Theorem mpoexga 8070

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8069	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∈ cmpo 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8076  bropopvvv  8081  bropfvvvv  8083  prdsip  17509  imasds  17562  isofn  17827  setchomfval  18131  setccofval  18134  estrchomfval  18177  estrccofval  18180  lsmvalx  19704  dfrngc2  20727  funcrngcsetc  20739  dfringc2  20756  funcringcsetc  20773  mamuval  22550  mamudm  22552  marrepfval  22717  marrepval0  22718  marrepval  22719  marepvfval  22722  marepvval  22724  submaval0  22737  submaval  22738  maduval  22795  minmar1val0  22804  minmar1val  22805  mat2pmatval  22881  mat2pmatf  22885  m2cpmf  22899  cpm2mval  22907  decpmatval0  22921  decpmatmul  22929  pmatcollpw2lem  22934  pmatcollpw3lem  22940  mply1topmatval  22961  mp2pm2mplem1  22963  xkoptsub  23811  precsexlem11  28410  grpodivfval  30886  pstmval  34285  sxsigon  34582  cndprobval  34823  lmod1lem1  49287  lmod1lem2  49288  lmod1lem3  49289  lmod1lem4  49290  lmod1lem5  49291  2arymaptfv  49451  2arymaptfo  49454  invfn  49828