Theorem imsdf 30849

Description: Mapping for the induced metric distance function of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdfn.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdfn.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem imsdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdfn.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30820	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	1, 4	nvmf 30805	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6		fco 6711	. . 3 ⊢ (((normCV‘𝑈):𝑋⟶ℝ ∧ ( −𝑣 ‘𝑈):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8		imsdfn.8	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9	4, 2, 8	imsval 30845	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 = ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)))
10	9	feq1d 6668	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ ((normCV‘𝑈) ∘ ( −𝑣 ‘𝑈)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
11	7, 10	mpbird 259	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   × cxp 5641   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  ℝcr 11066  NrmCVeccnv 30744  BaseSetcba 30746   −_𝑣 cnsb 30749  norm_CVcnmcv 30750  IndMetcims 30751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410  df-neg 11411  df-grpo 30653  df-gid 30654  df-ginv 30655  df-gdiv 30656  df-ablo 30705  df-vc 30719  df-nv 30752  df-va 30755  df-ba 30756  df-sm 30757  df-0v 30758  df-vs 30759  df-nmcv 30760  df-ims 30761

This theorem is referenced by:  imsmetlem  30850  sspims  30899