MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnomul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnomul 29876
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
lnomul.6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
lnomul.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnomul (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿))
2 simprl 769 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simprr 771 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
4 simpl1 1191 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5 lnomul.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 eqid 2731 . . . . 5 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
75, 6nvzcl 29750 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
84, 7syl 17 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
9 eqid 2731 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10 eqid 2731 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
11 eqid 2731 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
12 lnomul.5 . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
13 lnomul.6 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
14 lnomul.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 29870 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (0vec𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))))
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1372 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))))
175, 12nvscl 29742 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
184, 2, 3, 17syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
195, 10, 6nv0rid 29751 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
204, 18, 19syl2anc 584 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
2120fveq2d 6882 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22 eqid 2731 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
235, 9, 6, 22, 14lno0 29872 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
2423oveq2d 7409 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)))
2524adantr 481 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)))
26 simpl2 1192 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
275, 9, 14lnof 29871 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
2827adantr 481 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
2928, 3ffvelcdmd 7072 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
309, 13nvscl 29742 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3126, 2, 29, 30syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
329, 11, 22nv0rid 29751 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3326, 31, 32syl2anc 584 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3425, 33eqtrd 2771 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3516, 21, 343eqtr3d 2779 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  NrmCVeccnv 29700   +𝑣 cpv 29701  BaseSetcba 29702   ·𝑠OLD cns 29703  0veccn0v 29704   LnOp clno 29856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428  df-neg 11429  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-nmcv 29716  df-lno 29860
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  29909  nmblolbii  29915  blocnilem  29920  ubthlem2  29987
  Copyright terms: Public domain W3C validator