MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vacn 29947
Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vacn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
vacn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
vacn.g 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
vacn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vacn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 vacn.g . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
31, 2nvgf 29871 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
4 rphalfcl 13001 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
54adantl 483 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
6 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
7 vacn.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 7imsmet 29944 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
10 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
12 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
13 metcl 23838 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) ∈ ℝ)
149, 11, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) ∈ ℝ)
15 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1615adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
17 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
18 metcl 23838 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦𝐢𝑀) ∈ ℝ)
199, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) ∈ ℝ)
20 rpre 12982 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
22 lt2halves 12447 . . . . . . . 8 (((π‘₯𝐢𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐢𝑀) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ))
2314, 19, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ))
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
251, 24nvmcl 29899 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
266, 11, 12, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
271, 24nvmcl 29899 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
286, 16, 17, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
301, 2, 29nvtri 29923 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)) + ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
316, 26, 28, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ≀ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)) + ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
321, 2nvgcl 29873 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
336, 11, 16, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
341, 2nvgcl 29873 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
356, 12, 17, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
361, 24, 29, 7imsdval 29939 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀))))
376, 33, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀))))
381, 2, 24nvaddsub4 29910 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀)) = ((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
396, 11, 16, 12, 17, 38syl122anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀)) = ((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
4039fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯𝐺𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝐺𝑀))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
4137, 40eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜((π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)𝐺(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
421, 24, 29, 7imsdval 29939 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)))
436, 11, 12, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯𝐢𝑧) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)))
441, 24, 29, 7imsdval 29939 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
456, 16, 17, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
4643, 45oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑧)) + ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
4731, 41, 463brtr4d 5181 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ≀ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)))
48 metcl 23838 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝑧𝐺𝑀) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ∈ ℝ)
499, 33, 35, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ∈ ℝ)
5014, 19readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∈ ℝ)
51 lelttr 11304 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ∈ ℝ ∧ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ≀ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∧ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5249, 50, 21, 51syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) ≀ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) ∧ ((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5347, 52mpand 694 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) + (𝑦𝐢𝑀)) < π‘Ÿ β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5423, 53syld 47 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
5554ralrimivva 3201 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
56 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ↔ (π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2)))
57 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((𝑦𝐢𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)))
5856, 57anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ (((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) ↔ ((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2))))
5958imbi1d 342 . . . . . . 7 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ ((((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ (((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ)))
60592ralbidv 3219 . . . . . 6 (𝑠 = (π‘Ÿ / 2) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ)))
6160rspcev 3613 . . . . 5 (((π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (𝑦𝐢𝑀) < (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
625, 55, 61syl2anc 585 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
6362ralrimiva 3147 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
6463ralrimivva 3201 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))
651, 7imsxmet 29945 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
66 vacn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
6766, 66, 66txmetcn 24057 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))))
6865, 65, 65, 67syl3anc 1372 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)(((π‘₯𝐢𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦)𝐢(𝑧𝐺𝑀)) < π‘Ÿ))))
693, 64, 68mpbir2and 712 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   βˆ’π‘£ cnsb 29842  normCVcnmcv 29843  IndMetcims 29844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-tms 23828  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854
This theorem is referenced by:  vmcn  29952  dipcn  29973  hlimadd  30446
  Copyright terms: Public domain W3C validator