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Theorem lnomul 29744
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lnomul.5 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
lnomul.6 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
lnomul.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lnomul (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑅𝐡)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿))
2 simprl 770 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 simprr 772 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
4 simpl1 1192 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
5 lnomul.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . . . 5 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
75, 6nvzcl 29618 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
84, 7syl 17 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
9 eqid 2733 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
11 eqid 2733 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
12 lnomul.5 . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
13 lnomul.6 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
14 lnomul.7 . . . 4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 29738 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1373 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
175, 12nvscl 29610 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑅𝐡) ∈ 𝑋)
184, 2, 3, 17syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑅𝐡) ∈ 𝑋)
195, 10, 6nv0rid 29619 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (𝐴𝑅𝐡))
204, 18, 19syl2anc 585 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (𝐴𝑅𝐡))
2120fveq2d 6847 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((𝐴𝑅𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(0vecβ€˜π‘ˆ))) = (π‘‡β€˜(𝐴𝑅𝐡)))
22 eqid 2733 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
235, 9, 6, 22, 14lno0 29740 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (0vecβ€˜π‘Š))
2423oveq2d 7374 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
2524adantr 482 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
26 simpl2 1193 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
275, 9, 14lnof 29739 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
2827adantr 482 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
2928, 3ffvelcdmd 7037 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
309, 13nvscl 29610 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
3126, 2, 29, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
329, 11, 22nv0rid 29619 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
3326, 31, 32syl2anc 585 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
3425, 33eqtrd 2773 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
3516, 21, 343eqtr3d 2781 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑅𝐡)) = (𝐴𝑆(π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  0veccn0v 29572   LnOp clno 29724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-lno 29728
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  29777  nmblolbii  29783  blocnilem  29788  ubthlem2  29855
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