MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvo00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvo00 29745
Description: Two ways to express a zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nvo00.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvo00 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝑇 = (𝑋 Γ— {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Proof of Theorem nvo00
StepHypRef Expression
1 ffn 6669 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ 𝑇 Fn 𝑋)
2 nvo00.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2733 . . . 4 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvzcl 29618 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
54ne0d 4296 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6 fconst5 7156 . 2 ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑇 = (𝑋 Γ— {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
71, 5, 6syl2anr 598 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝑇 = (𝑋 Γ— {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4283  {csn 4587   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570  0veccn0v 29572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator