MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imsdf 30436
Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdfn.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
imsdfn.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imsdf (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
Proof of Theorem imsdf
StepHypRef Expression
1 imsdfn.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2724 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvf 30407 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ):π‘‹βŸΆβ„)
4 eqid 2724 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
51, 4nvmf 30392 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
6 fco 6732 . . 3 (((normCVβ€˜π‘ˆ):π‘‹βŸΆβ„ ∧ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
73, 5, 6syl2anc 583 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
8 imsdfn.8 . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
94, 2, 8imsval 30432 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 = ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)))
109feq1d 6693 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ↔ ((normCVβ€˜π‘ˆ) ∘ ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
117, 10mpbird 257 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   Γ— cxp 5665   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  β„cr 11106  NrmCVeccnv 30331  BaseSetcba 30333   βˆ’π‘£ cnsb 30336  normCVcnmcv 30337  IndMetcims 30338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-grpo 30240  df-gid 30241  df-ginv 30242  df-gdiv 30243  df-ablo 30292  df-vc 30306  df-nv 30339  df-va 30342  df-ba 30343  df-sm 30344  df-0v 30345  df-vs 30346  df-nmcv 30347  df-ims 30348
This theorem is referenced by:  imsmetlem  30437  sspims  30486
  Copyright terms: Public domain W3C validator