Theorem mply1topmatcl 22699

Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mply1topmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mply1topmat.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mply1topmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mply1topmat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mply1topmat.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mply1topmat.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
mply1topmat.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mply1topmatcl.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mply1topmatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mply1topmatcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   𝑌,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑘,𝑝   · ,𝑘,𝑝   𝑖,𝐿,𝑗,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑅(𝑝)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mply1topmatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mply1topmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mply1topmat.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
3		mply1topmat.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
4		mply1topmat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		mply1topmat.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		mply1topmat.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		mply1topmat.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
8		mply1topmat.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mply1topmatval 22698	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
10	9	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
11		mply1topmatcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13		mply1topmatcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
14		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑁 ∈ Fin)
15	4	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ V)
17		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
18	4	ply1ring 22139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19		ringcmn 20198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
23		nn0ex 12455	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ℕ0 ∈ V)
25	4	ply1lmod 22143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
27	26	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
29		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
31		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ 𝑁)
32		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ 𝑁)
33		simpl13 1251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 ∈ 𝐿)
34		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
35	34, 3, 2, 30	coe1f 22103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	36, 37	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
39	1, 29, 30, 31, 32, 38	matecld 22320	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
40	4	ply1sca 22144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
41	40	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
42	41	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
43	42	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
44	43	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
46	39, 45	eleqtrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
48	47, 12	mgpbas 20061	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
49	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
50	47	ringmgp 20155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
52	51	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
54	7, 4, 12	vr1cl 22109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
55	54	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
56	55	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
58	48, 6, 53, 37, 57	mulgnn0cld 19034	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
59		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
60		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
61	12, 59, 5, 60	lmodvscl 20791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
62	28, 46, 58, 61	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
63	62	fmpttd 7090	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))):ℕ0⟶(Base‘𝑃))
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mply1topmatcllem 22697	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g‘𝑃))
65	12, 17, 22, 24, 63, 64	gsumcl 19852	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ (Base‘𝑃))
66	11, 12, 13, 14, 16, 65	matbas2d 22317	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)
67	10, 66	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  Fincfn 8921  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  CMndccmn 19717  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  LModclmod 20773  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068  coe₁cco1 22069   Mat cmat 22301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-mat 22302

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22704  mp2pm2mp  22705  pm2mpfo  22708