MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vacn 29934
Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vacn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
vacn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
vacn.g 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
vacn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vacn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 vacn.g . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
31, 2nvgf 29858 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
4 rphalfcl 12997 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
54adantl 482 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7 vacn.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 7imsmet 29931 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
10 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
12 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
13 metcl 23829 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) ∈ ℝ)
149, 11, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) ∈ ℝ)
15 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
17 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
18 metcl 23829 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦𝐢𝑀) ∈ ℝ)
199, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) ∈ ℝ)
20 rpre 12978 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
22 lt2halves 12443 . . . . . . . 8 (((π‘₯𝐢𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐢𝑀) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ))
2314, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
251, 24nvmcl 29886 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
266, 11, 12, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
271, 24nvmcl 29886 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
286, 16, 17, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
301, 2, 29nvtri 29910 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)) + ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
316, 26, 28, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)) + ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
321, 2nvgcl 29860 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
336, 11, 16, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
341, 2nvgcl 29860 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
356, 12, 17, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
361, 24, 29, 7imsdval 29926 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀))))
376, 33, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀))))
381, 2, 24nvaddsub4 29897 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀)) = ((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
396, 11, 16, 12, 17, 38syl122anc 1379 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀)) = ((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
4039fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
4137, 40eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
421, 24, 29, 7imsdval 29926 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)))
436, 11, 12, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)))
441, 24, 29, 7imsdval 29926 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
456, 16, 17, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
4643, 45oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)) + ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
4731, 41, 463brtr4d 5179 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ≀ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)))
48 metcl 23829 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ∈ ℝ)
499, 33, 35, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ∈ ℝ)
5014, 19readdcld 11239 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∈ ℝ)
51 lelttr 11300 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ∈ ℝ ∧ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ≀ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∧ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5249, 50, 21, 51syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ≀ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∧ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5347, 52mpand 693 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5423, 53syld 47 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5554ralrimivva 3200 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
56 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ↔ (π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2)))
57 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((𝑦𝐢𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)))
5856, 57anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) ↔ ((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2))))
5958imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ)))
60592ralbidv 3218 . . . . . 6 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ)))
6160rspcev 3612 . . . . 5 (((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
625, 55, 61syl2anc 584 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
6362ralrimiva 3146 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
6463ralrimivva 3200 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
651, 7imsxmet 29932 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
66 vacn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
6766, 66, 66txmetcn 24048 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))))
6865, 65, 65, 67syl3anc 1371 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))))
693, 64, 68mpbir2and 711 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  2c2 12263  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  MetOpencmopn 20926   Cn ccn 22719   Γ—t ctx 23055  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   βˆ’π‘£ cnsb 29829  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-tms 23819  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841
This theorem is referenced by:  vmcn  29939  dipcn  29960  hlimadd  30433
  Copyright terms: Public domain W3C validator