MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mply1topmatcl 22170
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
mply1topmat.l 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
mply1topmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mply1topmat.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mply1topmat.e 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
mply1topmat.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
mply1topmat.i 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
mply1topmatcl.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mply1topmatcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   π‘Œ,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,π‘˜,𝑝   Β· ,π‘˜,𝑝   𝑖,𝐿,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑃,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑅,𝑖,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝐡(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝑅(𝑝)   Β· (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   π‘Œ(𝑖,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem mply1topmatcl
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mply1topmat.q . . . 4 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
3 mply1topmat.l . . . 4 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
4 mply1topmat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 mply1topmat.m . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
6 mply1topmat.e . . . 4 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
7 mply1topmat.y . . . 4 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
8 mply1topmat.i . . . 4 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mply1topmatval 22169 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
1093adant2 1132 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
11 mply1topmatcl.c . . 3 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
12 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
13 mply1topmatcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
14 simp1 1137 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
154fvexi 6857 . . . 4 𝑃 ∈ V
1615a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ V)
17 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
184ply1ring 21635 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
19 ringcmn 20008 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
21203ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
23 nn0ex 12424 . . . . 5 β„•0 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ β„•0 ∈ V)
254ply1lmod 21639 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
26253ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
27263ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2827adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
29 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
30 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
31 simpl2 1193 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
32 simpl3 1194 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
33 simpl13 1251 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑂 ∈ 𝐿)
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (coe1β€˜π‘‚) = (coe1β€˜π‘‚)
3534, 3, 2, 30coe1f 21598 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ 𝐿 β†’ (coe1β€˜π‘‚):β„•0⟢(Baseβ€˜π΄))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜π‘‚):β„•0⟢(Baseβ€˜π΄))
37 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3836, 37ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π΄))
391, 29, 30, 31, 32, 38matecld 21791 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
404ply1sca 21640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4140eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
42413ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
4342fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4544adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4639, 45eleqtrrd 2837 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
47 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
4847, 12mgpbas 19907 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
49183ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5047ringmgp 19975 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
52513ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
5352adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
547, 4, 12vr1cl 21604 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
55543ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
56553ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5756adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5848, 6, 53, 37, 57mulgnn0cld 18902 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
59 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
60 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
6112, 59, 5, 60lmodvscl 20354 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘˜πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6228, 46, 58, 61syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6362fmpttd 7064 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
641, 2, 3, 4, 5, 6, 7mply1topmatcllem 22168 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
6512, 17, 22, 24, 63, 64gsumcl 19697 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6611, 12, 13, 14, 16, 65matbas2d 21788 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))) ∈ 𝐡)
6710, 66eqeltrd 2834 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Fincfn 8886  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  .gcmg 18877  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   Mat cmat 21770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mat 21771
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22175  mp2pm2mp  22176  pm2mpfo  22179
  Copyright terms: Public domain W3C validator