Theorem imsdf 30721

Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdfn.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdfn.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30692	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	1, 4	nvmf 30677	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6		fco 6771	. . 3 ⊢ (((normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8		imsdfn.8	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9	4, 2, 8	imsval 30717	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)))
10	9	feq1d 6732	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
11	7, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   × cxp 5698   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  NrmCVeccnv 30616  BaseSetcba 30618   −_𝑣 cnsb 30621  norm_CVcnmcv 30622  IndMetcims 30623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633

This theorem is referenced by:  imsmetlem  30722  sspims  30771