1 21565 Mat cmat 21770 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-1st 7922 df-2nd 7923 |
This theorem is referenced by: mply1topmatcl 22170 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |