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Theorem isacs3lem 17771
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 17779. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 16918 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mresspw 16858 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
4 sspwb 5338 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
53, 4sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
65sselda 3971 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
76elpwid 4556 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
8 sspwuni 5019 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑠𝑋)
97, 8sylib 219 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝑋)
109adantr 481 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝑋)
11 elinel1 4176 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
1211elpwid 4556 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 𝑠)
13 elinel2 4177 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14 fissuni 8823 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑠𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1615ad2antll 725 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
171ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
18 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
19 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 𝑦)
20 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
2120elpwid 4556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦𝑠)
2221unissd 4861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 𝑠)
2322ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 𝑠)
249ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑠𝑋)
2523, 24sstrd 3981 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑋)
2617, 18, 19, 25mrcssd 16890 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦))
27 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
2821adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦𝑠)
29 elinel2 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
31 ipodrsfi 17768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦𝑠𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3227, 28, 30, 31syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
341ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
35 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
36 elpwi 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶𝑠𝐶)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝐶)
3837ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑠𝐶)
39 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝑠)
4038, 39sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝐶)
4118mrcsscl 16886 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝑥𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
4234, 35, 40, 41syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
43 elssuni 4866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑠𝑥 𝑠)
4443ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥 𝑠)
4542, 44sstrd 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4633, 45rexlimddv 3296 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4746anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4847adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4948adantlrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
5026, 49sstrd 3981 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5116, 50rexlimddv 3296 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5251anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5352ralrimiva 3187 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5418acsfiel 16920 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
5554ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
5610, 53, 55mpbir2and 709 . . . 4 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝐶)
5756ex 413 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
5857ralrimiva 3187 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
591, 58jca 512 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  cin 3939  wss 3940  𝒫 cpw 4542   cuni 4837  cfv 6354  Fincfn 8503  Moorecmre 16848  mrClscmrc 16849  ACScacs 16851  Dirsetcdrs 17532  toInccipo 17756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ocomp 16581  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-drs 17534  df-poset 17551  df-ipo 17757
This theorem is referenced by:  acsdrsel  17772  acsdrscl  17775  acsficl  17776  isacs5  17777  isacs4  17778  isacs3  17779
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