MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnomul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnomul 30789
Description: Scalar multiplication property of a linear operator. (Contributed by NM, 5-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnomul.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnomul.5 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
lnomul.6 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
lnomul.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnomul (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnomul
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿))
2 simprl 771 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simprr 773 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
4 simpl1 1190 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5 lnomul.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 eqid 2735 . . . . 5 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
75, 6nvzcl 30663 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
84, 7syl 17 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
9 eqid 2735 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
10 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
11 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
12 lnomul.5 . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD𝑈)
13 lnomul.6 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑊)
14 lnomul.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
155, 9, 10, 11, 12, 13, 14lnolin 30783 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (0vec𝑈) ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))))
161, 2, 3, 8, 15syl13anc 1371 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))))
175, 12nvscl 30655 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
184, 2, 3, 17syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋)
195, 10, 6nv0rid 30664 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
204, 18, 19syl2anc 584 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈)) = (𝐴𝑅𝐵))
2120fveq2d 6911 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘((𝐴𝑅𝐵)( +𝑣𝑈)(0vec𝑈))) = (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)))
22 eqid 2735 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
235, 9, 6, 22, 14lno0 30785 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
2423oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)))
2524adantr 480 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)))
26 simpl2 1191 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
275, 9, 14lnof 30784 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
2827adantr 480 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
2928, 3ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
309, 13nvscl 30655 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3126, 2, 29, 30syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊))
329, 11, 22nv0rid 30664 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆(𝑇𝐵)) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3326, 31, 32syl2anc 584 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(0vec𝑊)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3425, 33eqtrd 2775 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((𝐴𝑆(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇‘(0vec𝑈))) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
3516, 21, 343eqtr3d 2783 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑅𝐵)) = (𝐴𝑆(𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  0veccn0v 30617   LnOp clno 30769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-lno 30773
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30822  nmblolbii  30828  blocnilem  30833  ubthlem2  30900
  Copyright terms: Public domain W3C validator