Theorem mpoexga 8024

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8023	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∈ cmpo 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8029  bropopvvv  8034  bropfvvvv  8036  prdsip  17418  imasds  17471  isofn  17736  setchomfval  18040  setccofval  18043  estrchomfval  18086  estrccofval  18089  lsmvalx  19608  dfrngc2  20599  funcrngcsetc  20611  dfringc2  20628  funcringcsetc  20645  mamuval  22371  mamudm  22373  marrepfval  22538  marrepval0  22539  marrepval  22540  marepvfval  22543  marepvval  22545  submaval0  22558  submaval  22559  maduval  22616  minmar1val0  22625  minmar1val  22626  mat2pmatval  22702  mat2pmatf  22706  m2cpmf  22720  cpm2mval  22728  decpmatval0  22742  decpmatmul  22750  pmatcollpw2lem  22755  pmatcollpw3lem  22761  mply1topmatval  22782  mp2pm2mplem1  22784  xkoptsub  23632  precsexlem11  28226  grpodivfval  30623  pstmval  34058  sxsigon  34355  cndprobval  34596  lmod1lem1  48978  lmod1lem2  48979  lmod1lem3  48980  lmod1lem4  48981  lmod1lem5  48982  2arymaptfv  49142  2arymaptfo  49145  invfn  49520