Theorem mpoexga 8076

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8075	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∈ cmpo 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrdOLDOLD  8082  el2mpocsbcl  8084  bropopvvv  8089  bropfvvvv  8091  prdsip  17475  imasds  17527  isofn  17788  setchomfval  18092  setccofval  18095  estrchomfval  18138  estrccofval  18141  lsmvalx  19620  dfrngc2  20588  funcrngcsetc  20600  dfringc2  20617  funcringcsetc  20634  mamuval  22331  mamudm  22333  marrepfval  22498  marrepval0  22499  marrepval  22500  marepvfval  22503  marepvval  22505  submaval0  22518  submaval  22519  maduval  22576  minmar1val0  22585  minmar1val  22586  mat2pmatval  22662  mat2pmatf  22666  m2cpmf  22680  cpm2mval  22688  decpmatval0  22702  decpmatmul  22710  pmatcollpw2lem  22715  pmatcollpw3lem  22721  mply1topmatval  22742  mp2pm2mplem1  22744  xkoptsub  23592  precsexlem11  28171  grpodivfval  30515  pstmval  33926  sxsigon  34223  cndprobval  34465  lmod1lem1  48463  lmod1lem2  48464  lmod1lem3  48465  lmod1lem4  48466  lmod1lem5  48467  2arymaptfv  48631  2arymaptfo  48634  invfn  49000