Theorem nodmon 27630

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27625	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6679	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4584  dom cdm 5632  Oncon0 6325  ⟶wf 6496  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401   No csur 27619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-no 27622

This theorem is referenced by:  nodmord  27633  elno2  27634  noseponlem  27644  noextend  27646  noextendseq  27647  noextenddif  27648  noextendlt  27649  noextendgt  27650  bdayfo  27657  nosepssdm  27666  nolt02olem  27674  nosupno  27683  nosupres  27687  nosupbnd1lem1  27688  nosupbnd1lem2  27689  nosupbnd1lem3  27690  nosupbnd1lem4  27691  nosupbnd1lem5  27692  nosupbnd1lem6  27693  nosupbnd1  27694  nosupbnd2lem1  27695  nosupbnd2  27696  noinfno  27698  noinfres  27702  noinfbnd1lem1  27703  noinfbnd1lem2  27704  noinfbnd1lem3  27705  noinfbnd1lem4  27706  noinfbnd1lem5  27707  noinfbnd1lem6  27708  noinfbnd1  27709  noinfbnd2lem1  27710  noinfbnd2  27711  nosupinfsep  27712  noetasuplem3  27715  noetasuplem4  27716  noetainflem3  27719  noetainflem4  27720  bdaybndex  43776