Theorem nodmon 27695

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6745	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3148	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {cpr 4628  dom cdm 5685  Oncon0 6384  ⟶wf 6557  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500   No csur 27684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-no 27687

This theorem is referenced by:  nodmord  27698  elno2  27699  noseponlem  27709  noextend  27711  noextendseq  27712  noextenddif  27713  noextendlt  27714  noextendgt  27715  bdayfo  27722  nosepssdm  27731  nolt02olem  27739  nosupno  27748  nosupres  27752  nosupbnd1lem1  27753  nosupbnd1lem2  27754  nosupbnd1lem3  27755  nosupbnd1lem4  27756  nosupbnd1lem5  27757  nosupbnd1lem6  27758  nosupbnd1  27759  nosupbnd2lem1  27760  nosupbnd2  27761  noinfno  27763  noinfres  27767  noinfbnd1lem1  27768  noinfbnd1lem2  27769  noinfbnd1lem3  27770  noinfbnd1lem4  27771  noinfbnd1lem5  27772  noinfbnd1lem6  27773  noinfbnd1  27774  noinfbnd2lem1  27775  noinfbnd2  27776  nosupinfsep  27777  noetasuplem3  27780  noetasuplem4  27781  noetainflem3  27784  noetainflem4  27785  bdaybndex  43444