Theorem nvf 30680

Description: Mapping for the norm function. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
5		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 30634	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣 ‘𝑈), ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩ ∈ CVecOLD ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = (0vec‘𝑈)) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))
7	6	simp2d 1143	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161   ≤ cle 11297  abscabs 15274  CVec_OLDcvc 30578  NrmCVeccnv 30604   +_𝑣 cpv 30605  BaseSetcba 30606   ·_𝑠OLD cns 30607  0_veccn0v 30608  norm_CVcnmcv 30610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-nmcv 30620

This theorem is referenced by:  nvcl  30681  imsdf  30709  nmcvcn  30715  sspn  30756  hilnormi  31183