MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mply1topmatcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mply1topmatcllem 21015
Description: Lemma for mply1topmatcl 21017. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mply1topmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mply1topmat.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mply1topmat.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
mply1topmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mply1topmat.m · = ( ·𝑠𝑃)
mply1topmat.e 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mply1topmat.y 𝑌 = (var1𝑅)
Assertion
Ref Expression
mply1topmatcllem (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g𝑃))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑂   · ,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝐿   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem mply1topmatcllem
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11649 . . 3 0 ∈ V
21a1i 11 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ℕ0 ∈ V)
3 mply1topmat.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
43ply1lmod 20018 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
543ad2ant2 1125 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
653ad2ant1 1124 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
7 simp12 1218 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
83ply1sca 20019 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
97, 8syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
10 eqid 2778 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
11 ovexd 6956 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ V)
123ply1ring 20014 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13 eqid 2778 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
1413ringmgp 18940 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
1512, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
16153ad2ant2 1125 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
17163ad2ant1 1124 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
1817adantr 474 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
19 simpr 479 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 mply1topmat.y . . . . . . 7 𝑌 = (var1𝑅)
2120, 3, 10vr1cl 19983 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
22213ad2ant2 1125 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
23223ad2ant1 1124 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
2423adantr 474 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
2513, 10mgpbas 18882 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
26 mply1topmat.e . . . 4 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
2725, 26mulgnn0cl 17944 . . 3 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
2818, 19, 24, 27syl3anc 1439 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
29 eqid 2778 . 2 (0g𝑃) = (0g𝑃)
30 eqid 2778 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31 mply1topmat.m . 2 · = ( ·𝑠𝑃)
32 mply1topmat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
33 mply1topmat.q . . 3 𝑄 = (Poly1𝐴)
34 mply1topmat.l . . 3 𝐿 = (Base‘𝑄)
3532, 33, 34mptcoe1matfsupp 21014 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g𝑅))
362, 6, 9, 10, 11, 28, 29, 30, 31, 35mptscmfsupp0 19320 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) · (𝑘𝐸𝑌))) finSupp (0g𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  0cn0 11642  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486  Mndcmnd 17680  .gcmg 17927  mulGrpcmgp 18876  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  var1cv1 19942  Poly1cpl1 19943  coe1cco1 19944   Mat cmat 20617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-psr1 19946  df-vr1 19947  df-ply1 19948  df-coe1 19949  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mat 20618
This theorem is referenced by:  mply1topmatcl  21017  mp2pm2mplem2  21019
  Copyright terms: Public domain W3C validator