Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsdf 28116
 Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdfn.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imsdf (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf
StepHypRef Expression
1 imsdfn.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2777 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
31, 2nvf 28087 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈):𝑋⟶ℝ)
4 eqid 2777 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
51, 4nvmf 28072 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6 fco 6308 . . 3 (((normCV𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
73, 5, 6syl2anc 579 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8 imsdfn.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
94, 2, 8imsval 28112 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)))
109feq1d 6276 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV𝑈) ∘ ( −𝑣𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
117, 10mpbird 249 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   × cxp 5353   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  ℝcr 10271  NrmCVeccnv 28011  BaseSetcba 28013   −𝑣 cnsb 28016  normCVcnmcv 28017  IndMetcims 28018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028 This theorem is referenced by:  imsmetlem  28117  sspims  28166
 Copyright terms: Public domain W3C validator