Theorem nodmon 27633

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27628	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6669	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4570  dom cdm 5622  Oncon0 6315  ⟶wf 6486  1_oc1o 8389  2_oc2o 8390   No csur 27622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-no 27625

This theorem is referenced by:  nodmord  27636  elno2  27637  noseponlem  27647  noextend  27649  noextendseq  27650  noextenddif  27651  noextendlt  27652  noextendgt  27653  bdayfo  27660  nosepssdm  27669  nolt02olem  27677  nosupno  27686  nosupres  27690  nosupbnd1lem1  27691  nosupbnd1lem2  27692  nosupbnd1lem3  27693  nosupbnd1lem4  27694  nosupbnd1lem5  27695  nosupbnd1lem6  27696  nosupbnd1  27697  nosupbnd2lem1  27698  nosupbnd2  27699  noinfno  27701  noinfres  27705  noinfbnd1lem1  27706  noinfbnd1lem2  27707  noinfbnd1lem3  27708  noinfbnd1lem4  27709  noinfbnd1lem5  27710  noinfbnd1lem6  27711  noinfbnd1  27712  noinfbnd2lem1  27713  noinfbnd2  27714  nosupinfsep  27715  noetasuplem3  27718  noetasuplem4  27719  noetainflem3  27722  noetainflem4  27723  bdaybndex  43873