Theorem hilnormi 30671

Description: Hilbert space norm in terms of vector space norm. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilnorm.5	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilnorm.2	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilnorm.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilnormi	⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)

Proof of Theorem hilnormi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilnorm.9	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		hilnorm.5	. . . . 5 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
4		hilnorm.2	. . . . 5 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	2, 3, 4	ipnm 30219	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
6	1, 5	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
7	6	mpteq2ia 5251	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
8	2, 3	nvf 30168	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈): ℋ⟶ℝ)
9	8	feqmptd 6960	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normCV‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
11		dfhnorm2 30630	. 2 ⊢ normℎ = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
12	7, 10, 11	3eqtr4ri 2771	1 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  √csqrt 15184  NrmCVeccnv 30092  BaseSetcba 30094  norm_CVcnmcv 30098  ·_𝑖OLDcdip 30208   ℋchba 30427   ·_ih csp 30430  norm_ℎcno 30431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hfi 30587

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-nmcv 30108  df-dip 30209  df-hnorm 30476

This theorem is referenced by:  hilhhi  30672