Theorem nmcvcn 31162

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nmcvcn.2	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		nmcvcn.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 31127	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
5	1, 2	nvcl 31128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ)
6	5	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ))
7	1, 2	nvcl 31128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
8	7	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
9	6, 8	anim12d 621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)))
10		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
11	10	remet 25017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12		metcl 24559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
13	11, 12	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	9, 13	syl6 36	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ))
15	14	3impib 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
17	1, 16	imsmet 31158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18		metcl 24559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
22	1, 20, 21, 2	nvabs 31139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
23	9	3impib 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ))
24	10	remetdval 25016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) = (abs‘((𝑁‘𝑥) − (𝑁‘𝑦))))
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 31154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))))
27	22, 25, 26	3brtr4d 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
28	15, 19, 27	jca31 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29	28	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30		rpre 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ)
31		lelttr 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
32	31	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
33	32	expdimp 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
34	33	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
35	29, 30, 34	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
36	35	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
37	36	ralrimdva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)))
38	37	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
39		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
40	39	rspceaimv 3585	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
41	4, 38, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
42	41	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))
43	1, 16	imsxmet 31159	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
44	10	rexmet 25018	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
45		nmcvcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
46		nmcvcn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
47		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
48	10, 47	tgioo 25023	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
49	46, 48	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
50	45, 49	metcn 24770	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
51	43, 44, 50	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁‘𝑦)) < 𝑒))))
52	3, 42, 51	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ran crn 5660   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  1c1 11128   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  -cneg 11469  ℝ⁺crp 13044  (,)cioo 13400  abscabs 15323  topGenctg 17526  ∞Metcxmet 21571  Metcmet 21572  MetOpencmopn 21576   Cn ccn 23450  NrmCVeccnv 31051   +_𝑣 cpv 31052  BaseSetcba 31053   ·_𝑠OLD cns 31054  norm_CVcnmcv 31057  IndMetcims 31058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-topgen 17532  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ginv 30962  df-gdiv 30963  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-vs 31066  df-nmcv 31067  df-ims 31068

This theorem is used by:  nmcnc  31163