Theorem o1sub2 15677

Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1add2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
o1add2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1add2.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1sub2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1sub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1add2.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2	1	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
3		dmmptg 6244	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5		o1add2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
6		o1dm 15581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	4, 7	eqsstrrd 3980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		reex 11191	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
10	9	ssex 5292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12		o1add2.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
14		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
15	11, 1, 12, 13, 14	offval2 7695	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
16		o1add2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1))
17		o1sub 15667	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
18	5, 16, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
19	15, 18	eqeltrrd 2870	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5662  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673  ℝcr 11099   − cmin 11441  𝑂(1)co1 15537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-o1 15541

This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  27666  selberg2lem  27680  pntrmax  27694  pntrsumo1  27695  selberg3r  27699  pntrlog2bndlem4  27710