Theorem nodmon 27143

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6724	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 249	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3149	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  {cpr 4630  dom cdm 5676  Oncon0 6362  ⟶wf 6537  1_oc1o 8456  2_oc2o 8457   No csur 27133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-no 27136

This theorem is referenced by:  nodmord  27146  elno2  27147  noseponlem  27157  noextend  27159  noextendseq  27160  noextenddif  27161  noextendlt  27162  noextendgt  27163  bdayfo  27170  nosepssdm  27179  nolt02olem  27187  nosupno  27196  nosupres  27200  nosupbnd1lem1  27201  nosupbnd1lem2  27202  nosupbnd1lem3  27203  nosupbnd1lem4  27204  nosupbnd1lem5  27205  nosupbnd1lem6  27206  nosupbnd1  27207  nosupbnd2lem1  27208  nosupbnd2  27209  noinfno  27211  noinfres  27215  noinfbnd1lem1  27216  noinfbnd1lem2  27217  noinfbnd1lem3  27218  noinfbnd1lem4  27219  noinfbnd1lem5  27220  noinfbnd1lem6  27221  noinfbnd1  27222  noinfbnd2lem1  27223  noinfbnd2  27224  nosupinfsep  27225  noetasuplem3  27228  noetasuplem4  27229  noetainflem3  27232  noetainflem4  27233  bdaybndex  42168