Theorem mpoexga 8080

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8079	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∈ cmpo 7421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993

This theorem is used by:  el2mpocsbcl  8086  bropopvvv  8091  bropfvvvv  8093  prdsip  17538  imasds  17591  isofn  17856  setchomfval  18160  setccofval  18163  estrchomfval  18206  estrccofval  18209  lsmvalx  19755  dfrngc2  20779  funcrngcsetc  20791  dfringc2  20808  funcringcsetc  20825  mamuval  22602  mamudm  22604  marrepfval  22769  marrepval0  22770  marrepval  22771  marepvfval  22774  marepvval  22776  submaval0  22789  submaval  22790  maduval  22847  minmar1val0  22856  minmar1val  22857  mat2pmatval  22933  mat2pmatf  22937  m2cpmf  22951  cpm2mval  22959  decpmatval0  22973  decpmatmul  22981  pmatcollpw2lem  22986  pmatcollpw3lem  22992  mply1topmatval  23013  mp2pm2mplem1  23015  xkoptsub  23864  precsexlem11  28463  grpodivfval  30959  pstmval  34351  sxsigon  34649  cndprobval  34890  lmod1lem1  49326  lmod1lem2  49327  lmod1lem3  49328  lmod1lem4  49329  lmod1lem5  49330  2arymaptfv  49490  2arymaptfo  49493  invfn  49867