Theorem nodmon 27582

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6656	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3124	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054  {cpr 4576  dom cdm 5614  Oncon0 6302  ⟶wf 6473  1_oc1o 8373  2_oc2o 8374   No csur 27571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-no 27574

This theorem is referenced by:  nodmord  27585  elno2  27586  noseponlem  27596  noextend  27598  noextendseq  27599  noextenddif  27600  noextendlt  27601  noextendgt  27602  bdayfo  27609  nosepssdm  27618  nolt02olem  27626  nosupno  27635  nosupres  27639  nosupbnd1lem1  27640  nosupbnd1lem2  27641  nosupbnd1lem3  27642  nosupbnd1lem4  27643  nosupbnd1lem5  27644  nosupbnd1lem6  27645  nosupbnd1  27646  nosupbnd2lem1  27647  nosupbnd2  27648  noinfno  27650  noinfres  27654  noinfbnd1lem1  27655  noinfbnd1lem2  27656  noinfbnd1lem3  27657  noinfbnd1lem4  27658  noinfbnd1lem5  27659  noinfbnd1lem6  27660  noinfbnd1  27661  noinfbnd2lem1  27662  noinfbnd2  27663  nosupinfsep  27664  noetasuplem3  27667  noetasuplem4  27668  noetainflem3  27671  noetainflem4  27672  bdaybndex  43443