Theorem mpoexga 8118

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∈ cmpo 7450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrdOLDOLD  8124  el2mpocsbcl  8126  bropopvvv  8131  bropfvvvv  8133  prdsip  17521  imasds  17573  isofn  17836  setchomfval  18146  setccofval  18149  estrchomfval  18194  estrccofval  18197  lsmvalx  19681  dfrngc2  20650  funcrngcsetc  20662  dfringc2  20679  funcringcsetc  20696  mamuval  22418  mamudm  22420  marrepfval  22587  marrepval0  22588  marrepval  22589  marepvfval  22592  marepvval  22594  submaval0  22607  submaval  22608  maduval  22665  minmar1val0  22674  minmar1val  22675  mat2pmatval  22751  mat2pmatf  22755  m2cpmf  22769  cpm2mval  22777  decpmatval0  22791  decpmatmul  22799  pmatcollpw2lem  22804  pmatcollpw3lem  22810  mply1topmatval  22831  mp2pm2mplem1  22833  xkoptsub  23683  precsexlem11  28259  grpodivfval  30566  pstmval  33841  sxsigon  34156  cndprobval  34398  lmod1lem1  48216  lmod1lem2  48217  lmod1lem3  48218  lmod1lem4  48219  lmod1lem5  48220  2arymaptfv  48385  2arymaptfo  48388