MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcvcn 28075
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1 𝑁 = (normCV𝑈)
nmcvcn.2 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcvcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2799 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 nmcvcn.1 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvf 28040 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4 simprr 790 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
51, 2nvcl 28041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
65ex 402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ))
71, 2nvcl 28041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
87ex 402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
96, 8anim12d 603 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ)))
10 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1110remet 22921 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12 metcl 22465 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1311, 12mp3an1 1573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
149, 13syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ))
15143impib 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
171, 16imsmet 28071 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18 metcl 22465 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1917, 18syl3an1 1203 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
21 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
221, 20, 21, 2nvabs 28052 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2393impib 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
2410remetdval 22920 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 28067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2722, 25, 263brtr4d 4875 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
2815, 19, 27jca31 511 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29283expa 1148 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30 rpre 12082 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
31 lelttr 10418 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
32313expa 1148 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3332expdimp 445 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3433an32s 643 . . . . . . . 8 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3529, 30, 34syl2an 590 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3635ex 402 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3736ralrimdva 3150 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3837impr 447 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
39 breq2 4847 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
4039rspceaimv 3505 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
414, 38, 40syl2anc 580 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
4241ralrimivva 3152 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
431, 16imsxmet 28072 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
4410rexmet 22922 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
45 nmcvcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
46 nmcvcn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
47 eqid 2799 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4810, 47tgioo 22927 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4946, 48eqtri 2821 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5045, 49metcn 22676 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
5143, 44, 50sylancl 581 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
523, 42, 51mpbir2and 705 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090   class class class wbr 4843   × cxp 5310  ran crn 5313  cres 5314  ccom 5316  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  1c1 10225   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556  -cneg 10557  +crp 12074  (,)cioo 12424  abscabs 14315  topGenctg 16413  ∞Metcxmet 20053  Metcmet 20054  MetOpencmopn 20058   Cn ccn 21357  NrmCVeccnv 27964   +𝑣 cpv 27965  BaseSetcba 27966   ·𝑠OLD cns 27967  normCVcnmcv 27970  IndMetcims 27971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981
This theorem is referenced by:  nmcnc  28076
  Copyright terms: Public domain W3C validator