Theorem nvf 30646

Description: Mapping for the norm function. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
5		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 30600	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣 ‘𝑈), ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩ ∈ CVecOLD ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = (0vec‘𝑈)) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))
7	6	simp2d 1143	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134   + caddc 11137   · cmul 11139   ≤ cle 11275  abscabs 15258  CVec_OLDcvc 30544  NrmCVeccnv 30570   +_𝑣 cpv 30571  BaseSetcba 30572   ·_𝑠OLD cns 30573  0_veccn0v 30574  norm_CVcnmcv 30576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-vc 30545  df-nv 30578  df-va 30581  df-ba 30582  df-sm 30583  df-0v 30584  df-nmcv 30586

This theorem is referenced by:  nvcl  30647  imsdf  30675  nmcvcn  30681  sspn  30722  hilnormi  31149