Theorem lnomul 30741

Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnomul.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5	⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
lnomul.6	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
lnomul.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnomul	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnomul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿))
2		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		lnomul.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	5, 6	nvzcl 30615	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12		lnomul.5	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13		lnomul.6	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14		lnomul.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
15	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 30735	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
16	1, 2, 3, 8, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
17	5, 12	nvscl 30607	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
18	4, 2, 3, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
19	5, 10, 6	nv0rid 30616	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
20	4, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
21	20	fveq2d 6880	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	5, 9, 6, 22, 14	lno0 30737	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
24	23	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
26		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
27	5, 9, 14	lnof 30736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
29	28, 3	ffvelcdmd 7075	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
30	9, 13	nvscl 30607	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31	26, 2, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
32	9, 11, 22	nv0rid 30616	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
33	26, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
34	25, 33	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
35	16, 21, 34	3eqtr3d 2778	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  NrmCVeccnv 30565   +_𝑣 cpv 30566  BaseSetcba 30567   ·_𝑠OLD cns 30568  0_veccn0v 30569   LnOp clno 30721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-nmcv 30581  df-lno 30725

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30774  nmblolbii  30780  blocnilem  30785  ubthlem2  30852