Theorem mpoexga 8031

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8030	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∈ cmpo 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8037  bropopvvv  8042  bropfvvvv  8044  prdsip  17393  imasds  17446  isofn  17711  setchomfval  18015  setccofval  18018  estrchomfval  18061  estrccofval  18064  lsmvalx  19580  dfrngc2  20573  funcrngcsetc  20585  dfringc2  20602  funcringcsetc  20619  mamuval  22349  mamudm  22351  marrepfval  22516  marrepval0  22517  marrepval  22518  marepvfval  22521  marepvval  22523  submaval0  22536  submaval  22537  maduval  22594  minmar1val0  22603  minmar1val  22604  mat2pmatval  22680  mat2pmatf  22684  m2cpmf  22698  cpm2mval  22706  decpmatval0  22720  decpmatmul  22728  pmatcollpw2lem  22733  pmatcollpw3lem  22739  mply1topmatval  22760  mp2pm2mplem1  22762  xkoptsub  23610  precsexlem11  28225  grpodivfval  30622  pstmval  34073  sxsigon  34370  cndprobval  34611  lmod1lem1  48847  lmod1lem2  48848  lmod1lem3  48849  lmod1lem4  48850  lmod1lem5  48851  2arymaptfv  49011  2arymaptfo  49014  invfn  49389