Theorem isacs3lem 18508

Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 18516. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacs3lem	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs3lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmre 17618	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mresspw 17554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	sspwd 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝒫 𝐶 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
5	4	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
6	5	elpwid 4550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
7		sspwuni 5042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
10		elinel1 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑠)
11	10	elpwid 4550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
12		elinel2 4142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13		fissuni 9267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ∪ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
14	11, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
15	14	ad2antll 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
16	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
17		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝐶) = (mrCls‘𝐶)
18		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)
19		elinel1 4141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
20	19	elpwid 4550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
21	20	unissd 4860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
22	21	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑠)
23	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑠 ⊆ 𝑋)
24	22, 23	sstrd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑋)
25	16, 17, 18, 24	mrcssd 17590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦))
26		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → (toInc‘𝑠) ∈ Dirset)
27	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑠)
28		elinel2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
30		ipodrsfi 18505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ∃𝑥 ∈ 𝑠 ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
33	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
34		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)
35		elpwi 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑠 ⊆ 𝐶)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
37	36	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
38		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑠)
39	37, 38	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
40	17	mrcsscl 17586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
41	33, 34, 39, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ 𝑥)
42		elssuni 4881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑠 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
43	42	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝑠)
44	41, 43	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑠 ∧ ∪ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
45	32, 44	rexlimddv 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
46	45	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
47	46	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
48	47	adantlrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘∪ 𝑦) ⊆ ∪ 𝑠)
49	25, 48	sstrd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑦)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
50	15, 49	rexlimddv 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin))) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
51	50	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)) → ((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
52	51	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)
53	17	acsfiel 17620	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
54	53	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → (∪ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ (∪ 𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 ∪ 𝑠 ∩ Fin)((mrCls‘𝐶)‘𝑥) ⊆ ∪ 𝑠)))
55	9, 52, 54	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) ∧ (toInc‘𝑠) ∈ Dirset) → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)
56	55	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → ((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
57	56	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶))
58	1, 57	jca 511	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  Moorecmre 17544  mrClscmrc 17545  ACScacs 17547  Dirsetcdrs 18259  toInccipo 18493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18279  df-ipo 18494

This theorem is referenced by:  acsdrsel  18509  acsdrscl  18512  acsficl  18513  isacs5  18514  isacs4  18515  isacs3  18516