Theorem mpoexga 8019

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8018	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∈ cmpo 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8024  bropopvvv  8029  bropfvvvv  8031  prdsip  17415  imasds  17468  isofn  17733  setchomfval  18037  setccofval  18040  estrchomfval  18083  estrccofval  18086  lsmvalx  19605  dfrngc2  20600  funcrngcsetc  20612  dfringc2  20629  funcringcsetc  20646  mamuval  22376  mamudm  22378  marrepfval  22543  marrepval0  22544  marrepval  22545  marepvfval  22548  marepvval  22550  submaval0  22563  submaval  22564  maduval  22621  minmar1val0  22630  minmar1val  22631  mat2pmatval  22707  mat2pmatf  22711  m2cpmf  22725  cpm2mval  22733  decpmatval0  22747  decpmatmul  22755  pmatcollpw2lem  22760  pmatcollpw3lem  22766  mply1topmatval  22787  mp2pm2mplem1  22789  xkoptsub  23637  precsexlem11  28227  grpodivfval  30623  pstmval  34079  sxsigon  34376  cndprobval  34617  lmod1lem1  48978  lmod1lem2  48979  lmod1lem3  48980  lmod1lem4  48981  lmod1lem5  48982  2arymaptfv  49142  2arymaptfo  49145  invfn  49520