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Theorem isacs3lem 17892
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 17900. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 17026 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mresspw 16966 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
43sspwd 4503 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
54sselda 3877 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
65elpwid 4499 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
7 sspwuni 4985 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑠𝑋)
86, 7sylib 221 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝑋)
98adantr 484 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝑋)
10 elinel1 4085 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
1110elpwid 4499 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 𝑠)
12 elinel2 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13 fissuni 8902 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑠𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1411, 12, 13syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1514ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
161ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
17 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
18 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 𝑦)
19 elinel1 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
2019elpwid 4499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦𝑠)
2120unissd 4806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 𝑠)
2221ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 𝑠)
238ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑠𝑋)
2422, 23sstrd 3887 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑋)
2516, 17, 18, 24mrcssd 16998 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦))
26 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
2720adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦𝑠)
28 elinel2 4086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
2928adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
30 ipodrsfi 17889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦𝑠𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3126, 27, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3231adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
331ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
34 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
35 elpwi 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶𝑠𝐶)
3635adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝐶)
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑠𝐶)
38 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝑠)
3937, 38sseldd 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝐶)
4017mrcsscl 16994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝑥𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
4133, 34, 39, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
42 elssuni 4828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑠𝑥 𝑠)
4342ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥 𝑠)
4441, 43sstrd 3887 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4532, 44rexlimddv 3201 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4645anassrs 471 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4746adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4847adantlrr 721 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4925, 48sstrd 3887 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5015, 49rexlimddv 3201 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5150anassrs 471 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5251ralrimiva 3096 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5317acsfiel 17028 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
5453ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
559, 52, 54mpbir2and 713 . . . 4 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝐶)
5655ex 416 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
5756ralrimiva 3096 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
581, 57jca 515 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  cin 3842  wss 3843  𝒫 cpw 4488   cuni 4796  cfv 6339  Fincfn 8555  Moorecmre 16956  mrClscmrc 16957  ACScacs 16959  Dirsetcdrs 17653  toInccipo 17877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ocomp 16689  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-proset 17654  df-drs 17655  df-poset 17672  df-ipo 17878
This theorem is referenced by:  acsdrsel  17893  acsdrscl  17896  acsficl  17897  isacs5  17898  isacs4  17899  isacs3  17900
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