Theorem nodmon 27941

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27937	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6707	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 253	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3156	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {cpr 4585  dom cdm 5647  Oncon0 6351  ⟶wf 6523  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448   No csur 27931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-no 27934

This theorem is used by:  nodmord  27944  elno2  27945  noseponlem  27955  noextend  27957  noextendseq  27958  noextenddif  27959  noextendlt  27960  noextendgt  27961  bdayfo  27968  nosepssdm  27977  nolt02olem  27985  nosupno  27994  nosupres  27998  nosupbnd1lem1  27999  nosupbnd1lem2  28000  nosupbnd1lem3  28001  nosupbnd1lem4  28002  nosupbnd1lem5  28003  nosupbnd1lem6  28004  nosupbnd1  28005  nosupbnd2lem1  28006  nosupbnd2  28007  noinfno  28009  noinfres  28013  noinfbnd1lem1  28014  noinfbnd1lem2  28015  noinfbnd1lem3  28016  noinfbnd1lem4  28017  noinfbnd1lem5  28018  noinfbnd1lem6  28019  noinfbnd1  28020  noinfbnd2lem1  28021  noinfbnd2  28022  nosupinfsep  28023  noetasuplem3  28026  noetasuplem4  28027  noetainflem3  28030  noetainflem4  28031  bdaybndex  44375