Theorem mpoexga 7785

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 7784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∈ cmpo 7157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7698  df-2nd 7699

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrd  7788  el2mpocsbcl  7790  bropopvvv  7795  bropfvvvv  7797  prdsip  16797  imasds  16849  isofn  17109  setchomfval  17410  setccofval  17413  estrchomfval  17447  estrccofval  17450  lsmvalx  18836  mamuval  21093  mamudm  21095  marrepfval  21265  marrepval0  21266  marrepval  21267  marepvfval  21270  marepvval  21272  submaval0  21285  submaval  21286  maduval  21343  minmar1val0  21352  minmar1val  21353  mat2pmatval  21429  mat2pmatf  21433  m2cpmf  21447  cpm2mval  21455  decpmatval0  21469  decpmatmul  21477  pmatcollpw2lem  21482  pmatcollpw3lem  21488  mply1topmatval  21509  mp2pm2mplem1  21511  xkoptsub  22359  grpodivfval  28421  pstmval  31370  sxsigon  31683  cndprobval  31923  dfrngc2  44991  funcrngcsetc  45017  dfringc2  45037  funcringcsetc  45054  lmod1lem1  45289  lmod1lem2  45290  lmod1lem3  45291  lmod1lem4  45292  lmod1lem5  45293  2arymaptfv  45458  2arymaptfo  45461