Theorem mpoexga 8098

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8097	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∈ cmpo 7429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009

This theorem is used by:  el2mpocsbcl  8104  bropopvvv  8109  bropfvvvv  8111  prdsip  17644  imasds  17697  isofn  17962  setchomfval  18266  setccofval  18269  estrchomfval  18312  estrccofval  18315  lsmvalx  19865  dfrngc2  20892  funcrngcsetc  20904  dfringc2  20921  funcringcsetc  20938  mamuval  22720  mamudm  22722  marrepfval  22887  marrepval0  22888  marrepval  22889  marepvfval  22892  marepvval  22894  submaval0  22907  submaval  22908  maduval  22965  minmar1val0  22974  minmar1val  22975  mat2pmatval  23054  mat2pmatf  23058  m2cpmf  23072  cpm2mval  23080  decpmatval0  23094  decpmatmul  23102  pmatcollpw2lem  23107  pmatcollpw3lem  23113  mply1topmatval  23134  mp2pm2mplem1  23136  xkoptsub  23985  precsexlem11  28615  grpodivfval  31148  pstmval  34580  sxsigon  34878  cndprobval  35118  lmod1lem1  49738  lmod1lem2  49739  lmod1lem3  49740  lmod1lem4  49741  lmod1lem5  49742  2arymaptfv  49902  2arymaptfo  49905  invfn  50283