MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvo00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvo00 30790
Description: Two ways to express a zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nvo00.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvo00 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))

Proof of Theorem nvo00
StepHypRef Expression
1 ffn 6737 . 2 (𝑇:𝑋𝑌𝑇 Fn 𝑋)
2 nvo00.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2735 . . . 4 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
42, 3nvzcl 30663 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
54ne0d 4348 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑋 ≠ ∅)
6 fconst5 7226 . 2 ((𝑇 Fn 𝑋𝑋 ≠ ∅) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
71, 5, 6syl2anr 597 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇 = (𝑋 × {𝑍}) ↔ ran 𝑇 = {𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339  {csn 4631   × cxp 5687  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  0veccn0v 30617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator