Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilnormi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilnormi 28944
 Description: Hilbert space norm in terms of vector space norm. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hilnorm.5 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilnorm.2 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
hilnorm.9 𝑈 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
hilnormi norm = (normCV𝑈)

Proof of Theorem hilnormi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilnorm.9 . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
2 hilnorm.5 . . . . 5 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2822 . . . . 5 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4 hilnorm.2 . . . . 5 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
52, 3, 4ipnm 28492 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normCV𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
61, 5mpan 689 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((normCV𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
76mpteq2ia 5133 . 2 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV𝑈)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
82, 3nvf 28441 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈): ℋ⟶ℝ)
98feqmptd 6715 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV𝑈)‘𝑥)))
101, 9ax-mp 5 . 2 (normCV𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV𝑈)‘𝑥))
11 dfhnorm2 28903 . 2 norm = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
127, 10, 113eqtr4ri 2856 1 norm = (normCV𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  √csqrt 14583  NrmCVeccnv 28365  BaseSetcba 28367  normCVcnmcv 28371  ·𝑖OLDcdip 28481   ℋchba 28700   ·ih csp 28703  normℎcno 28704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-hfi 28860 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-nmcv 28381  df-dip 28482  df-hnorm 28749 This theorem is referenced by:  hilhhi  28945
 Copyright terms: Public domain W3C validator