Theorem mpoexga 8102

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8101	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∈ cmpo 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrdOLDOLD  8108  el2mpocsbcl  8110  bropopvvv  8115  bropfvvvv  8117  prdsip  17506  imasds  17558  isofn  17819  setchomfval  18124  setccofval  18127  estrchomfval  18170  estrccofval  18173  lsmvalx  19657  dfrngc2  20628  funcrngcsetc  20640  dfringc2  20657  funcringcsetc  20674  mamuval  22397  mamudm  22399  marrepfval  22566  marrepval0  22567  marrepval  22568  marepvfval  22571  marepvval  22573  submaval0  22586  submaval  22587  maduval  22644  minmar1val0  22653  minmar1val  22654  mat2pmatval  22730  mat2pmatf  22734  m2cpmf  22748  cpm2mval  22756  decpmatval0  22770  decpmatmul  22778  pmatcollpw2lem  22783  pmatcollpw3lem  22789  mply1topmatval  22810  mp2pm2mplem1  22812  xkoptsub  23662  precsexlem11  28241  grpodivfval  30553  pstmval  33894  sxsigon  34193  cndprobval  34435  lmod1lem1  48404  lmod1lem2  48405  lmod1lem3  48406  lmod1lem4  48407  lmod1lem5  48408  2arymaptfv  48572  2arymaptfo  48575