Theorem nvo00 30741

Description: Two ways to express a zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nvo00.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvo00	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Proof of Theorem nvo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6651	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → 𝑇 Fn 𝑋)
2		nvo00.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 30614	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
5	4	ne0d 4289	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑋 ≠ ∅)
6		fconst5 7140	. 2 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
7	1, 5, 6	syl2anr 597	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  {csn 4573   × cxp 5612  ran crn 5615   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  NrmCVeccnv 30564  BaseSetcba 30566  0_veccn0v 30568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-nmcv 30580

This theorem is referenced by: (None)