Theorem nodmon 27614

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 27609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6678	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3132	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4570  dom cdm 5631  Oncon0 6324  ⟶wf 6495  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399   No csur 27603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-no 27606

This theorem is referenced by:  nodmord  27617  elno2  27618  noseponlem  27628  noextend  27630  noextendseq  27631  noextenddif  27632  noextendlt  27633  noextendgt  27634  bdayfo  27641  nosepssdm  27650  nolt02olem  27658  nosupno  27667  nosupres  27671  nosupbnd1lem1  27672  nosupbnd1lem2  27673  nosupbnd1lem3  27674  nosupbnd1lem4  27675  nosupbnd1lem5  27676  nosupbnd1lem6  27677  nosupbnd1  27678  nosupbnd2lem1  27679  nosupbnd2  27680  noinfno  27682  noinfres  27686  noinfbnd1lem1  27687  noinfbnd1lem2  27688  noinfbnd1lem3  27689  noinfbnd1lem4  27690  noinfbnd1lem5  27691  noinfbnd1lem6  27692  noinfbnd1  27693  noinfbnd2lem1  27694  noinfbnd2  27695  nosupinfsep  27696  noetasuplem3  27699  noetasuplem4  27700  noetainflem3  27703  noetainflem4  27704  bdaybndex  43858