Theorem o1dif 15676

Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1dif.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1dif	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dif.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2		o1sub 15662	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
3	2	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5		o1dif.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		o1dif.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
9		dmmptg 6273	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
11		o1dm 15576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
13	10, 12	eqsstrrd 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		reex 11275	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 5339	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
19	16, 5, 7, 17, 18	offval2 7734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))))
20	5, 6	nncand 11652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐶)) = 𝐶)
21	20	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	19, 21	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
23	22	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
24	4, 23	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25		o1add 15660	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
27	1, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
29	16, 7, 6, 18, 28	offval2 7734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
30	5, 6	npcand 11651	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
31	30	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
32	29, 31	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
34	27, 33	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
35	24, 34	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187   − cmin 11520  𝑂(1)co1 15532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-o1 15536

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27556  dchrvmasumiflem2  27564  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  rplogsum  27589  dirith2  27590  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrlog2bndlem4  27642