MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imsdf 29929
Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdfn.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
imsdfn.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imsdf (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
Proof of Theorem imsdf
StepHypRef Expression
1 imsdfn.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2732 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvf 29900 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ):π‘‹βŸΆβ„)
4 eqid 2732 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
51, 4nvmf 29885 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
6 fco 6738 . . 3 (((normCVβ€˜π‘ˆ):π‘‹βŸΆβ„ ∧ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
73, 5, 6syl2anc 584 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
8 imsdfn.8 . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
94, 2, 8imsval 29925 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 = ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)))
109feq1d 6699 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ↔ ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
117, 10mpbird 256 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  β„cr 11105  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826   βˆ’π‘£ cnsb 29829  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841
This theorem is referenced by:  imsmetlem  29930  sspims  29979
  Copyright terms: Public domain W3C validator