MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mply1topmatcl 22694
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
mply1topmat.l 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
mply1topmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mply1topmat.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mply1topmat.e 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
mply1topmat.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
mply1topmat.i 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
mply1topmatcl.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mply1topmatcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   π‘Œ,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,π‘˜,𝑝   Β· ,π‘˜,𝑝   𝑖,𝐿,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑃,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑅,𝑖,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝐡(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝑅(𝑝)   Β· (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   π‘Œ(𝑖,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem mply1topmatcl
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mply1topmat.q . . . 4 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
3 mply1topmat.l . . . 4 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
4 mply1topmat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 mply1topmat.m . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
6 mply1topmat.e . . . 4 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
7 mply1topmat.y . . . 4 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
8 mply1topmat.i . . . 4 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mply1topmatval 22693 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
1093adant2 1129 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
11 mply1topmatcl.c . . 3 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
12 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
13 mply1topmatcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
14 simp1 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
154fvexi 6905 . . . 4 𝑃 ∈ V
1615a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ V)
17 eqid 2727 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
184ply1ring 22153 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
19 ringcmn 20207 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
21203ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1131 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
23 nn0ex 12500 . . . . 5 β„•0 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ β„•0 ∈ V)
254ply1lmod 22157 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
26253ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
27263ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2827adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
29 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
30 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
31 simpl2 1190 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
32 simpl3 1191 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
33 simpl13 1248 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑂 ∈ 𝐿)
34 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (coe1β€˜π‘‚) = (coe1β€˜π‘‚)
3534, 3, 2, 30coe1f 22117 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ 𝐿 β†’ (coe1β€˜π‘‚):β„•0⟢(Baseβ€˜π΄))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜π‘‚):β„•0⟢(Baseβ€˜π΄))
37 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3836, 37ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π΄))
391, 29, 30, 31, 32, 38matecld 22315 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
404ply1sca 22158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4140eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
42413ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
4342fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
44433ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
4639, 45eleqtrrd 2831 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
47 eqid 2727 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
4847, 12mgpbas 20071 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
49183ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5047ringmgp 20170 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
52513ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
547, 4, 12vr1cl 22123 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
55543ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
56553ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5756adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5848, 6, 53, 37, 57mulgnn0cld 19041 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
59 eqid 2727 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
60 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
6112, 59, 5, 60lmodvscl 20750 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘˜πΈπ‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6228, 46, 58, 61syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6362fmpttd 7119 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
641, 2, 3, 4, 5, 6, 7mply1topmatcllem 22692 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
6512, 17, 22, 24, 63, 64gsumcl 19861 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6611, 12, 13, 14, 16, 65matbas2d 22312 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))) ∈ 𝐡)
6710, 66eqeltrd 2828 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8955  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  Mndcmnd 18685  .gcmg 19014  CMndccmn 19726  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084   Mat cmat 22294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089  df-mat 22295
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22699  mp2pm2mp  22700  pm2mpfo  22703
  Copyright terms: Public domain W3C validator