Theorem vacn 28957

Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vacn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
vacn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
vacn.g	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
vacn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem vacn

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		vacn.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	nvgf 28881	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈))
4		rphalfcl 12686	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
6		simplll 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7		vacn.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 7	imsmet 28954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
10		simplrl 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
12		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈))
13		metcl 23393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ)
15		simplrr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))
17		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18		metcl 23393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
19	9, 16, 17, 18	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ)
20		rpre 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → 𝑟 ∈ ℝ)
22		lt2halves 12138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐶𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟))
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
25	1, 24	nvmcl 28909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
26	6, 11, 12, 25	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈))
27	1, 24	nvmcl 28909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
28	6, 16, 17, 27	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
29		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
30	1, 2, 29	nvtri 28933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
31	6, 26, 28, 30	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))) ≤ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
32	1, 2	nvgcl 28883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
33	6, 11, 16, 32	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈))
34	1, 2	nvgcl 28883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
35	6, 12, 17, 34	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈))
36	1, 24, 29, 7	imsdval 28949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
37	6, 33, 35, 36	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))))
38	1, 2, 24	nvaddsub4 28920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
39	6, 11, 16, 12, 17, 38	syl122anc 1377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤)) = ((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
40	39	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑥𝐺𝑦)( −𝑣 ‘𝑈)(𝑧𝐺𝑤))) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
41	37, 40	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)𝐺(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
42	1, 24, 29, 7	imsdval 28949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)))
43	6, 11, 12, 42	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑥𝐶𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)))
44	1, 24, 29, 7	imsdval 28949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
45	6, 16, 17, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝑦𝐶𝑤) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤)))
46	43, 45	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) = (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑧)) + ((normCV‘𝑈)‘(𝑦( −𝑣 ‘𝑈)𝑤))))
47	31, 41, 46	3brtr4d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)))
48		metcl 23393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ (𝑥𝐺𝑦) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ (𝑧𝐺𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
49	9, 33, 35, 48	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ)
50	14, 19	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
51		lelttr 10996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
52	49, 50, 21, 51	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ((((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) ≤ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) ∧ ((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
53	47, 52	mpand 691	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) + (𝑦𝐶𝑤)) < 𝑟 → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
54	23, 53	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
55	54	ralrimivva 3114	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
56		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2)))
57		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((𝑦𝐶𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)))
58	56, 57	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2))))
59	58	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → ((((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
60	59	2ralbidv 3122	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)))
61	60	rspcev 3552	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < (𝑟 / 2) ∧ (𝑦𝐶𝑤) < (𝑟 / 2)) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
62	5, 55, 61	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
63	62	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
64	63	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))
65	1, 7	imsxmet 28955	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
66		vacn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
67	66, 66, 66	txmetcn 23610	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))) → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
68	65, 65, 65, 67	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝐺:((BaseSet‘𝑈) × (BaseSet‘𝑈))⟶(BaseSet‘𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((𝑥𝐶𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝐺𝑦)𝐶(𝑧𝐺𝑤)) < 𝑟))))
69	3, 64, 68	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  ∞Metcxmet 20495  Metcmet 20496  MetOpencmopn 20500   Cn ccn 22283   ×_t ctx 22619  NrmCVeccnv 28847   +_𝑣 cpv 28848  BaseSetcba 28849   −_𝑣 cnsb 28852  norm_CVcnmcv 28853  IndMetcims 28854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-tms 23383  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864

This theorem is referenced by:  vmcn  28962  dipcn  28983  hlimadd  29456