Theorem nvo00 31083

Description: Two ways to express a zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nvo00.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvo00	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Proof of Theorem nvo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6709	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → 𝑇 Fn 𝑋)
2		nvo00.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 30956	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
5	4	ne0d 4303	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑋 ≠ ∅)
6		fconst5 7208	. 2 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
7	1, 5, 6	syl2anr 608	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∅c0 4294  {csn 4594   × cxp 5663  ran crn 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  NrmCVeccnv 30906  BaseSetcba 30908  0_veccn0v 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-grpo 30815  df-gid 30816  df-ablo 30867  df-vc 30881  df-nv 30914  df-va 30917  df-ba 30918  df-sm 30919  df-0v 30920  df-nmcv 30922

This theorem is referenced by: (None)