Theorem nvmid 30734

Description: A vector minus itself is the zero vector. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmeq0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmeq0.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmeq0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmid	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem nvmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2		nvmeq0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvmeq0.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
4		nvmeq0.5	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5	2, 3, 4	nvmeq0 30733	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐴))
6	5	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐴))
7	1, 6	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐴) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  NrmCVeccnv 30659  BaseSetcba 30661  0_veccn0v 30663   −_𝑣 cnsb 30664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675

This theorem is referenced by:  sspz  30810