Theorem nodmon 27562

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6697	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3127	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4591  dom cdm 5638  Oncon0 6332  ⟶wf 6507  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   No csur 27551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-no 27554

This theorem is referenced by:  nodmord  27565  elno2  27566  noseponlem  27576  noextend  27578  noextendseq  27579  noextenddif  27580  noextendlt  27581  noextendgt  27582  bdayfo  27589  nosepssdm  27598  nolt02olem  27606  nosupno  27615  nosupres  27619  nosupbnd1lem1  27620  nosupbnd1lem2  27621  nosupbnd1lem3  27622  nosupbnd1lem4  27623  nosupbnd1lem5  27624  nosupbnd1lem6  27625  nosupbnd1  27626  nosupbnd2lem1  27627  nosupbnd2  27628  noinfno  27630  noinfres  27634  noinfbnd1lem1  27635  noinfbnd1lem2  27636  noinfbnd1lem3  27637  noinfbnd1lem4  27638  noinfbnd1lem5  27639  noinfbnd1lem6  27640  noinfbnd1  27641  noinfbnd2lem1  27642  noinfbnd2  27643  nosupinfsep  27644  noetasuplem3  27647  noetasuplem4  27648  noetainflem3  27651  noetainflem4  27652  bdaybndex  43420