Theorem o1dif 15640

Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1dif.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1dif	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dif.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2		o1sub 15626	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
3	2	expcom 417	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5		o1dif.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		o1dif.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
9		dmmptg 6225	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
11		o1dm 15540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
13	10, 12	eqsstrrd 3971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		reex 11161	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 5276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
19	16, 5, 7, 17, 18	offval2 7676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))))
20	5, 6	nncand 11544	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐶)) = 𝐶)
21	20	mpteq2dva 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	19, 21	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
23	22	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
24	4, 23	sylibd 241	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25		o1add 15624	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
26	25	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
27	1, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
29	16, 7, 6, 18, 28	offval2 7676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
30	5, 6	npcand 11543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
31	30	mpteq2dva 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
32	29, 31	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
34	27, 33	sylibd 241	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
35	24, 34	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  (class class class)co 7392   ∘_f cof 7654  ℂcc 11068  ℝcr 11069   + caddc 11073   − cmin 11411  𝑂(1)co1 15496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ico 13352  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-o1 15500

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27535  dchrvmasumiflem2  27543  dchrisum0lem2a  27558  dchrisum0lem2  27559  rplogsum  27568  dirith2  27569  mulogsumlem  27572  mulogsum  27573  vmalogdivsum2  27579  vmalogdivsum  27580  2vmadivsumlem  27581  selberg3lem1  27598  selberg4lem1  27601  selberg4  27602  pntrlog2bndlem4  27621