Theorem mpoexga 8030

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8029	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∈ cmpo 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8035  bropopvvv  8040  bropfvvvv  8042  prdsip  17424  imasds  17477  isofn  17742  setchomfval  18046  setccofval  18049  estrchomfval  18092  estrccofval  18095  lsmvalx  19614  dfrngc2  20605  funcrngcsetc  20617  dfringc2  20634  funcringcsetc  20651  mamuval  22358  mamudm  22360  marrepfval  22525  marrepval0  22526  marrepval  22527  marepvfval  22530  marepvval  22532  submaval0  22545  submaval  22546  maduval  22603  minmar1val0  22612  minmar1val  22613  mat2pmatval  22689  mat2pmatf  22693  m2cpmf  22707  cpm2mval  22715  decpmatval0  22729  decpmatmul  22737  pmatcollpw2lem  22742  pmatcollpw3lem  22748  mply1topmatval  22769  mp2pm2mplem1  22771  xkoptsub  23619  precsexlem11  28209  grpodivfval  30605  pstmval  34039  sxsigon  34336  cndprobval  34577  lmod1lem1  48963  lmod1lem2  48964  lmod1lem3  48965  lmod1lem4  48966  lmod1lem5  48967  2arymaptfv  49127  2arymaptfo  49130  invfn  49505