Theorem mpoexga 8064

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8063	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∈ cmpo 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrdOLD  8069  el2mpocsbcl  8071  bropopvvv  8076  bropfvvvv  8078  prdsip  17407  imasds  17459  isofn  17722  setchomfval  18029  setccofval  18032  estrchomfval  18077  estrccofval  18080  lsmvalx  19507  mamuval  21888  mamudm  21890  marrepfval  22062  marrepval0  22063  marrepval  22064  marepvfval  22067  marepvval  22069  submaval0  22082  submaval  22083  maduval  22140  minmar1val0  22149  minmar1val  22150  mat2pmatval  22226  mat2pmatf  22230  m2cpmf  22244  cpm2mval  22252  decpmatval0  22266  decpmatmul  22274  pmatcollpw2lem  22279  pmatcollpw3lem  22285  mply1topmatval  22306  mp2pm2mplem1  22308  xkoptsub  23158  precsexlem11  27663  grpodivfval  29787  pstmval  32875  sxsigon  33190  cndprobval  33432  dfrngc2  46870  funcrngcsetc  46896  dfringc2  46916  funcringcsetc  46933  lmod1lem1  47168  lmod1lem2  47169  lmod1lem3  47170  lmod1lem4  47171  lmod1lem5  47172  2arymaptfv  47337  2arymaptfo  47340