Theorem nodmon 33780

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 33776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2		fdm 6593	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 249	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3208	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {cpr 4560  dom cdm 5580  Oncon0 6251  ⟶wf 6414  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261   No csur 33770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-no 33773

This theorem is referenced by:  nodmord  33783  elno2  33784  noseponlem  33794  noextend  33796  noextendseq  33797  noextenddif  33798  noextendlt  33799  noextendgt  33800  bdayfo  33807  nosepssdm  33816  nolt02olem  33824  nosupno  33833  nosupres  33837  nosupbnd1lem1  33838  nosupbnd1lem2  33839  nosupbnd1lem3  33840  nosupbnd1lem4  33841  nosupbnd1lem5  33842  nosupbnd1lem6  33843  nosupbnd1  33844  nosupbnd2lem1  33845  nosupbnd2  33846  noinfno  33848  noinfres  33852  noinfbnd1lem1  33853  noinfbnd1lem2  33854  noinfbnd1lem3  33855  noinfbnd1lem4  33856  noinfbnd1lem5  33857  noinfbnd1lem6  33858  noinfbnd1  33859  noinfbnd2lem1  33860  noinfbnd2  33861  nosupinfsep  33862  noetasuplem3  33865  noetasuplem4  33866  noetainflem3  33869  noetainflem4  33870