Theorem mpoexga 8019

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8018	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∈ cmpo 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8025  bropopvvv  8030  bropfvvvv  8032  prdsip  17379  imasds  17432  isofn  17697  setchomfval  18001  setccofval  18004  estrchomfval  18047  estrccofval  18050  lsmvalx  19566  dfrngc2  20559  funcrngcsetc  20571  dfringc2  20588  funcringcsetc  20605  mamuval  22335  mamudm  22337  marrepfval  22502  marrepval0  22503  marrepval  22504  marepvfval  22507  marepvval  22509  submaval0  22522  submaval  22523  maduval  22580  minmar1val0  22589  minmar1val  22590  mat2pmatval  22666  mat2pmatf  22670  m2cpmf  22684  cpm2mval  22692  decpmatval0  22706  decpmatmul  22714  pmatcollpw2lem  22719  pmatcollpw3lem  22725  mply1topmatval  22746  mp2pm2mplem1  22748  xkoptsub  23596  precsexlem11  28185  grpodivfval  30558  pstmval  34001  sxsigon  34298  cndprobval  34539  lmod1lem1  48675  lmod1lem2  48676  lmod1lem3  48677  lmod1lem4  48678  lmod1lem5  48679  2arymaptfv  48839  2arymaptfo  48842  invfn  49217