Theorem isacs3lem 18696

Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 18704. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacs3lem	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmre 17806	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mresspw 17742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	sspwd 4570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
5	4	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
7		sspwuni 5060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
10		elinel1 4147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑠)
11	10	elpwid 4566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
12		elinel2 4148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13		fissuni 9330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ∪ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
15	14	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
16	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
17		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
18		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
19		elinel1 4147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
20	19	elpwid 4566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
21	20	unissd 4877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
23	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
24	22, 23	sstrd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
25	16, 17, 18, 24	mrcssd 17778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦))
26		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
27	20	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
28		elinel2 4148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
30		ipodrsfi 18693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
33	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
34		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
35		elpwi 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑠 ⊆ 𝐶)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
38		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑠)
39	37, 38	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
40	17	mrcsscl 17774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
41	33, 34, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
42		elssuni 4899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
43	42	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
44	41, 43	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
45	32, 44	rexlimddv 3170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
46	45	anassrs 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
47	46	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
48	47	adantlrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
49	25, 48	sstrd 3941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
50	15, 49	rexlimddv 3170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
51	50	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
52	51	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
53	17	acsfiel 17808	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
54	53	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
55	9, 52, 54	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)
56	55	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
57	56	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
58	1, 57	jca 521	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6531  Fincfn 8957  Moorecmre 17732  mrClscmrc 17733  ACScacs 17735  Dirsetcdrs 18447  toInccipo 18681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ocomp 17429  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-proset 18448  df-drs 18449  df-poset 18467  df-ipo 18682

This theorem is used by:  acsdrsel  18697  acsdrscl  18700  acsficl  18701  isacs5  18702  isacs4  18703  isacs3  18704