Theorem nmcvcn 30628

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nmcvcn.2	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nmcvcn.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30593	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
5	1, 2	nvcl 30594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
6	5	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ))
7	1, 2	nvcl 30594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
8	7	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
9	6, 8	anim12d 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)))
10		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
11	10	remet 24797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12		metcl 24329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp3an1 1445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	9, 13	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ))
15	14	3impib 1113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
17	1, 16	imsmet 30624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18		metcl 24329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl3an1 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20		eqid 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
22	1, 20, 21, 2	nvabs 30605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
23	9	3impib 1113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
24	10	remetdval 24796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 30620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
27	22, 25, 26	3brtr4d 5185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
28	15, 19, 27	jca31 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29	28	3expa 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30		rpre 13036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ)
31		lelttr 11354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
32	31	3expa 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
33	32	expdimp 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
34	33	an32s 650	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
35	29, 30, 34	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
36	35	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
37	36	ralrimdva 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
38	37	impr 453	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
39		breq2 5157	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
40	39	rspceaimv 3614	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
41	4, 38, 40	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
42	41	ralrimivva 3191	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
43	1, 16	imsxmet 30625	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
44	10	rexmet 24798	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
45		nmcvcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
46		nmcvcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
47		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
48	10, 47	tgioo 24803	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
49	46, 48	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
50	45, 49	metcn 24543	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
51	43, 44, 50	sylancl 584	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
52	3, 42, 51	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5153   × cxp 5680  ran crn 5683   ↾ cres 5684   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  1c1 11159   < clt 11298   ≤ cle 11299   − cmin 11494  -cneg 11495  ℝ⁺crp 13028  (,)cioo 13378  abscabs 15239  topGenctg 17452  ∞Metcxmet 21328  Metcmet 21329  MetOpencmopn 21333   Cn ccn 23219  NrmCVeccnv 30517   +_𝑣 cpv 30518  BaseSetcba 30519   ·_𝑠OLD cns 30520  norm_CVcnmcv 30523  IndMetcims 30524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-grpo 30426  df-gid 30427  df-ginv 30428  df-gdiv 30429  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-vs 30532  df-nmcv 30533  df-ims 30534

This theorem is referenced by:  nmcnc  30629