Theorem imsdf 28116

Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdfn.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdfn.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 28087	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ)
4		eqid 2777	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	1, 4	nvmf 28072	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6		fco 6308	. . 3 ⊢ (((normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8		imsdfn.8	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9	4, 2, 8	imsval 28112	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)))
10	9	feq1d 6276	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
11	7, 10	mpbird 249	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   × cxp 5353   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  ℝcr 10271  NrmCVeccnv 28011  BaseSetcba 28013   −_𝑣 cnsb 28016  norm_CVcnmcv 28017  IndMetcims 28018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028

This theorem is referenced by:  imsmetlem  28117  sspims  28166