Theorem nodmon 27713

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6756	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3154	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  {cpr 4650  dom cdm 5700  Oncon0 6395  ⟶wf 6569  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   No csur 27702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-no 27705

This theorem is referenced by:  nodmord  27716  elno2  27717  noseponlem  27727  noextend  27729  noextendseq  27730  noextenddif  27731  noextendlt  27732  noextendgt  27733  bdayfo  27740  nosepssdm  27749  nolt02olem  27757  nosupno  27766  nosupres  27770  nosupbnd1lem1  27771  nosupbnd1lem2  27772  nosupbnd1lem3  27773  nosupbnd1lem4  27774  nosupbnd1lem5  27775  nosupbnd1lem6  27776  nosupbnd1  27777  nosupbnd2lem1  27778  nosupbnd2  27779  noinfno  27781  noinfres  27785  noinfbnd1lem1  27786  noinfbnd1lem2  27787  noinfbnd1lem3  27788  noinfbnd1lem4  27789  noinfbnd1lem5  27790  noinfbnd1lem6  27791  noinfbnd1  27792  noinfbnd2lem1  27793  noinfbnd2  27794  nosupinfsep  27795  noetasuplem3  27798  noetasuplem4  27799  noetainflem3  27802  noetainflem4  27803  bdaybndex  43393