Theorem mply1topmatcllem 22735

Description: Lemma for mply1topmatcl 22737. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mply1topmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mply1topmat.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mply1topmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mply1topmat.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mply1topmat.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mply1topmat.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mply1topmatcllem	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑂   · ,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem mply1topmatcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12508	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ℕ0 ∈ V)
3		mply1topmat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1lmod 22179	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
5	4	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
6	5	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
7		simp12 1201	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
8	3	ply1sca 22180	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
10		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
11		ovexd 7452	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ V)
12		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
13	12, 10	mgpbas 20084	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
14		mply1topmat.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
15	3	ply1ring 22175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
16	12	ringmgp 20183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
18	17	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
19	18	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
20	19	adantr 479	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
21		simpr 483	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		mply1topmat.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
23	22, 3, 10	vr1cl 22145	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
24	23	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
25	24	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
26	25	adantr 479	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
27	13, 14, 20, 21, 26	mulgnn0cld 19054	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
28		eqid 2725	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
29		eqid 2725	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30		mply1topmat.m	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
31		mply1topmat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32		mply1topmat.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
33		mply1topmat.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
34	31, 32, 33	mptcoe1matfsupp 22734	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))
35	2, 6, 9, 10, 11, 27, 28, 29, 30, 34	mptscmfsupp0 20814	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Fincfn 8962   finSupp cfsupp 9385  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  0_gc0g 17420  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  LModclmod 20747  var₁cv1 22103  Poly₁cpl1 22104  coe₁cco1 22105   Mat cmat 22337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mat 22338

This theorem is referenced by:  mply1topmatcl  22737  mp2pm2mplem2  22739