MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnomul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnomul 30044
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lnomul.5 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
lnomul.6 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
lnomul.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lnomul (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑅𝐡)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿))
2 simprl 770 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 simprr 772 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
4 simpl1 1192 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
5 lnomul.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . . 5 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
75, 6nvzcl 29918 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
84, 7syl 17 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
9 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
11 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
12 lnomul.5 . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
13 lnomul.6 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
14 lnomul.7 . . . 4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 30038 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1373 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
175, 12nvscl 29910 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑅𝐡) ∈ 𝑋)
184, 2, 3, 17syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑅𝐡) ∈ 𝑋)
195, 10, 6nv0rid 29919 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (𝐴𝑅𝐡))
204, 18, 19syl2anc 585 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (𝐴𝑅𝐡))
2120fveq2d 6896 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ))) = (π‘‡β€˜(𝐴𝑅𝐡)))
22 eqid 2733 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
235, 9, 6, 22, 14lno0 30040 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (0vecβ€˜π‘Š))
2423oveq2d 7425 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
2524adantr 482 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
26 simpl2 1193 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
275, 9, 14lnof 30039 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
2827adantr 482 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
2928, 3ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
309, 13nvscl 29910 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
3126, 2, 29, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
329, 11, 22nv0rid 29919 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
3326, 31, 32syl2anc 585 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
3425, 33eqtrd 2773 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
3516, 21, 343eqtr3d 2781 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑅𝐡)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  NrmCVeccnv 29868   +𝑣 cpv 29869  BaseSetcba 29870   ·𝑠OLD cns 29871  0veccn0v 29872   LnOp clno 30024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-grpo 29777  df-gid 29778  df-ginv 29779  df-ablo 29829  df-vc 29843  df-nv 29876  df-va 29879  df-ba 29880  df-sm 29881  df-0v 29882  df-nmcv 29884  df-lno 30028
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30077  nmblolbii  30083  blocnilem  30088  ubthlem2  30155
  Copyright terms: Public domain W3C validator