Theorem mply1topmatcl 22812

Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mply1topmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mply1topmat.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mply1topmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mply1topmat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mply1topmat.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mply1topmat.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
mply1topmat.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mply1topmatcl.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mply1topmatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mply1topmatcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   𝑌,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑘,𝑝   · ,𝑘,𝑝   𝑖,𝐿,𝑗,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑅(𝑝)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mply1topmatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mply1topmat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mply1topmat.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
3		mply1topmat.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
4		mply1topmat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		mply1topmat.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		mply1topmat.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		mply1topmat.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
8		mply1topmat.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mply1topmatval 22811	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
10	9	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
11		mply1topmatcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13		mply1topmatcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
14		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑁 ∈ Fin)
15	4	fvexi 6919	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ V)
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
18	4	ply1ring 22250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19		ringcmn 20280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
23		nn0ex 12534	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ℕ0 ∈ V)
25	4	ply1lmod 22254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
27	26	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
29		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
31		simpl2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ 𝑁)
32		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ 𝑁)
33		simpl13 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂 ∈ 𝐿)
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
35	34, 3, 2, 30	coe1f 22214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	36, 37	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
39	1, 29, 30, 31, 32, 38	matecld 22433	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
40	4	ply1sca 22255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
41	40	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
42	41	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
43	42	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
44	43	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
46	39, 45	eleqtrrd 2843	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
48	47, 12	mgpbas 20143	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
49	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
50	47	ringmgp 20237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
52	51	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
54	7, 4, 12	vr1cl 22220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
55	54	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
56	55	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
58	48, 6, 53, 37, 57	mulgnn0cld 19114	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
59		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
60		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
61	12, 59, 5, 60	lmodvscl 20877	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
62	28, 46, 58, 61	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
63	62	fmpttd 7134	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))):ℕ0⟶(Base‘𝑃))
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mply1topmatcllem 22810	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g‘𝑃))
65	12, 17, 22, 24, 63, 64	gsumcl 19934	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ (Base‘𝑃))
66	11, 12, 13, 14, 16, 65	matbas2d 22430	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)
67	10, 66	eqeltrd 2840	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  Fincfn 8986  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748  ._gcmg 19086  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231  LModclmod 20859  var₁cv1 22178  Poly₁cpl1 22179  coe₁cco1 22180   Mat cmat 22412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mat 22413

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22817  mp2pm2mp  22818  pm2mpfo  22821