Theorem hilnormi 31698

Description: Hilbert space norm in terms of vector space norm. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilnorm.5	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilnorm.2	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilnorm.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilnormi	⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)

Proof of Theorem hilnormi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilnorm.9	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		hilnorm.5	. . . . 5 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
4		hilnorm.2	. . . . 5 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	2, 3, 4	ipnm 31246	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
6	1, 5	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) = (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
7	6	mpteq2ia 5199	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
8	2, 3	nvf 31195	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈): ℋ⟶ℝ)
9	8	feqmptd 6941	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
10	1, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normCV‘𝑈) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((normCV‘𝑈)‘𝑥))
11		dfhnorm2 31657	. 2 ⊢ normℎ = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (√‘(𝑥 ·ih 𝑥)))
12	7, 10, 11	3eqtr4ri 2794	1 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  √csqrt 15367  NrmCVeccnv 31119  BaseSetcba 31121  norm_CVcnmcv 31125  ·_𝑖OLDcdip 31235   ℋchba 31454   ·_ih csp 31457  norm_ℎcno 31458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-hfi 31614

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-sum 15821  df-grpo 31028  df-gid 31029  df-ginv 31030  df-ablo 31080  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-nmcv 31135  df-dip 31236  df-hnorm 31503

This theorem is used by:  hilhhi  31699