Theorem lnomul 30696

Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnomul.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5	⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
lnomul.6	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
lnomul.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnomul	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnomul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿))
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		lnomul.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	5, 6	nvzcl 30570	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12		lnomul.5	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13		lnomul.6	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14		lnomul.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
15	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 30690	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
16	1, 2, 3, 8, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
17	5, 12	nvscl 30562	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
18	4, 2, 3, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
19	5, 10, 6	nv0rid 30571	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
20	4, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
21	20	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	5, 9, 6, 22, 14	lno0 30692	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
24	23	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
26		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
27	5, 9, 14	lnof 30691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
29	28, 3	ffvelcdmd 7060	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
30	9, 13	nvscl 30562	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31	26, 2, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
32	9, 11, 22	nv0rid 30571	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
33	26, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
34	25, 33	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
35	16, 21, 34	3eqtr3d 2773	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522   ·_𝑠OLD cns 30523  0_veccn0v 30524   LnOp clno 30676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-nmcv 30536  df-lno 30680

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30729  nmblolbii  30735  blocnilem  30740  ubthlem2  30807