MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcvcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmcvcn 29979
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmcvcn.2 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
nmcvcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
nmcvcn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcvcn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmcvcn.1 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvf 29944 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„)
4 simprr 772 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
51, 2nvcl 29945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
65ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
71, 2nvcl 29945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
87ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ))
96, 8anim12d 610 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)))
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1110remet 24306 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
12 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„) ∧ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
1311, 12mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
149, 13syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ))
15143impib 1117 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
171, 16imsmet 29975 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
18 metcl 23838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1917, 18syl3an1 1164 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
221, 20, 21, 2nvabs 29956 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))) ≀ (π‘β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
2393impib 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ))
2410remetdval 24305 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))))
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 29971 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
2722, 25, 263brtr4d 5181 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
2815, 19, 27jca31 516 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
29283expa 1119 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
30 rpre 12982 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
31 lelttr 11304 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
32313expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3332expdimp 454 . . . . . . . . 9 ((((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3433an32s 651 . . . . . . . 8 ((((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3529, 30, 34syl2an 597 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3635ex 414 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3736ralrimdva 3155 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3837impr 456 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
39 breq2 5153 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒))
4039rspceaimv 3618 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
414, 38, 40syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
4241ralrimivva 3201 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
431, 16imsxmet 29976 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
4410rexmet 24307 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
45 nmcvcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
46 nmcvcn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
47 eqid 2733 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
4810, 47tgioo 24312 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
4946, 48eqtri 2761 . . . 4 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5045, 49metcn 24052 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)) β†’ (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))))
5143, 44, 50sylancl 587 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))))
523, 42, 51mpbir2and 712 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  1c1 11111   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  abscabs 15181  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934   Cn ccn 22728  NrmCVeccnv 29868   +𝑣 cpv 29869  BaseSetcba 29870   ·𝑠OLD cns 29871  normCVcnmcv 29874  IndMetcims 29875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-grpo 29777  df-gid 29778  df-ginv 29779  df-gdiv 29780  df-ablo 29829  df-vc 29843  df-nv 29876  df-va 29879  df-ba 29880  df-sm 29881  df-0v 29882  df-vs 29883  df-nmcv 29884  df-ims 29885
This theorem is referenced by:  nmcnc  29980
  Copyright terms: Public domain W3C validator