Theorem mpoexga 8035

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8034	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∈ cmpo 7371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8041  bropopvvv  8046  bropfvvvv  8048  prdsip  17400  imasds  17452  isofn  17717  setchomfval  18021  setccofval  18024  estrchomfval  18067  estrccofval  18070  lsmvalx  19553  dfrngc2  20548  funcrngcsetc  20560  dfringc2  20577  funcringcsetc  20594  mamuval  22313  mamudm  22315  marrepfval  22480  marrepval0  22481  marrepval  22482  marepvfval  22485  marepvval  22487  submaval0  22500  submaval  22501  maduval  22558  minmar1val0  22567  minmar1val  22568  mat2pmatval  22644  mat2pmatf  22648  m2cpmf  22662  cpm2mval  22670  decpmatval0  22684  decpmatmul  22692  pmatcollpw2lem  22697  pmatcollpw3lem  22703  mply1topmatval  22724  mp2pm2mplem1  22726  xkoptsub  23574  precsexlem11  28159  grpodivfval  30513  pstmval  33878  sxsigon  34175  cndprobval  34417  lmod1lem1  48469  lmod1lem2  48470  lmod1lem3  48471  lmod1lem4  48472  lmod1lem5  48473  2arymaptfv  48633  2arymaptfo  48636  invfn  49012