Theorem nmcvcn 31324

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nmcvcn.2	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nmcvcn.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 31289	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
5	1, 2	nvcl 31290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
6	5	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ))
7	1, 2	nvcl 31290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
8	7	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
9	6, 8	anim12d 621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)))
10		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
11	10	remet 25136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12		metcl 24678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	9, 13	syl6 36	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ))
15	14	3impib 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
17	1, 16	imsmet 31320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18		metcl 24678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
22	1, 20, 21, 2	nvabs 31301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
23	9	3impib 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
24	10	remetdval 25135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 31316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
27	22, 25, 26	3brtr4d 5140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
28	15, 19, 27	jca31 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29	28	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30		rpre 13153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ)
31		lelttr 11424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
32	31	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
33	32	expdimp 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
34	33	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
35	29, 30, 34	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
36	35	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
37	36	ralrimdva 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
38	37	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
39		breq2 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
40	39	rspceaimv 3586	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
41	4, 38, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
42	41	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
43	1, 16	imsxmet 31321	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
44	10	rexmet 25137	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
45		nmcvcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
46		nmcvcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
47		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
48	10, 47	tgioo 25142	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
49	46, 48	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
50	45, 49	metcn 24889	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
51	43, 44, 50	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
52	3, 42, 51	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ran crn 5656   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  1c1 11225   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   -cneg 11566  ℝ⁺crp 13144  (,)cioo 13500  abscabs 15427  topGenctg 17634  ∞Metcxmet 21690  Metcmet 21691  MetOpencmopn 21695   Cn ccn 23569  NrmCVeccnv 31213   +_𝑣 cpv 31214  BaseSetcba 31215   ·_𝑠OLD cns 31216  norm_CVcnmcv 31219  IndMetcims 31220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-gdiv 31125  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-vs 31228  df-nmcv 31229  df-ims 31230

This theorem is used by:  nmcnc  31325