Theorem nmcvcn 30630

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nmcvcn.2	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nmcvcn.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30595	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
5	1, 2	nvcl 30596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
6	5	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ))
7	1, 2	nvcl 30596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
8	7	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
9	6, 8	anim12d 609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)))
10		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
11	10	remet 24684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12		metcl 24226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	9, 13	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ))
15	14	3impib 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
17	1, 16	imsmet 30626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18		metcl 24226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl3an1 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
22	1, 20, 21, 2	nvabs 30607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
23	9	3impib 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
24	10	remetdval 24683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 30622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
27	22, 25, 26	3brtr4d 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
28	15, 19, 27	jca31 514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29	28	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30		rpre 12966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ)
31		lelttr 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
32	31	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
33	32	expdimp 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
34	33	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
35	29, 30, 34	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
36	35	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
37	36	ralrimdva 3134	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
38	37	impr 454	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
39		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
40	39	rspceaimv 3597	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
41	4, 38, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
42	41	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
43	1, 16	imsxmet 30627	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
44	10	rexmet 24685	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
45		nmcvcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
46		nmcvcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
47		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
48	10, 47	tgioo 24690	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
49	46, 48	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
50	45, 49	metcn 24437	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
51	43, 44, 50	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
52	3, 42, 51	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109   × cxp 5638  ran crn 5641   ↾ cres 5642   ∘ ccom 5644  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  1c1 11075   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411  -cneg 11412  ℝ⁺crp 12957  (,)cioo 13312  abscabs 15206  topGenctg 17406  ∞Metcxmet 21255  Metcmet 21256  MetOpencmopn 21260   Cn ccn 23117  NrmCVeccnv 30519   +_𝑣 cpv 30520  BaseSetcba 30521   ·_𝑠OLD cns 30522  norm_CVcnmcv 30525  IndMetcims 30526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-topgen 17412  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-top 22787  df-topon 22804  df-bases 22839  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-grpo 30428  df-gid 30429  df-ginv 30430  df-gdiv 30431  df-ablo 30480  df-vc 30494  df-nv 30527  df-va 30530  df-ba 30531  df-sm 30532  df-0v 30533  df-vs 30534  df-nmcv 30535  df-ims 30536

This theorem is referenced by:  nmcnc  30631