Theorem nodmon 27710

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6746	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3146	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {cpr 4633  dom cdm 5689  Oncon0 6386  ⟶wf 6559  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   No csur 27699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-no 27702

This theorem is referenced by:  nodmord  27713  elno2  27714  noseponlem  27724  noextend  27726  noextendseq  27727  noextenddif  27728  noextendlt  27729  noextendgt  27730  bdayfo  27737  nosepssdm  27746  nolt02olem  27754  nosupno  27763  nosupres  27767  nosupbnd1lem1  27768  nosupbnd1lem2  27769  nosupbnd1lem3  27770  nosupbnd1lem4  27771  nosupbnd1lem5  27772  nosupbnd1lem6  27773  nosupbnd1  27774  nosupbnd2lem1  27775  nosupbnd2  27776  noinfno  27778  noinfres  27782  noinfbnd1lem1  27783  noinfbnd1lem2  27784  noinfbnd1lem3  27785  noinfbnd1lem4  27786  noinfbnd1lem5  27787  noinfbnd1lem6  27788  noinfbnd1  27789  noinfbnd2lem1  27790  noinfbnd2  27791  nosupinfsep  27792  noetasuplem3  27795  noetasuplem4  27796  noetainflem3  27799  noetainflem4  27800  bdaybndex  43421