Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mply1topmat.a |
. . . 4
β’ π΄ = (π Mat π
) |
2 | | mply1topmat.q |
. . . 4
β’ π = (Poly1βπ΄) |
3 | | mply1topmat.l |
. . . 4
β’ πΏ = (Baseβπ) |
4 | | mply1topmat.p |
. . . 4
β’ π = (Poly1βπ
) |
5 | | mply1topmat.m |
. . . 4
β’ Β· = (
Β·π βπ) |
6 | | mply1topmat.e |
. . . 4
β’ πΈ =
(.gβ(mulGrpβπ)) |
7 | | mply1topmat.y |
. . . 4
β’ π = (var1βπ
) |
8 | | mply1topmat.i |
. . . 4
β’ πΌ = (π β πΏ β¦ (π β π, π β π β¦ (π Ξ£g (π β β0
β¦ ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ)))))) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | mply1topmatval 22169 |
. . 3
β’ ((π β Fin β§ π β πΏ) β (πΌβπ) = (π β π, π β π β¦ (π Ξ£g (π β β0
β¦ ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ)))))) |
10 | 9 | 3adant2 1132 |
. 2
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β (πΌβπ) = (π β π, π β π β¦ (π Ξ£g (π β β0
β¦ ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ)))))) |
11 | | mply1topmatcl.c |
. . 3
β’ πΆ = (π Mat π) |
12 | | eqid 2733 |
. . 3
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
13 | | mply1topmatcl.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΆ) |
14 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β π β Fin) |
15 | 4 | fvexi 6857 |
. . . 4
β’ π β V |
16 | 15 | a1i 11 |
. . 3
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β π β V) |
17 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(0gβπ) = (0gβπ) |
18 | 4 | ply1ring 21635 |
. . . . . . 7
β’ (π
β Ring β π β Ring) |
19 | | ringcmn 20008 |
. . . . . . 7
β’ (π β Ring β π β CMnd) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (π
β Ring β π β CMnd) |
21 | 20 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . 5
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β π β CMnd) |
22 | 21 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β π β CMnd) |
23 | | nn0ex 12424 |
. . . . 5
β’
β0 β V |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β β0 β
V) |
25 | 4 | ply1lmod 21639 |
. . . . . . . . 9
β’ (π
β Ring β π β LMod) |
26 | 25 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β π β LMod) |
27 | 26 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β π β LMod) |
28 | 27 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β π β LMod) |
29 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(Baseβπ
) =
(Baseβπ
) |
30 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(Baseβπ΄) =
(Baseβπ΄) |
31 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β π β π) |
32 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β π β π) |
33 | | simpl13 1251 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β π β πΏ) |
34 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(coe1βπ) = (coe1βπ) |
35 | 34, 3, 2, 30 | coe1f 21598 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΏ β (coe1βπ):β0βΆ(Baseβπ΄)) |
36 | 33, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β
(coe1βπ):β0βΆ(Baseβπ΄)) |
37 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β π β
β0) |
38 | 36, 37 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β
((coe1βπ)βπ) β (Baseβπ΄)) |
39 | 1, 29, 30, 31, 32, 38 | matecld 21791 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β (π((coe1βπ)βπ)π) β (Baseβπ
)) |
40 | 4 | ply1sca 21640 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π
β Ring β π
= (Scalarβπ)) |
41 | 40 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π
β Ring β
(Scalarβπ) = π
) |
42 | 41 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β (Scalarβπ) = π
) |
43 | 42 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β (Baseβ(Scalarβπ)) = (Baseβπ
)) |
44 | 43 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β (Baseβ(Scalarβπ)) = (Baseβπ
)) |
45 | 44 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β
(Baseβ(Scalarβπ)) = (Baseβπ
)) |
46 | 39, 45 | eleqtrrd 2837 |
. . . . . 6
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β (π((coe1βπ)βπ)π) β (Baseβ(Scalarβπ))) |
47 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(mulGrpβπ) =
(mulGrpβπ) |
48 | 47, 12 | mgpbas 19907 |
. . . . . . 7
β’
(Baseβπ) =
(Baseβ(mulGrpβπ)) |
49 | 18 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β π β Ring) |
50 | 47 | ringmgp 19975 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β Ring β
(mulGrpβπ) β
Mnd) |
51 | 49, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β (mulGrpβπ) β Mnd) |
52 | 51 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β (mulGrpβπ) β Mnd) |
53 | 52 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β
(mulGrpβπ) β
Mnd) |
54 | 7, 4, 12 | vr1cl 21604 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π
β Ring β π β (Baseβπ)) |
55 | 54 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β π β (Baseβπ)) |
56 | 55 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β π β (Baseβπ)) |
57 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β π β (Baseβπ)) |
58 | 48, 6, 53, 37, 57 | mulgnn0cld 18902 |
. . . . . 6
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β (ππΈπ) β (Baseβπ)) |
59 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(Scalarβπ) =
(Scalarβπ) |
60 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(Baseβ(Scalarβπ)) = (Baseβ(Scalarβπ)) |
61 | 12, 59, 5, 60 | lmodvscl 20354 |
. . . . . 6
β’ ((π β LMod β§ (π((coe1βπ)βπ)π) β (Baseβ(Scalarβπ)) β§ (ππΈπ) β (Baseβπ)) β ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ)) β (Baseβπ)) |
62 | 28, 46, 58, 61 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β§ π β β0) β ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ)) β (Baseβπ)) |
63 | 62 | fmpttd 7064 |
. . . 4
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β (π β β0 β¦ ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ))):β0βΆ(Baseβπ)) |
64 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | mply1topmatcllem 22168 |
. . . 4
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β (π β β0 β¦ ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ))) finSupp (0gβπ)) |
65 | 12, 17, 22, 24, 63, 64 | gsumcl 19697 |
. . 3
β’ (((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β§ π β π β§ π β π) β (π Ξ£g (π β β0
β¦ ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ)))) β (Baseβπ)) |
66 | 11, 12, 13, 14, 16, 65 | matbas2d 21788 |
. 2
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β (π β π, π β π β¦ (π Ξ£g (π β β0
β¦ ((π((coe1βπ)βπ)π) Β· (ππΈπ))))) β π΅) |
67 | 10, 66 | eqeltrd 2834 |
1
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring β§ π β πΏ) β (πΌβπ) β π΅) |