MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnomul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnomul 28695
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
lnomul.6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
lnomul.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnomul (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿))
2 simprl 771 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simprr 773 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
4 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5 lnomul.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 eqid 2738 . . . . 5 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
75, 6nvzcl 28569 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
84, 7syl 17 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
9 eqid 2738 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10 eqid 2738 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
11 eqid 2738 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
12 lnomul.5 . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
13 lnomul.6 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
14 lnomul.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 28689 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (0vec𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))))
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1373 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))))
175, 12nvscl 28561 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
184, 2, 3, 17syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
195, 10, 6nv0rid 28570 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
204, 18, 19syl2anc 587 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
2120fveq2d 6678 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22 eqid 2738 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
235, 9, 6, 22, 14lno0 28691 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
2423oveq2d 7186 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)))
2524adantr 484 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)))
26 simpl2 1193 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
275, 9, 14lnof 28690 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
2827adantr 484 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
2928, 3ffvelrnd 6862 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
309, 13nvscl 28561 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3126, 2, 29, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
329, 11, 22nv0rid 28570 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3326, 31, 32syl2anc 587 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3425, 33eqtrd 2773 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3516, 21, 343eqtr3d 2781 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  NrmCVeccnv 28519   +𝑣 cpv 28520  BaseSetcba 28521   ·𝑠OLD cns 28522  0veccn0v 28523   LnOp clno 28675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-sub 10950  df-neg 10951  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ginv 28430  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-nmcv 28535  df-lno 28679
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  28728  nmblolbii  28734  blocnilem  28739  ubthlem2  28806
  Copyright terms: Public domain W3C validator