Theorem nodmon 27887

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27883	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6716	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 253	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3158	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {cpr 4589  dom cdm 5659  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452   No csur 27877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-no 27880

This theorem is used by:  nodmord  27890  elno2  27891  noseponlem  27901  noextend  27903  noextendseq  27904  noextenddif  27905  noextendlt  27906  noextendgt  27907  bdayfo  27914  nosepssdm  27923  nolt02olem  27931  nosupno  27940  nosupres  27944  nosupbnd1lem1  27945  nosupbnd1lem2  27946  nosupbnd1lem3  27947  nosupbnd1lem4  27948  nosupbnd1lem5  27949  nosupbnd1lem6  27950  nosupbnd1  27951  nosupbnd2lem1  27952  nosupbnd2  27953  noinfno  27955  noinfres  27959  noinfbnd1lem1  27960  noinfbnd1lem2  27961  noinfbnd1lem3  27962  noinfbnd1lem4  27963  noinfbnd1lem5  27964  noinfbnd1lem6  27965  noinfbnd1  27966  noinfbnd2lem1  27967  noinfbnd2  27968  nosupinfsep  27969  noetasuplem3  27972  noetasuplem4  27973  noetainflem3  27976  noetainflem4  27977  bdaybndex  44273