Theorem nvo00 30854

Description: Two ways to express a zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nvo00.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvo00	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Proof of Theorem nvo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6659	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → 𝑇 Fn 𝑋)
2		nvo00.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 30727	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
5	4	ne0d 4273	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑋 ≠ ∅)
6		fconst5 7154	. 2 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
7	1, 5, 6	syl2anr 604	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∅c0 4264  {csn 4558   × cxp 5619  ran crn 5622   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  NrmCVeccnv 30677  BaseSetcba 30679  0_veccn0v 30681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-nmcv 30693

This theorem is referenced by: (None)