MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvo00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvo00 27956
Description: Two ways to express a zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nvo00.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvo00 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Proof of Theorem nvo00
StepHypRef Expression
1 ffn 6185 . 2 (𝑇:𝑋𝑌𝑇 Fn 𝑋)
2 nvo00.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2771 . . . 4 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
42, 3nvzcl 27829 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
5 ne0i 4069 . . 3 ((0vec𝑈) ∈ 𝑋𝑋 ≠ ∅)
64, 5syl 17 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑋 ≠ ∅)
7 fconst5 6615 . 2 ((𝑇 Fn 𝑋𝑋 ≠ ∅) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
81, 6, 7syl2anr 584 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  c0 4063  {csn 4316   × cxp 5247  ran crn 5250   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  NrmCVeccnv 27779  BaseSetcba 27781  0veccn0v 27783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator