Theorem nodmon 27618

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6671	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3130	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {cpr 4582  dom cdm 5624  Oncon0 6317  ⟶wf 6488  1_oc1o 8390  2_oc2o 8391   No csur 27607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-no 27610

This theorem is referenced by:  nodmord  27621  elno2  27622  noseponlem  27632  noextend  27634  noextendseq  27635  noextenddif  27636  noextendlt  27637  noextendgt  27638  bdayfo  27645  nosepssdm  27654  nolt02olem  27662  nosupno  27671  nosupres  27675  nosupbnd1lem1  27676  nosupbnd1lem2  27677  nosupbnd1lem3  27678  nosupbnd1lem4  27679  nosupbnd1lem5  27680  nosupbnd1lem6  27681  nosupbnd1  27682  nosupbnd2lem1  27683  nosupbnd2  27684  noinfno  27686  noinfres  27690  noinfbnd1lem1  27691  noinfbnd1lem2  27692  noinfbnd1lem3  27693  noinfbnd1lem4  27694  noinfbnd1lem5  27695  noinfbnd1lem6  27696  noinfbnd1  27697  noinfbnd2lem1  27698  noinfbnd2  27699  nosupinfsep  27700  noetasuplem3  27703  noetasuplem4  27704  noetainflem3  27707  noetainflem4  27708  bdaybndex  43668