MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1dif 15576
Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1dif.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1dif (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif
StepHypRef Expression
1 o1dif.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2 o1sub 15562 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1))
32expcom 413 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5 o1dif.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 o1dif.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
75, 6subcld 11570 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
87ralrimiva 3138 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
9 dmmptg 6232 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = 𝐴)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = 𝐴)
11 o1dm 15476 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⊆ ℝ)
121, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⊆ ℝ)
1310, 12eqsstrrd 4014 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
14 reex 11198 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
1514ssex 5312 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
17 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
18 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
1916, 5, 7, 17, 18offval2 7684 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵𝐶))))
205, 6nncand 11575 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 − (𝐵𝐶)) = 𝐶)
2120mpteq2dva 5239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴𝐶))
2219, 21eqtrd 2764 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴𝐶))
2322eleq1d 2810 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∘f − (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
244, 23sylibd 238 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25 o1add 15560 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2625ex 412 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
271, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2916, 7, 6, 18, 28offval2 7684 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐵𝐶) + 𝐶)))
305, 6npcand 11574 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐵𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
3130mpteq2dva 5239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐵𝐶) + 𝐶)) = (𝑥𝐴𝐵))
3229, 31eqtrd 2764 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴𝐵))
3332eleq1d 2810 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1)))
3427, 33sylibd 238 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1)))
3524, 34impbid 211 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  Vcvv 3466  wss 3941  cmpt 5222  dom cdm 5667  (class class class)co 7402  f cof 7662  cc 11105  cr 11106   + caddc 11110  cmin 11443  𝑂(1)co1 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-o1 15436
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  27368  dchrvmasumiflem2  27376  dchrisum0lem2a  27391  dchrisum0lem2  27392  rplogsum  27401  dirith2  27402  mulogsumlem  27405  mulogsum  27406  vmalogdivsum2  27412  vmalogdivsum  27413  2vmadivsumlem  27414  selberg3lem1  27431  selberg4lem1  27434  selberg4  27435  pntrlog2bndlem4  27454
  Copyright terms: Public domain W3C validator