Theorem nodmon 27613

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6730	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 249	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3138	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060  {cpr 4631  dom cdm 5677  Oncon0 6369  ⟶wf 6543  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479   No csur 27603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-no 27606

This theorem is referenced by:  nodmord  27616  elno2  27617  noseponlem  27627  noextend  27629  noextendseq  27630  noextenddif  27631  noextendlt  27632  noextendgt  27633  bdayfo  27640  nosepssdm  27649  nolt02olem  27657  nosupno  27666  nosupres  27670  nosupbnd1lem1  27671  nosupbnd1lem2  27672  nosupbnd1lem3  27673  nosupbnd1lem4  27674  nosupbnd1lem5  27675  nosupbnd1lem6  27676  nosupbnd1  27677  nosupbnd2lem1  27678  nosupbnd2  27679  noinfno  27681  noinfres  27685  noinfbnd1lem1  27686  noinfbnd1lem2  27687  noinfbnd1lem3  27688  noinfbnd1lem4  27689  noinfbnd1lem5  27690  noinfbnd1lem6  27691  noinfbnd1  27692  noinfbnd2lem1  27693  noinfbnd2  27694  nosupinfsep  27695  noetasuplem3  27698  noetasuplem4  27699  noetainflem3  27702  noetainflem4  27703  bdaybndex  42926