Theorem nvf 30921

Description: Mapping for the norm function. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nvf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
5		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 30875	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣 ‘𝑈), ( ·𝑠OLD ‘𝑈)⟩ ∈ CVecOLD ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((𝑁‘𝑥) = 0 → 𝑥 = (0vec‘𝑈)) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁‘𝑥) + (𝑁‘𝑦)))))
7	6	simp2d 1159	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093   ≤ cle 11232  abscabs 15275  CVec_OLDcvc 30819  NrmCVeccnv 30845   +_𝑣 cpv 30846  BaseSetcba 30847   ·_𝑠OLD cns 30848  0_veccn0v 30849  norm_CVcnmcv 30851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-nmcv 30861

This theorem is referenced by:  nvcl  30922  imsdf  30950  nmcvcn  30956  sspn  30997  hilnormi  31424