Theorem mpoexga 8009

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8008	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∈ cmpo 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8015  bropopvvv  8020  bropfvvvv  8022  prdsip  17365  imasds  17417  isofn  17682  setchomfval  17986  setccofval  17989  estrchomfval  18032  estrccofval  18035  lsmvalx  19551  dfrngc2  20543  funcrngcsetc  20555  dfringc2  20572  funcringcsetc  20589  mamuval  22308  mamudm  22310  marrepfval  22475  marrepval0  22476  marrepval  22477  marepvfval  22480  marepvval  22482  submaval0  22495  submaval  22496  maduval  22553  minmar1val0  22562  minmar1val  22563  mat2pmatval  22639  mat2pmatf  22643  m2cpmf  22657  cpm2mval  22665  decpmatval0  22679  decpmatmul  22687  pmatcollpw2lem  22692  pmatcollpw3lem  22698  mply1topmatval  22719  mp2pm2mplem1  22721  xkoptsub  23569  precsexlem11  28155  grpodivfval  30514  pstmval  33908  sxsigon  34205  cndprobval  34446  lmod1lem1  48598  lmod1lem2  48599  lmod1lem3  48600  lmod1lem4  48601  lmod1lem5  48602  2arymaptfv  48762  2arymaptfo  48765  invfn  49141