MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpoexga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpoexga 8011
Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
mpoexga ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpoexg 8010 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3446  cmpo 7360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923
This theorem is referenced by:  mptmpoopabbrdOLD  8016  el2mpocsbcl  8018  bropopvvv  8023  bropfvvvv  8025  prdsip  17344  imasds  17396  isofn  17659  setchomfval  17966  setccofval  17969  estrchomfval  18014  estrccofval  18017  lsmvalx  19422  mamuval  21738  mamudm  21740  marrepfval  21912  marrepval0  21913  marrepval  21914  marepvfval  21917  marepvval  21919  submaval0  21932  submaval  21933  maduval  21990  minmar1val0  21999  minmar1val  22000  mat2pmatval  22076  mat2pmatf  22080  m2cpmf  22094  cpm2mval  22102  decpmatval0  22116  decpmatmul  22124  pmatcollpw2lem  22129  pmatcollpw3lem  22135  mply1topmatval  22156  mp2pm2mplem1  22158  xkoptsub  23008  grpodivfval  29479  pstmval  32479  sxsigon  32794  cndprobval  33036  dfrngc2  46277  funcrngcsetc  46303  dfringc2  46323  funcringcsetc  46340  lmod1lem1  46575  lmod1lem2  46576  lmod1lem3  46577  lmod1lem4  46578  lmod1lem5  46579  2arymaptfv  46744  2arymaptfo  46747
  Copyright terms: Public domain W3C validator