Theorem isacs3lem 18564

Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 18572. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacs3lem	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmre 17674	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mresspw 17610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	sspwd 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
5	4	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
7		sspwuni 5054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
10		elinel1 4151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑠)
11	10	elpwid 4561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
12		elinel2 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13		fissuni 9293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ∪ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
14	11, 12, 13	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
15	14	ad2antll 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
16	1	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
17		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
18		simprr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
19		elinel1 4151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
20	19	elpwid 4561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
21	20	unissd 4872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
22	21	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
23	8	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
24	22, 23	sstrd 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
25	16, 17, 18, 24	mrcssd 17646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦))
26		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
27	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
28		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
29	28	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
30		ipodrsfi 18561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
33	1	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
34		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
35		elpwi 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑠 ⊆ 𝐶)
36	35	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
37	36	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
38		simprl 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑠)
39	37, 38	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
40	17	mrcsscl 17642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
41	33, 34, 39, 40	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
42		elssuni 4894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
43	42	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
44	41, 43	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
45	32, 44	rexlimddv 3168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
46	45	anassrs 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
47	46	adantrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
48	47	adantlrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
49	25, 48	sstrd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
50	15, 49	rexlimddv 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
51	50	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
52	51	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
53	17	acsfiel 17676	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
54	53	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
55	9, 52, 54	mpbir2and 723	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)
56	55	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
57	56	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
58	1, 57	jca 519	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4862  ‘cfv 6515  Fincfn 8920  Moorecmre 17600  mrClscmrc 17601  ACScacs 17603  Dirsetcdrs 18315  toInccipo 18549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ocomp 17297  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-proset 18316  df-drs 18317  df-poset 18335  df-ipo 18550

This theorem is referenced by:  acsdrsel  18565  acsdrscl  18568  acsficl  18569  isacs5  18570  isacs4  18571  isacs3  18572