Theorem o1dif 15596

Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1dif.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1dif	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dif.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2		o1sub 15582	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
3	2	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5		o1dif.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		o1dif.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
9		dmmptg 6215	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
11		o1dm 15496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
13	10, 12	eqsstrrd 3982	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		reex 11159	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 5276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
19	16, 5, 7, 17, 18	offval2 7673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))))
20	5, 6	nncand 11538	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐶)) = 𝐶)
21	20	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	19, 21	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
23	22	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
24	4, 23	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25		o1add 15580	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
27	1, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
29	16, 7, 6, 18, 28	offval2 7673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
30	5, 6	npcand 11537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
31	30	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
32	29, 31	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
34	27, 33	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
35	24, 34	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℂcc 11066  ℝcr 11067   + caddc 11071   − cmin 11405  𝑂(1)co1 15452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-o1 15456

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27405  dchrvmasumiflem2  27413  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  rplogsum  27438  dirith2  27439  mulogsumlem  27442  mulogsum  27443  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrlog2bndlem4  27491