Theorem lnomul 28543

Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnomul.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5	⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
lnomul.6	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
lnomul.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnomul	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnomul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿))
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		simpl1 1188	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		lnomul.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	5, 6	nvzcl 28417	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
9		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12		lnomul.5	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13		lnomul.6	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14		lnomul.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
15	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 28537	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
16	1, 2, 3, 8, 15	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
17	5, 12	nvscl 28409	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
18	4, 2, 3, 17	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
19	5, 10, 6	nv0rid 28418	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
20	4, 18, 19	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
21	20	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	5, 9, 6, 22, 14	lno0 28539	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
24	23	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
25	24	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
26		simpl2 1189	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
27	5, 9, 14	lnof 28538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
28	27	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
29	28, 3	ffvelrnd 6829	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
30	9, 13	nvscl 28409	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31	26, 2, 29, 30	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
32	9, 11, 22	nv0rid 28418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
33	26, 31, 32	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
34	25, 33	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
35	16, 21, 34	3eqtr3d 2841	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  NrmCVeccnv 28367   +_𝑣 cpv 28368  BaseSetcba 28369   ·_𝑠OLD cns 28370  0_veccn0v 28371   LnOp clno 28523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-nmcv 28383  df-lno 28527

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  28576  nmblolbii  28582  blocnilem  28587  ubthlem2  28654