Theorem nodmon 27150

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6726	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 249	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3148	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  {cpr 4630  dom cdm 5676  Oncon0 6364  ⟶wf 6539  1_oc1o 8458  2_oc2o 8459   No csur 27140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-no 27143

This theorem is referenced by:  nodmord  27153  elno2  27154  noseponlem  27164  noextend  27166  noextendseq  27167  noextenddif  27168  noextendlt  27169  noextendgt  27170  bdayfo  27177  nosepssdm  27186  nolt02olem  27194  nosupno  27203  nosupres  27207  nosupbnd1lem1  27208  nosupbnd1lem2  27209  nosupbnd1lem3  27210  nosupbnd1lem4  27211  nosupbnd1lem5  27212  nosupbnd1lem6  27213  nosupbnd1  27214  nosupbnd2lem1  27215  nosupbnd2  27216  noinfno  27218  noinfres  27222  noinfbnd1lem1  27223  noinfbnd1lem2  27224  noinfbnd1lem3  27225  noinfbnd1lem4  27226  noinfbnd1lem5  27227  noinfbnd1lem6  27228  noinfbnd1  27229  noinfbnd2lem1  27230  noinfbnd2  27231  nosupinfsep  27232  noetasuplem3  27235  noetasuplem4  27236  noetainflem3  27239  noetainflem4  27240  bdaybndex  42172