Theorem imsdf 30777

Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdfn.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdfn.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30748	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	1, 4	nvmf 30733	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6		fco 6694	. . 3 ⊢ (((normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8		imsdfn.8	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9	4, 2, 8	imsval 30773	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)))
10	9	feq1d 6652	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
11	7, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  NrmCVeccnv 30672  BaseSetcba 30674   −_𝑣 cnsb 30677  norm_CVcnmcv 30678  IndMetcims 30679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-grpo 30581  df-gid 30582  df-ginv 30583  df-gdiv 30584  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-nv 30680  df-va 30683  df-ba 30684  df-sm 30685  df-0v 30686  df-vs 30687  df-nmcv 30688  df-ims 30689

This theorem is referenced by:  imsmetlem  30778  sspims  30827