Theorem lnomul 30740

Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnomul.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5	⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
lnomul.6	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
lnomul.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnomul	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnomul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿))
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		lnomul.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	5, 6	nvzcl 30614	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12		lnomul.5	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13		lnomul.6	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14		lnomul.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
15	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 30734	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
16	1, 2, 3, 8, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
17	5, 12	nvscl 30606	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
18	4, 2, 3, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
19	5, 10, 6	nv0rid 30615	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
20	4, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
21	20	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	5, 9, 6, 22, 14	lno0 30736	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
24	23	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
26		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
27	5, 9, 14	lnof 30735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
29	28, 3	ffvelcdmd 7018	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
30	9, 13	nvscl 30606	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31	26, 2, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
32	9, 11, 22	nv0rid 30615	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
33	26, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
34	25, 33	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
35	16, 21, 34	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  NrmCVeccnv 30564   +_𝑣 cpv 30565  BaseSetcba 30566   ·_𝑠OLD cns 30567  0_veccn0v 30568   LnOp clno 30720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-nmcv 30580  df-lno 30724

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30773  nmblolbii  30779  blocnilem  30784  ubthlem2  30851