Theorem mpoexga 8074

Description: If the domain of an operation given by maps-to notation is a set, the operation is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpoexga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpoexg 8073	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∈ cmpo 7413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987

This theorem is referenced by:  el2mpocsbcl  8080  bropopvvv  8085  bropfvvvv  8087  prdsip  17514  imasds  17567  isofn  17832  setchomfval  18136  setccofval  18139  estrchomfval  18182  estrccofval  18185  lsmvalx  19709  dfrngc2  20713  funcrngcsetc  20725  dfringc2  20742  funcringcsetc  20759  mamuval  22519  mamudm  22521  marrepfval  22686  marrepval0  22687  marrepval  22688  marepvfval  22691  marepvval  22693  submaval0  22706  submaval  22707  maduval  22764  minmar1val0  22773  minmar1val  22774  mat2pmatval  22850  mat2pmatf  22854  m2cpmf  22868  cpm2mval  22876  decpmatval0  22890  decpmatmul  22898  pmatcollpw2lem  22903  pmatcollpw3lem  22909  mply1topmatval  22930  mp2pm2mplem1  22932  xkoptsub  23780  precsexlem11  28376  grpodivfval  30827  pstmval  34230  sxsigon  34527  cndprobval  34768  lmod1lem1  49152  lmod1lem2  49153  lmod1lem3  49154  lmod1lem4  49155  lmod1lem5  49156  2arymaptfv  49316  2arymaptfo  49319  invfn  49693