Theorem hilnormi 28735

Description: Hilbert space norm in terms of vector space norm. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilnorm.5	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilnorm.2	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilnorm.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilnormi	⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)

Proof of Theorem hilnormi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilnorm.9	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		hilnorm.5	. . . . 5 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2773	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
4		hilnorm.2	. . . . 5 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	2, 3, 4	ipnm 28281	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
6	1, 5	mpan 678	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
7	6	mpteq2ia 5015	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
8	2, 3	nvf 28230	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈): ℋ⟶ℝ)
9	8	feqmptd 6561	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normCV‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
11		dfhnorm2 28694	. 2 ⊢ normℎ = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
12	7, 10, 11	3eqtr4ri 2808	1 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ↦ cmpt 5005  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  √csqrt 14452  NrmCVeccnv 28154  BaseSetcba 28156  norm_CVcnmcv 28160  ·_𝑖OLDcdip 28270   ℋchba 28491   ·_ih csp 28494  norm_ℎcno 28495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-hfi 28651

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-exp 13244  df-hash 13505  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-clim 14705  df-sum 14903  df-grpo 28063  df-gid 28064  df-ginv 28065  df-ablo 28115  df-vc 28129  df-nv 28162  df-va 28165  df-ba 28166  df-sm 28167  df-0v 28168  df-nmcv 28170  df-dip 28271  df-hnorm 28540

This theorem is referenced by:  hilhhi  28736