Theorem lnomul 31389

Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnomul.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5	⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
lnomul.6	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
lnomul.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnomul	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnomul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿))
2		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5		lnomul.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	5, 6	nvzcl 31263	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
12		lnomul.5	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13		lnomul.6	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
14		lnomul.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
15	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 31383	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0vec‘𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
16	1, 2, 3, 8, 15	syl13anc 1400	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
17	5, 12	nvscl 31255	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
18	4, 2, 3, 17	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
19	5, 10, 6	nv0rid 31264	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
20	4, 18, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
21	20	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)(0vec‘𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	5, 9, 6, 22, 14	lno0 31385	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
24	23	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
25	24	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)))
26		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
27	5, 9, 14	lnof 31384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
29	28, 3	ffvelcdmd 7106	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
30	9, 13	nvscl 31255	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31	26, 2, 29, 30	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
32	9, 11, 22	nv0rid 31264	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
33	26, 31, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(0vec‘𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
34	25, 33	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))
35	16, 21, 34	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  NrmCVeccnv 31213   +_𝑣 cpv 31214  BaseSetcba 31215   ·_𝑠OLD cns 31216  0_veccn0v 31217   LnOp clno 31369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-nmcv 31229  df-lno 31373

This theorem is used by:  nmlno0lem  31422  nmblolbii  31428  blocnilem  31433  ubthlem2  31500