Theorem nodmon 27578

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27573	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6665	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3123	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4581  dom cdm 5623  Oncon0 6311  ⟶wf 6482  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389   No csur 27567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-no 27570

This theorem is referenced by:  nodmord  27581  elno2  27582  noseponlem  27592  noextend  27594  noextendseq  27595  noextenddif  27596  noextendlt  27597  noextendgt  27598  bdayfo  27605  nosepssdm  27614  nolt02olem  27622  nosupno  27631  nosupres  27635  nosupbnd1lem1  27636  nosupbnd1lem2  27637  nosupbnd1lem3  27638  nosupbnd1lem4  27639  nosupbnd1lem5  27640  nosupbnd1lem6  27641  nosupbnd1  27642  nosupbnd2lem1  27643  nosupbnd2  27644  noinfno  27646  noinfres  27650  noinfbnd1lem1  27651  noinfbnd1lem2  27652  noinfbnd1lem3  27653  noinfbnd1lem4  27654  noinfbnd1lem5  27655  noinfbnd1lem6  27656  noinfbnd1  27657  noinfbnd2lem1  27658  noinfbnd2  27659  nosupinfsep  27660  noetasuplem3  27663  noetasuplem4  27664  noetainflem3  27667  noetainflem4  27668  bdaybndex  43404