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Theorem isacs3lem 18497
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 18505. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 17598 . 2 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
2 mresspw 17538 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
43sspwd 4615 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝒫 𝐢 βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋)
54sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
65elpwid 4611 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑋)
7 sspwuni 5103 . . . . . . 7 (𝑠 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝑠 βŠ† 𝑋)
86, 7sylib 217 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ βˆͺ 𝑠 βŠ† 𝑋)
98adantr 481 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆͺ 𝑠 βŠ† 𝑋)
10 elinel1 4195 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑠)
1110elpwid 4611 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑠)
12 elinel2 4196 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
13 fissuni 9359 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)
1514ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)
161ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
17 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mrClsβ€˜πΆ) = (mrClsβ€˜πΆ)
18 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)
19 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
2019elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑠)
2120unissd 4918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑠)
2221ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑠)
238ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ βˆͺ 𝑠 βŠ† 𝑋)
2422, 23sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† 𝑋)
2516, 17, 18, 24mrcssd 17570 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦))
26 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset)
2720adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑠)
28 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
30 ipodrsfi 18494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 βŠ† 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)
3126, 27, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑠 βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)
331ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
34 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)
35 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐢 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐢)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐢)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐢)
38 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑠)
3937, 38sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
4017mrcsscl 17566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† π‘₯)
4133, 34, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† π‘₯)
42 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑠)
4342ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑠)
4441, 43sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ βˆͺ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝑠)
4532, 44rexlimddv 3161 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝑠)
4645anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝑠)
4746adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝑠)
4847adantlrr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜βˆͺ 𝑦) βŠ† βˆͺ 𝑠)
4925, 48sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑦)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑠)
5015, 49rexlimddv 3161 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin))) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑠)
5150anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)) β†’ ((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑠)
5251ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑠)
5317acsfiel 17600 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢 ↔ (βˆͺ 𝑠 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑠)))
5453ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢 ↔ (βˆͺ 𝑠 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 βˆͺ 𝑠 ∩ Fin)((mrClsβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑠)))
559, 52, 54mpbir2and 711 . . . 4 (((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) ∧ (toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)
5655ex 413 . . 3 ((𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ ((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢))
5756ralrimiva 3146 . 2 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢))
581, 57jca 512 1 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  Fincfn 8941  Moorecmre 17528  mrClscmrc 17529  ACScacs 17531  Dirsetcdrs 18249  toInccipo 18482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ocomp 17220  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-proset 18250  df-drs 18251  df-poset 18268  df-ipo 18483
This theorem is referenced by:  acsdrsel  18498  acsdrscl  18501  acsficl  18502  isacs5  18503  isacs4  18504  isacs3  18505
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