Theorem mpoexga 8066

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8065	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∈ cmpo 7413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978

This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrdOLD  8071  el2mpocsbcl  8073  bropopvvv  8078  bropfvvvv  8080  prdsip  17411  imasds  17463  isofn  17726  setchomfval  18033  setccofval  18036  estrchomfval  18081  estrccofval  18084  lsmvalx  19548  mamuval  22108  mamudm  22110  marrepfval  22282  marrepval0  22283  marrepval  22284  marepvfval  22287  marepvval  22289  submaval0  22302  submaval  22303  maduval  22360  minmar1val0  22369  minmar1val  22370  mat2pmatval  22446  mat2pmatf  22450  m2cpmf  22464  cpm2mval  22472  decpmatval0  22486  decpmatmul  22494  pmatcollpw2lem  22499  pmatcollpw3lem  22505  mply1topmatval  22526  mp2pm2mplem1  22528  xkoptsub  23378  precsexlem11  27902  grpodivfval  30054  pstmval  33173  sxsigon  33488  cndprobval  33730  dfrngc2  46958  funcrngcsetc  46984  dfringc2  47004  funcringcsetc  47021  lmod1lem1  47255  lmod1lem2  47256  lmod1lem3  47257  lmod1lem4  47258  lmod1lem5  47259  2arymaptfv  47424  2arymaptfo  47427