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Theorem isacs3lem 18612
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 18620. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 17710 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mresspw 17650 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
43sspwd 4635 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
54sselda 4008 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
65elpwid 4631 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
7 sspwuni 5123 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑠𝑋)
86, 7sylib 218 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝑋)
98adantr 480 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝑋)
10 elinel1 4224 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑠)
1110elpwid 4631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 𝑠)
12 elinel2 4225 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13 fissuni 9427 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑠𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
1514ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 𝑦)
161ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
17 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
18 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 𝑦)
19 elinel1 4224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
2019elpwid 4631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦𝑠)
2120unissd 4941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 𝑠)
2221ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦 𝑠)
238ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑠𝑋)
2422, 23sstrd 4019 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → 𝑦𝑋)
2516, 17, 18, 24mrcssd 17682 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦))
26 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
2720adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦𝑠)
28 elinel2 4225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
30 ipodrsfi 18609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦𝑠𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3126, 27, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥𝑠 𝑦𝑥)
331ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
34 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
35 elpwi 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶𝑠𝐶)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠𝐶)
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑠𝐶)
38 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝑠)
3937, 38sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥𝐶)
4017mrcsscl 17678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝑥𝑥𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
4133, 34, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑥)
42 elssuni 4961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑠𝑥 𝑠)
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → 𝑥 𝑠)
4441, 43sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥𝑠 𝑦𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4532, 44rexlimddv 3167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4645anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4746adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4847adantlrr 720 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘ 𝑦) ⊆ 𝑠)
4925, 48sstrd 4019 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5015, 49rexlimddv 3167 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5150anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5251ralrimiva 3152 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)
5317acsfiel 17712 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
5453ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ( 𝑠𝐶 ↔ ( 𝑠𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ 𝑠)))
559, 52, 54mpbir2and 712 . . . 4 (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → 𝑠𝐶)
5655ex 412 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
5756ralrimiva 3152 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶))
581, 57jca 511 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3067  wrex 3076  cin 3975  wss 3976  𝒫 cpw 4622   cuni 4931  cfv 6573  Fincfn 9003  Moorecmre 17640  mrClscmrc 17641  ACScacs 17643  Dirsetcdrs 18364  toInccipo 18597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18365  df-drs 18366  df-poset 18383  df-ipo 18598
This theorem is referenced by:  acsdrsel  18613  acsdrscl  18616  acsficl  18617  isacs5  18618  isacs4  18619  isacs3  18620
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