Theorem nvo00 30855

Description: Two ways to express a zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nvo00.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvo00	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Proof of Theorem nvo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6672	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → 𝑇 Fn 𝑋)
2		nvo00.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 30728	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
5	4	ne0d 4296	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑋 ≠ ∅)
6		fconst5 7164	. 2 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
7	1, 5, 6	syl2anr 598	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  {csn 4582   × cxp 5632  ran crn 5635   Fn wfn 6497  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  NrmCVeccnv 30678  BaseSetcba 30680  0_veccn0v 30682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ablo 30639  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-nmcv 30694

This theorem is referenced by: (None)