Theorem vacn 29636

Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vacn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vacn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vacn.g	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
vacn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vacn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		vacn.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	nvgf 29560	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈))
4		rphalfcl 12942	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
6		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7		vacn.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 7	imsmet 29633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
10		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
12		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈))
13		metcl 23685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
15		simplrr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
17		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18		metcl 23685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
19	9, 16, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
20		rpre 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑟 ∈ ℝ)
22		lt2halves 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
25	1, 24	nvmcl 29588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
26	6, 11, 12, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
27	1, 24	nvmcl 29588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
28	6, 16, 17, 27	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
30	1, 2, 29	nvtri 29612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
31	6, 26, 28, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
32	1, 2	nvgcl 29562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
33	6, 11, 16, 32	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
34	1, 2	nvgcl 29562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
35	6, 12, 17, 34	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
36	1, 24, 29, 7	imsdval 29628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
37	6, 33, 35, 36	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
38	1, 2, 24	nvaddsub4 29599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
39	6, 11, 16, 12, 17, 38	syl122anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
40	39	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
41	37, 40	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
42	1, 24, 29, 7	imsdval 29628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)))
43	6, 11, 12, 42	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)))
44	1, 24, 29, 7	imsdval 29628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
45	6, 16, 17, 44	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
46	43, 45	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) = (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
47	31, 41, 46	3brtr4d 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)))
48		metcl 23685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
49	9, 33, 35, 48	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
50	14, 19	readdcld 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
51		lelttr 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
52	49, 50, 21, 51	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
53	47, 52	mpand 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟 → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
54	23, 53	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
55	54	ralrimivva 3197	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
56		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2)))
57		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐶𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)))
58	56, 57	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2))))
59	58	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
60	59	2ralbidv 3212	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
61	60	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
62	5, 55, 61	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
63	62	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
64	63	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
65	1, 7	imsxmet 29634	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
66		vacn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
67	66, 66, 66	txmetcn 23904	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))) → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
68	65, 65, 65, 67	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
69	3, 64, 68	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786   Cn ccn 22575   ×_t ctx 22911  NrmCVeccnv 29526   +_𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   −_𝑣 cnsb 29531  norm_CVcnmcv 29532  IndMetcims 29533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-tms 23675  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543

This theorem is referenced by:  vmcn  29641  dipcn  29662  hlimadd  30135