MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcvcn 29679
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmcvcn.2 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
nmcvcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
nmcvcn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcvcn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmcvcn.1 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvf 29644 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„)
4 simprr 772 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
51, 2nvcl 29645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
65ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
71, 2nvcl 29645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
87ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ))
96, 8anim12d 610 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)))
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1110remet 24169 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
12 metcl 23701 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„) ∧ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
1311, 12mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
149, 13syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ))
15143impib 1117 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
171, 16imsmet 29675 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
18 metcl 23701 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1917, 18syl3an1 1164 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
221, 20, 21, 2nvabs 29656 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))) ≀ (π‘β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
2393impib 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ))
2410remetdval 24168 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))))
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 29671 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
2722, 25, 263brtr4d 5138 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
2815, 19, 27jca31 516 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
29283expa 1119 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
30 rpre 12928 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
31 lelttr 11250 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
32313expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3332expdimp 454 . . . . . . . . 9 ((((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3433an32s 651 . . . . . . . 8 ((((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3529, 30, 34syl2an 597 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3635ex 414 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3736ralrimdva 3148 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3837impr 456 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
39 breq2 5110 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒))
4039rspceaimv 3584 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
414, 38, 40syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
4241ralrimivva 3194 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
431, 16imsxmet 29676 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
4410rexmet 24170 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
45 nmcvcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
46 nmcvcn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
47 eqid 2733 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
4810, 47tgioo 24175 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
4946, 48eqtri 2761 . . . 4 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5045, 49metcn 23915 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)) β†’ (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))))
5143, 44, 50sylancl 587 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))))
523, 42, 51mpbir2and 712 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  1c1 11057   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  abscabs 15125  topGenctg 17324  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  MetOpencmopn 20802   Cn ccn 22591  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585
This theorem is referenced by:  nmcnc  29680
  Copyright terms: Public domain W3C validator