Theorem mpoexga 8068

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8067	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∈ cmpo 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrdOLDOLD  8074  el2mpocsbcl  8076  bropopvvv  8081  bropfvvvv  8083  prdsip  17414  imasds  17466  isofn  17729  setchomfval  18036  setccofval  18039  estrchomfval  18084  estrccofval  18087  lsmvalx  19552  mamuval  22121  mamudm  22123  marrepfval  22295  marrepval0  22296  marrepval  22297  marepvfval  22300  marepvval  22302  submaval0  22315  submaval  22316  maduval  22373  minmar1val0  22382  minmar1val  22383  mat2pmatval  22459  mat2pmatf  22463  m2cpmf  22477  cpm2mval  22485  decpmatval0  22499  decpmatmul  22507  pmatcollpw2lem  22512  pmatcollpw3lem  22518  mply1topmatval  22539  mp2pm2mplem1  22541  xkoptsub  23391  precsexlem11  27917  grpodivfval  30069  pstmval  33188  sxsigon  33503  cndprobval  33745  dfrngc2  46971  funcrngcsetc  46997  dfringc2  47017  funcringcsetc  47034  lmod1lem1  47268  lmod1lem2  47269  lmod1lem3  47270  lmod1lem4  47271  lmod1lem5  47272  2arymaptfv  47437  2arymaptfo  47440