Theorem imsdf 29051

Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdfn.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdfn.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 29022	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	1, 4	nvmf 29007	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6		fco 6624	. . 3 ⊢ (((normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8		imsdfn.8	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9	4, 2, 8	imsval 29047	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)))
10	9	feq1d 6585	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
11	7, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   × cxp 5587   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℝcr 10870  NrmCVeccnv 28946  BaseSetcba 28948   −_𝑣 cnsb 28951  norm_CVcnmcv 28952  IndMetcims 28953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963

This theorem is referenced by:  imsmetlem  29052  sspims  29101