MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mply1topmatcl 20823
Description: A polynomial over matrices transformed into a polynomial matrix is a polynomial matrix. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mply1topmat.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
mply1topmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mply1topmat.m · = ( ·𝑠𝑃)
mply1topmat.e 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mply1topmat.y 𝑌 = (var1𝑅)
mply1topmat.i 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mply1topmatcl.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mply1topmatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑃,𝑝   𝑌,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑘,𝑝   · ,𝑘,𝑝   𝑖,𝐿,𝑗,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑅(𝑝)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mply1topmatcl
StepHypRef Expression
1 mply1topmat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mply1topmat.q . . . 4 𝑄 = (Poly1𝐴)
3 mply1topmat.l . . . 4 𝐿 = (Base‘𝑄)
4 mply1topmat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 mply1topmat.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝑃)
6 mply1topmat.e . . . 4 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7 mply1topmat.y . . . 4 𝑌 = (var1𝑅)
8 mply1topmat.i . . . 4 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mply1topmatval 20822 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
1093adant2 1125 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
11 mply1topmatcl.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13 mply1topmatcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
14 simp1 1130 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑁 ∈ Fin)
154fvexi 6341 . . . 4 𝑃 ∈ V
1615a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ V)
17 eqid 2771 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
184ply1ring 19826 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19 ringcmn 18782 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
21203ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
23 nn0ex 11498 . . . . 5 0 ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ℕ0 ∈ V)
254ply1lmod 19830 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26253ad2ant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
27263ad2ant1 1127 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
2827adantr 466 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
29 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
31 simpl2 1229 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖𝑁)
32 simpl3 1231 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗𝑁)
33 simpl13 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑂𝐿)
34 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
3534, 3, 2, 30coe1f 19789 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂):ℕ0⟶(Base‘𝐴))
37 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3836, 37ffvelrnd 6501 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
391, 29, 30, 31, 32, 38matecld 20442 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
404ply1sca 19831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4140eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
42413ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
4342fveq2d 6334 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
44433ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
4544adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
4639, 45eleqtrrd 2853 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47183ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
48 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
4948ringmgp 18754 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
5047, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
51503ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
5251adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
537, 4, 12vr1cl 19795 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
54533ad2ant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
55543ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
5655adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
5748, 12mgpbas 18696 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
5857, 6mulgnn0cl 17759 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
5952, 37, 56, 58syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
60 eqid 2771 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
61 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
6212, 60, 5, 61lmodvscl 19083 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
6328, 46, 59, 62syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
64 eqid 2771 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))
6563, 64fmptd 6525 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))):ℕ0⟶(Base‘𝑃))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7mply1topmatcllem 20821 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g𝑃))
6712, 17, 22, 24, 65, 66gsumcl 18516 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ (Base‘𝑃))
6811, 12, 13, 14, 16, 67matbas2d 20439 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ 𝐵)
6910, 68eqeltrd 2850 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cmpt 4863  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  cmpt2 6793  Fincfn 8107  0cn0 11492  Basecbs 16057  Scalarcsca 16145   ·𝑠 cvsca 16146  0gc0g 16301   Σg cgsu 16302  Mndcmnd 17495  .gcmg 17741  CMndccmn 18393  mulGrpcmgp 18690  Ringcrg 18748  LModclmod 19066  var1cv1 19754  Poly1cpl1 19755  coe1cco1 19756   Mat cmat 20423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-ofr 7043  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-hash 13315  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-hom 16167  df-cco 16168  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-prds 16309  df-pws 16311  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18691  df-ur 18703  df-ring 18750  df-subrg 18981  df-lmod 19068  df-lss 19136  df-sra 19380  df-rgmod 19381  df-psr 19564  df-mvr 19565  df-mpl 19566  df-opsr 19568  df-psr1 19758  df-vr1 19759  df-ply1 19760  df-coe1 19761  df-dsmm 20286  df-frlm 20301  df-mat 20424
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  20828  mp2pm2mp  20829  pm2mpfo  20832
  Copyright terms: Public domain W3C validator