Theorem nodmon 27570

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6725	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 249	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3143	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3065  {cpr 4626  dom cdm 5672  Oncon0 6363  ⟶wf 6538  1_oc1o 8473  2_oc2o 8474   No csur 27560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-no 27563

This theorem is referenced by:  nodmord  27573  elno2  27574  noseponlem  27584  noextend  27586  noextendseq  27587  noextenddif  27588  noextendlt  27589  noextendgt  27590  bdayfo  27597  nosepssdm  27606  nolt02olem  27614  nosupno  27623  nosupres  27627  nosupbnd1lem1  27628  nosupbnd1lem2  27629  nosupbnd1lem3  27630  nosupbnd1lem4  27631  nosupbnd1lem5  27632  nosupbnd1lem6  27633  nosupbnd1  27634  nosupbnd2lem1  27635  nosupbnd2  27636  noinfno  27638  noinfres  27642  noinfbnd1lem1  27643  noinfbnd1lem2  27644  noinfbnd1lem3  27645  noinfbnd1lem4  27646  noinfbnd1lem5  27647  noinfbnd1lem6  27648  noinfbnd1  27649  noinfbnd2lem1  27650  noinfbnd2  27651  nosupinfsep  27652  noetasuplem3  27655  noetasuplem4  27656  noetainflem3  27659  noetainflem4  27660  bdaybndex  42784