Theorem nodmon 27622

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27617	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6672	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3131	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {cpr 4583  dom cdm 5625  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393   No csur 27611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-no 27614

This theorem is referenced by:  nodmord  27625  elno2  27626  noseponlem  27636  noextend  27638  noextendseq  27639  noextenddif  27640  noextendlt  27641  noextendgt  27642  bdayfo  27649  nosepssdm  27658  nolt02olem  27666  nosupno  27675  nosupres  27679  nosupbnd1lem1  27680  nosupbnd1lem2  27681  nosupbnd1lem3  27682  nosupbnd1lem4  27683  nosupbnd1lem5  27684  nosupbnd1lem6  27685  nosupbnd1  27686  nosupbnd2lem1  27687  nosupbnd2  27688  noinfno  27690  noinfres  27694  noinfbnd1lem1  27695  noinfbnd1lem2  27696  noinfbnd1lem3  27697  noinfbnd1lem4  27698  noinfbnd1lem5  27699  noinfbnd1lem6  27700  noinfbnd1  27701  noinfbnd2lem1  27702  noinfbnd2  27703  nosupinfsep  27704  noetasuplem3  27707  noetasuplem4  27708  noetainflem3  27711  noetainflem4  27712  bdaybndex  43708