Theorem isacs3lem 18588

Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 18596. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacs3lem	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmre 17686	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mresspw 17626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	sspwd 4623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
5	4	sselda 3991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
7		sspwuni 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
10		elinel1 4206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑠)
11	10	elpwid 4619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
12		elinel2 4207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13		fissuni 9408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ∪ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
14	11, 12, 13	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
15	14	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
16	1	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
17		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
18		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
19		elinel1 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
20	19	elpwid 4619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
21	20	unissd 4928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
22	21	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
23	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
24	22, 23	sstrd 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
25	16, 17, 18, 24	mrcssd 17658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦))
26		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
27	20	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
28		elinel2 4207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
29	28	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
30		ipodrsfi 18585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
32	31	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
33	1	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
34		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
35		elpwi 4617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑠 ⊆ 𝐶)
36	35	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
37	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
38		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑠)
39	37, 38	sseldd 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
40	17	mrcsscl 17654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
41	33, 34, 39, 40	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
42		elssuni 4950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
43	42	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
44	41, 43	sstrd 4002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
45	32, 44	rexlimddv 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
46	45	anassrs 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
47	46	adantrr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
48	47	adantlrr 719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
49	25, 48	sstrd 4002	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
50	15, 49	rexlimddv 3154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
51	50	anassrs 466	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
52	51	ralrimiva 3139	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
53	17	acsfiel 17688	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
54	53	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
55	9, 52, 54	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)
56	55	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
57	56	ralrimiva 3139	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
58	1, 57	jca 510	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2100  ∀wral 3054  ∃wrex 3063   ∩ cin 3958   ⊆ wss 3959  𝒫 cpw 4610  ∪ cuni 4918  ‘cfv 6558  Fincfn 8982  Moorecmre 17616  mrClscmrc 17617  ACScacs 17619  Dirsetcdrs 18340  toInccipo 18573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-7 12342  df-8 12343  df-9 12344  df-n0 12535  df-z 12621  df-dec 12740  df-uz 12885  df-fz 13549  df-struct 17170  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ocomp 17308  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-proset 18341  df-drs 18342  df-poset 18359  df-ipo 18574

This theorem is referenced by:  acsdrsel  18589  acsdrscl  18592  acsficl  18593  isacs5  18594  isacs4  18595  isacs3  18596