Theorem nodmon 33418

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 33414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6506	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2836	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 253	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3204	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {cpr 4524  dom cdm 5524  Oncon0 6169  ⟶wf 6331  1_oc1o 8105  2_oc2o 8106   No csur 33408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-no 33411

This theorem is referenced by:  nodmord  33421  elno2  33422  noseponlem  33432  noextend  33434  noextendseq  33435  noextenddif  33436  noextendlt  33437  noextendgt  33438  bdayfo  33445  nosepssdm  33454  nolt02olem  33462  nosupno  33471  nosupres  33475  nosupbnd1lem1  33476  nosupbnd1lem2  33477  nosupbnd1lem3  33478  nosupbnd1lem4  33479  nosupbnd1lem5  33480  nosupbnd1lem6  33481  nosupbnd1  33482  nosupbnd2lem1  33483  nosupbnd2  33484  noinfno  33486  noinfres  33490  noinfbnd1lem1  33491  noinfbnd1lem2  33492  noinfbnd1lem3  33493  noinfbnd1lem4  33494  noinfbnd1lem5  33495  noinfbnd1lem6  33496  noinfbnd1  33497  noinfbnd2lem1  33498  noinfbnd2  33499  nosupinfsep  33500  noetasuplem3  33503  noetasuplem4  33504  noetainflem3  33507  noetainflem4  33508