Theorem mpoexga 8125

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∈ cmpo 7453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036

This theorem is used by:  el2mpocsbcl  8131  bropopvvv  8136  bropfvvvv  8138  prdsip  17682  imasds  17735  isofn  18000  setchomfval  18304  setccofval  18307  estrchomfval  18350  estrccofval  18353  lsmvalx  19904  dfrngc2  20931  funcrngcsetc  20943  dfringc2  20960  funcringcsetc  20977  mamuval  22763  mamudm  22765  marrepfval  22930  marrepval0  22931  marrepval  22932  marepvfval  22935  marepvval  22937  submaval0  22950  submaval  22951  maduval  23008  minmar1val0  23017  minmar1val  23018  mat2pmatval  23097  mat2pmatf  23101  m2cpmf  23115  cpm2mval  23123  decpmatval0  23137  decpmatmul  23145  pmatcollpw2lem  23150  pmatcollpw3lem  23156  mply1topmatval  23177  mp2pm2mplem1  23179  xkoptsub  24028  precsexlem11  28660  grpodivfval  31193  pstmval  34638  sxsigon  34936  cndprobval  35176  lmod1lem1  49930  lmod1lem2  49931  lmod1lem3  49932  lmod1lem4  49933  lmod1lem5  49934  2arymaptfv  50094  2arymaptfo  50097  invfn  50475