Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1dif 15034
 Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1dif.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1dif (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif
StepHypRef Expression
1 o1dif.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2 o1sub 15020 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1))
32expcom 417 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5 o1dif.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 o1dif.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
75, 6subcld 11035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
87ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
9 dmmptg 6071 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = 𝐴)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = 𝐴)
11 o1dm 14935 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⊆ ℝ)
121, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⊆ ℝ)
1310, 12eqsstrrd 3931 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
14 reex 10666 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
1514ssex 5191 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
17 eqidd 2759 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
18 eqidd 2759 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
1916, 5, 7, 17, 18offval2 7424 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵𝐶))))
205, 6nncand 11040 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 − (𝐵𝐶)) = 𝐶)
2120mpteq2dva 5127 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴𝐶))
2219, 21eqtrd 2793 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴𝐶))
2322eleq1d 2836 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
244, 23sylibd 242 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25 o1add 15018 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2625ex 416 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
271, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28 eqidd 2759 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2916, 7, 6, 18, 28offval2 7424 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐵𝐶) + 𝐶)))
305, 6npcand 11039 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
3130mpteq2dva 5127 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐵𝐶) + 𝐶)) = (𝑥𝐴𝐵))
3229, 31eqtrd 2793 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴𝐵))
3332eleq1d 2836 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1)))
3427, 33sylibd 242 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1)))
3524, 34impbid 215 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858   ↦ cmpt 5112  dom cdm 5524  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  ℂcc 10573  ℝcr 10574   + caddc 10578   − cmin 10908  𝑂(1)co1 14891 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-ico 12785  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-o1 14895 This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26177  dchrvmasumiflem2  26185  dchrisum0lem2a  26200  dchrisum0lem2  26201  rplogsum  26210  dirith2  26211  mulogsumlem  26214  mulogsum  26215  vmalogdivsum2  26221  vmalogdivsum  26222  2vmadivsumlem  26223  selberg3lem1  26240  selberg4lem1  26243  selberg4  26244  pntrlog2bndlem4  26263
 Copyright terms: Public domain W3C validator