Theorem nodmon 27772

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6705	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 253	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3159	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {cpr 4587  dom cdm 5652  Oncon0 6350  ⟶wf 6521  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435   No csur 27762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-no 27765

This theorem is referenced by:  nodmord  27775  elno2  27776  noseponlem  27786  noextend  27788  noextendseq  27789  noextenddif  27790  noextendlt  27791  noextendgt  27792  bdayfo  27799  nosepssdm  27808  nolt02olem  27816  nosupno  27825  nosupres  27829  nosupbnd1lem1  27830  nosupbnd1lem2  27831  nosupbnd1lem3  27832  nosupbnd1lem4  27833  nosupbnd1lem5  27834  nosupbnd1lem6  27835  nosupbnd1  27836  nosupbnd2lem1  27837  nosupbnd2  27838  noinfno  27840  noinfres  27844  noinfbnd1lem1  27845  noinfbnd1lem2  27846  noinfbnd1lem3  27847  noinfbnd1lem4  27848  noinfbnd1lem5  27849  noinfbnd1lem6  27850  noinfbnd1  27851  noinfbnd2lem1  27852  noinfbnd2  27853  nosupinfsep  27854  noetasuplem3  27857  noetasuplem4  27858  noetainflem3  27861  noetainflem4  27862  bdaybndex  44019