Theorem nvgf 30551

Description: Mapping for the vector addition operation. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgf.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvgf	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Proof of Theorem nvgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgf.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 30550	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvgf.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 30537	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5	4	grpofo 30432	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋)
6		fof 6815	. 2 ⊢ (𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋 → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7	2, 5, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   × cxp 5680  ⟶wf 6550  –onto→wfo 6552  ‘cfv 6554  GrpOpcgr 30422  NrmCVeccnv 30517   +_𝑣 cpv 30518  BaseSetcba 30519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-grpo 30426  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-nmcv 30533

This theorem is referenced by:  vacn  30627  sspg  30661  hladdf  30832