MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcvcn 29345
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1 𝑁 = (normCV𝑈)
nmcvcn.2 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcvcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 nmcvcn.1 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvf 29310 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4 simprr 770 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
51, 2nvcl 29311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
65ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ))
71, 2nvcl 29311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
87ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
96, 8anim12d 609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ)))
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1110remet 24059 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12 metcl 23591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1311, 12mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
149, 13syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ))
15143impib 1115 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
171, 16imsmet 29341 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18 metcl 23591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1917, 18syl3an1 1162 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
221, 20, 21, 2nvabs 29322 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2393impib 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
2410remetdval 24058 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 29337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2722, 25, 263brtr4d 5124 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
2815, 19, 27jca31 515 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29283expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30 rpre 12839 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
31 lelttr 11166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
32313expa 1117 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3332expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3433an32s 649 . . . . . . . 8 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3529, 30, 34syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3635ex 413 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3736ralrimdva 3147 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3837impr 455 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
39 breq2 5096 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
4039rspceaimv 3574 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
414, 38, 40syl2anc 584 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
4241ralrimivva 3193 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
431, 16imsxmet 29342 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
4410rexmet 24060 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
45 nmcvcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
46 nmcvcn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
47 eqid 2736 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4810, 47tgioo 24065 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4946, 48eqtri 2764 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5045, 49metcn 23805 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
5143, 44, 50sylancl 586 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
523, 42, 51mpbir2and 710 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5092   × cxp 5618  ran crn 5621  cres 5622  ccom 5624  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  cr 10971  1c1 10973   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306  -cneg 11307  +crp 12831  (,)cioo 13180  abscabs 15044  topGenctg 17245  ∞Metcxmet 20688  Metcmet 20689  MetOpencmopn 20693   Cn ccn 22481  NrmCVeccnv 29234   +𝑣 cpv 29235  BaseSetcba 29236   ·𝑠OLD cns 29237  normCVcnmcv 29240  IndMetcims 29241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-topgen 17251  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-top 22149  df-topon 22166  df-bases 22202  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-grpo 29143  df-gid 29144  df-ginv 29145  df-gdiv 29146  df-ablo 29195  df-vc 29209  df-nv 29242  df-va 29245  df-ba 29246  df-sm 29247  df-0v 29248  df-vs 29249  df-nmcv 29250  df-ims 29251
This theorem is referenced by:  nmcnc  29346
  Copyright terms: Public domain W3C validator