Theorem isacs3lem 18599

Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 18607. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacs3lem	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmre 17709	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mresspw 17645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	sspwd 4576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
5	4	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
7		sspwuni 5067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
10		elinel1 4155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑠)
11	10	elpwid 4572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
12		elinel2 4156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13		fissuni 9315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ∪ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
14	11, 12, 13	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
15	14	ad2antll 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
16	1	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
17		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
18		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
19		elinel1 4155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
20	19	elpwid 4572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
21	20	unissd 4883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
22	21	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
23	8	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
24	22, 23	sstrd 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
25	16, 17, 18, 24	mrcssd 17681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦))
26		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
27	20	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
28		elinel2 4156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
29	28	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
30		ipodrsfi 18596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
33	1	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
34		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
35		elpwi 4570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑠 ⊆ 𝐶)
36	35	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
38		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑠)
39	37, 38	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
40	17	mrcsscl 17677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
41	33, 34, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
42		elssuni 4905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
43	42	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
44	41, 43	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
45	32, 44	rexlimddv 3172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
46	45	anassrs 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
47	46	adantrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
48	47	adantlrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
49	25, 48	sstrd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
50	15, 49	rexlimddv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
51	50	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
52	51	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
53	17	acsfiel 17711	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
54	53	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
55	9, 52, 54	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)
56	55	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
57	56	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
58	1, 57	jca 520	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6538  Fincfn 8944  Moorecmre 17635  mrClscmrc 17636  ACScacs 17638  Dirsetcdrs 18350  toInccipo 18584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-drs 18352  df-poset 18370  df-ipo 18585

This theorem is referenced by:  acsdrsel  18600  acsdrscl  18603  acsficl  18604  isacs5  18605  isacs4  18606  isacs3  18607