MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcvcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmcvcn 29943
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmcvcn.2 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
nmcvcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
nmcvcn.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcvcn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nmcvcn.1 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvf 29908 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„)
4 simprr 771 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
51, 2nvcl 29909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
65ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
71, 2nvcl 29909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
87ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ))
96, 8anim12d 609 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1110remet 24305 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
12 metcl 23837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„) ∧ (π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
1311, 12mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
149, 13syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ))
15143impib 1116 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
171, 16imsmet 29939 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
18 metcl 23837 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1917, 18syl3an1 1163 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
21 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
221, 20, 21, 2nvabs 29920 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))) ≀ (π‘β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
2393impib 1116 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ))
2410remetdval 24304 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((π‘β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦))))
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 29935 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) = (π‘β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))))
2722, 25, 263brtr4d 5180 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦))
2815, 19, 27jca31 515 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
29283expa 1118 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)))
30 rpre 12981 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
31 lelttr 11303 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
32313expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦) ∧ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒) β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3332expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3433an32s 650 . . . . . . . 8 ((((((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘₯𝐢𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3529, 30, 34syl2an 596 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
3635ex 413 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3736ralrimdva 3154 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)))
3837impr 455 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
39 breq2 5152 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 β†’ ((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 ↔ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒))
4039rspceaimv 3617 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑒 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
414, 38, 40syl2anc 584 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
4241ralrimivva 3200 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))
431, 16imsxmet 29940 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
4410rexmet 24306 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
45 nmcvcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
46 nmcvcn.k . . . . 5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
47 eqid 2732 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
4810, 47tgioo 24311 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
4946, 48eqtri 2760 . . . 4 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5045, 49metcn 24051 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)) β†’ (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))))
5143, 44, 50sylancl 586 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑦) < 𝑑 β†’ ((π‘β€˜π‘₯)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(π‘β€˜π‘¦)) < 𝑒))))
523, 42, 51mpbir2and 711 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  1c1 11110   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  β„+crp 12973  (,)cioo 13323  abscabs 15180  topGenctg 17382  βˆžMetcxmet 20928  Metcmet 20929  MetOpencmopn 20933   Cn ccn 22727  NrmCVeccnv 29832   +𝑣 cpv 29833  BaseSetcba 29834   ·𝑠OLD cns 29835  normCVcnmcv 29838  IndMetcims 29839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849
This theorem is referenced by:  nmcnc  29944
  Copyright terms: Public domain W3C validator