MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcvcn 29637
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1 𝑁 = (normCV𝑈)
nmcvcn.2 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcvcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 nmcvcn.1 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvf 29602 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4 simprr 771 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
51, 2nvcl 29603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
65ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ))
71, 2nvcl 29603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
87ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
96, 8anim12d 609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ)))
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1110remet 24153 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1311, 12mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
149, 13syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ))
15143impib 1116 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
171, 16imsmet 29633 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18 metcl 23685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1917, 18syl3an1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
221, 20, 21, 2nvabs 29614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2393impib 1116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
2410remetdval 24152 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 29629 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2722, 25, 263brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
2815, 19, 27jca31 515 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29283expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30 rpre 12923 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
31 lelttr 11245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
32313expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3332expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3433an32s 650 . . . . . . . 8 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3529, 30, 34syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3635ex 413 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3736ralrimdva 3151 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3837impr 455 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
39 breq2 5109 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
4039rspceaimv 3585 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
414, 38, 40syl2anc 584 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
4241ralrimivva 3197 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
431, 16imsxmet 29634 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
4410rexmet 24154 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
45 nmcvcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
46 nmcvcn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
47 eqid 2736 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4810, 47tgioo 24159 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4946, 48eqtri 2764 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5045, 49metcn 23899 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
5143, 44, 50sylancl 586 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
523, 42, 51mpbir2and 711 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  +crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786   Cn ccn 22575  NrmCVeccnv 29526   +𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  normCVcnmcv 29532  IndMetcims 29533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543
This theorem is referenced by:  nmcnc  29638
  Copyright terms: Public domain W3C validator