Theorem nvgf 30707

Description: Mapping for the vector addition operation. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgf.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvgf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Proof of Theorem nvgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgf.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 30706	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvgf.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 30693	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5	4	grpofo 30588	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋)
6		fof 6739	. 2 ⊢ (𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋 → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7	2, 5, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   × cxp 5616  ⟶wf 6481  –onto→wfo 6483  ‘cfv 6485  GrpOpcgr 30578  NrmCVeccnv 30673   +_𝑣 cpv 30674  BaseSetcba 30675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-grpo 30582  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689

This theorem is referenced by:  vacn  30783  sspg  30817  hladdf  30988