Theorem o1dif 15555

Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1dif.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1dif	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dif.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2		o1sub 15541	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
3	2	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5		o1dif.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		o1dif.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
9		dmmptg 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
11		o1dm 15455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
13	10, 12	eqsstrrd 3973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		reex 11119	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 5263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
19	16, 5, 7, 17, 18	offval2 7637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))))
20	5, 6	nncand 11498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐶)) = 𝐶)
21	20	mpteq2dva 5188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	19, 21	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
23	22	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
24	4, 23	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25		o1add 15539	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
27	1, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
29	16, 7, 6, 18, 28	offval2 7637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
30	5, 6	npcand 11497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
31	30	mpteq2dva 5188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
32	29, 31	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
34	27, 33	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
35	24, 34	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  ℂcc 11026  ℝcr 11027   + caddc 11031   − cmin 11365  𝑂(1)co1 15411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-ico 13272  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-o1 15415

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27421  dchrvmasumiflem2  27429  dchrisum0lem2a  27444  dchrisum0lem2  27445  rplogsum  27454  dirith2  27455  mulogsumlem  27458  mulogsum  27459  vmalogdivsum2  27465  vmalogdivsum  27466  2vmadivsumlem  27467  selberg3lem1  27484  selberg4lem1  27487  selberg4  27488  pntrlog2bndlem4  27507