Theorem mpoexga 8058

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8057	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∈ cmpo 7398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8064  bropopvvv  8069  bropfvvvv  8071  prdsip  17490  imasds  17543  isofn  17808  setchomfval  18112  setccofval  18115  estrchomfval  18158  estrccofval  18161  lsmvalx  19679  dfrngc2  20678  funcrngcsetc  20690  dfringc2  20707  funcringcsetc  20724  mamuval  22453  mamudm  22455  marrepfval  22620  marrepval0  22621  marrepval  22622  marepvfval  22625  marepvval  22627  submaval0  22640  submaval  22641  maduval  22698  minmar1val0  22707  minmar1val  22708  mat2pmatval  22784  mat2pmatf  22788  m2cpmf  22802  cpm2mval  22810  decpmatval0  22824  decpmatmul  22832  pmatcollpw2lem  22837  pmatcollpw3lem  22843  mply1topmatval  22864  mp2pm2mplem1  22866  xkoptsub  23714  precsexlem11  28310  grpodivfval  30737  pstmval  34192  sxsigon  34489  cndprobval  34730  lmod1lem1  49109  lmod1lem2  49110  lmod1lem3  49111  lmod1lem4  49112  lmod1lem5  49113  2arymaptfv  49273  2arymaptfo  49276  invfn  49651