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Theorem isacs2 17638
Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isacs2.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
isacs2 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠,𝑦   𝐹,𝑠,𝑦   𝑋,𝑠,𝑦

Proof of Theorem isacs2
Dummy variables 𝑓 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 17636 . 2 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))))
2 ffun 6728 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ Fun 𝑓)
3 funiunfv 7262 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑓 β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) = βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) = βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
54sseq1d 4011 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ (βˆͺ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))
6 iunss 5050 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)
75, 6bitr3di 285 . . . . . . . 8 (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ (βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))
87bibi2d 341 . . . . . . 7 (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ ((𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑) ↔ (𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)))
98ralbidv 3173 . . . . . 6 (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)))
109pm5.32i 573 . . . . 5 ((𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)) ↔ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)))
1110exbii 1842 . . . 4 (βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)))
12 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
13 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
1413elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑠)
1514adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑠)
16 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐢)
17 isacs2.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
1817mrcsscl 17605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑠 ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)
1912, 15, 16, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)
2019ralrimiva 3142 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)
2120ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)
22 fveq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘¦))
2322sseq1d 4011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦)))
24 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
2514adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑠)
26 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
2825, 27sstrd 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
2917mrccl 17596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢)
3024, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢)
31 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (𝑑 ∈ 𝐢 ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢))
32 pweq 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ 𝒫 𝑑 = 𝒫 (πΉβ€˜π‘¦))
3332ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) = (𝒫 (πΉβ€˜π‘¦) ∩ Fin))
34 sseq2 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦)))
3533, 34raleqbidv 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 (πΉβ€˜π‘¦) ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦)))
3631, 35bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 (πΉβ€˜π‘¦) ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))))
37 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))
39 mresspw 17577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
4039ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
4140, 30sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝒫 𝑋)
4236, 38, 41rspcdva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 (πΉβ€˜π‘¦) ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦)))
4330, 42mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 (πΉβ€˜π‘¦) ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))
4424, 17, 28mrcssidd 17610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))
45 vex 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
4645elpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ 𝒫 (πΉβ€˜π‘¦) ↔ 𝑦 βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))
4744, 46sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (πΉβ€˜π‘¦))
48 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4948adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
5047, 49elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 (πΉβ€˜π‘¦) ∩ Fin))
5123, 43, 50rspcdva 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦))
52 sstr2 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘¦) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
5453ralimdva 3163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
5554imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)
56 fveq2 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘§))
5756sseq1d 4011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) βŠ† 𝑠 ↔ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑠))
5857cbvralvw 3230 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘¦) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑠)
5955, 58sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑠)
60 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 ∈ 𝐢 ↔ 𝑠 ∈ 𝐢))
61 pweq 4618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑠 β†’ 𝒫 𝑑 = 𝒫 𝑠)
6261ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝒫 𝑑 ∩ Fin) = (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
63 sseq2 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑠))
6462, 63raleqbidv 3338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑠))
6560, 64bibi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑) ↔ (𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑠)))
6637ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))
67 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
6865, 66, 67rspcdva 3610 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠) β†’ (𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑠))
6959, 68mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠) β†’ 𝑠 ∈ 𝐢)
7021, 69impbida 799 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
7170ralrimiva 3142 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
7271ex 411 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
7372exlimdv 1928 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
7417mrcf 17594 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπΆ)
7574, 39fssd 6743 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋)
7617fvexi 6914 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ V
77 feq1 6706 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ↔ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋))
78 fveq1 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
7978sseq1d 4011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ (πΉβ€˜π‘§) βŠ† 𝑑))
8079ralbidv 3173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘§) βŠ† 𝑑))
81 fveq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
8281sseq1d 4011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑))
8382cbvralvw 3230 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑)
8480, 83bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑))
8584bibi2d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑) ↔ (𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑)))
8685ralbidv 3173 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑)))
87 sseq2 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑 ↔ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
8862, 87raleqbidv 3338 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
8960, 88bibi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑) ↔ (𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
9089cbvralvw 3230 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑑) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))
9186, 90bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
9277, 91anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)) ↔ (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠))))
9376, 92spcev 3593 . . . . . . 7 ((𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)))
9475, 93sylan 578 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)))
9594ex 411 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑))))
9673, 95impbid 211 . . . 4 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)(π‘“β€˜π‘§) βŠ† 𝑑)) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
9711, 96bitrid 282 . . 3 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
9897pm5.32i 573 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
991, 98bitri 274 1 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)(πΉβ€˜π‘¦) βŠ† 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4604  βˆͺ cuni 4910  βˆͺ ciun 4998   β€œ cima 5683  Fun wfun 6545  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  Fincfn 8968  Moorecmre 17567  mrClscmrc 17568  ACScacs 17570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574
This theorem is referenced by:  acsfiel  17639  isacs5  18545
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