Theorem vacn 30750

Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vacn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vacn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vacn.g	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
vacn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vacn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		vacn.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	nvgf 30674	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈))
4		rphalfcl 12936	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
6		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7		vacn.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 7	imsmet 30747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
10		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
12		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈))
13		metcl 24278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
15		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
17		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18		metcl 24278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
19	9, 16, 17, 18	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
20		rpre 12916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑟 ∈ ℝ)
22		lt2halves 12378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
24		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
25	1, 24	nvmcl 30702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
26	6, 11, 12, 25	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
27	1, 24	nvmcl 30702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
28	6, 16, 17, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
30	1, 2, 29	nvtri 30726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
31	6, 26, 28, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
32	1, 2	nvgcl 30676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
33	6, 11, 16, 32	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
34	1, 2	nvgcl 30676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
35	6, 12, 17, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
36	1, 24, 29, 7	imsdval 30742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
37	6, 33, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
38	1, 2, 24	nvaddsub4 30713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
39	6, 11, 16, 12, 17, 38	syl122anc 1382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
40	39	fveq2d 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
41	37, 40	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
42	1, 24, 29, 7	imsdval 30742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)))
43	6, 11, 12, 42	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)))
44	1, 24, 29, 7	imsdval 30742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
45	6, 16, 17, 44	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
46	43, 45	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) = (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
47	31, 41, 46	3brtr4d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)))
48		metcl 24278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
49	9, 33, 35, 48	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
50	14, 19	readdcld 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
51		lelttr 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
52	49, 50, 21, 51	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
53	47, 52	mpand 696	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟 → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
54	23, 53	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
55	54	ralrimivva 3178	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
56		breq2 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2)))
57		breq2 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐶𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)))
58	56, 57	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2))))
59	58	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
60	59	2ralbidv 3199	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
61	60	rspcev 3575	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
62	5, 55, 61	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
63	62	ralrimiva 3127	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
64	63	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
65	1, 7	imsxmet 30748	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
66		vacn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
67	66, 66, 66	txmetcn 24494	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))) → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
68	65, 65, 65, 67	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
69	3, 64, 68	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   class class class wbr 5097   × cxp 5621  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  2c2 12202  ℝ⁺crp 12907  ∞Metcxmet 21296  Metcmet 21297  MetOpencmopn 21301   Cn ccn 23170   ×_t ctx 23506  NrmCVeccnv 30640   +_𝑣 cpv 30641  BaseSetcba 30642   −_𝑣 cnsb 30645  norm_CVcnmcv 30646  IndMetcims 30647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-xms 24266  df-tms 24268  df-grpo 30549  df-gid 30550  df-ginv 30551  df-gdiv 30552  df-ablo 30601  df-vc 30615  df-nv 30648  df-va 30651  df-ba 30652  df-sm 30653  df-0v 30654  df-vs 30655  df-nmcv 30656  df-ims 30657

This theorem is referenced by:  vmcn  30755  dipcn  30776  hlimadd  31249