Theorem mpoexga 8077

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8076	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∈ cmpo 7416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988

This theorem is used by:  el2mpocsbcl  8083  bropopvvv  8088  bropfvvvv  8090  prdsip  17549  imasds  17602  isofn  17867  setchomfval  18171  setccofval  18174  estrchomfval  18217  estrccofval  18220  lsmvalx  19769  dfrngc2  20793  funcrngcsetc  20805  dfringc2  20822  funcringcsetc  20839  mamuval  22618  mamudm  22620  marrepfval  22785  marrepval0  22786  marrepval  22787  marepvfval  22790  marepvval  22792  submaval0  22805  submaval  22806  maduval  22863  minmar1val0  22872  minmar1val  22873  mat2pmatval  22952  mat2pmatf  22956  m2cpmf  22970  cpm2mval  22978  decpmatval0  22992  decpmatmul  23000  pmatcollpw2lem  23005  pmatcollpw3lem  23011  mply1topmatval  23032  mp2pm2mplem1  23034  xkoptsub  23883  precsexlem11  28485  grpodivfval  31018  pstmval  34408  sxsigon  34706  cndprobval  34947  lmod1lem1  49420  lmod1lem2  49421  lmod1lem3  49422  lmod1lem4  49423  lmod1lem5  49424  2arymaptfv  49584  2arymaptfo  49587  invfn  49959