Theorem nvgf 29866

Description: Mapping for the vector addition operation. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgf.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvgf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Proof of Theorem nvgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgf.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 29865	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvgf.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 29852	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5	4	grpofo 29747	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋)
6		fof 6805	. 2 ⊢ (𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋 → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7	2, 5, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   × cxp 5674  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  GrpOpcgr 29737  NrmCVeccnv 29832   +_𝑣 cpv 29833  BaseSetcba 29834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-grpo 29741  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-nmcv 29848

This theorem is referenced by:  vacn  29942  sspg  29976  hladdf  30147