Theorem o1dif 15570

Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1dif.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
o1dif.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1dif.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1dif	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dif.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
2		o1sub 15556	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1))
3	2	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1)))
5		o1dif.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		o1dif.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
9		dmmptg 6238	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = 𝐴)
11		o1dm 15470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⊆ ℝ)
13	10, 12	eqsstrrd 4020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		reex 11197	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
15	14	ssex 5320	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
17		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
18		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
19	16, 5, 7, 17, 18	offval2 7686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))))
20	5, 6	nncand 11572	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − (𝐵 − 𝐶)) = 𝐶)
21	20	mpteq2dva 5247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
22	19, 21	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
23	22	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f − (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
24	4, 23	sylibd 238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
25		o1add 15554	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
26	25	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
27	1, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
28		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
29	16, 7, 6, 18, 28	offval2 7686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)))
30	5, 6	npcand 11571	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
31	30	mpteq2dva 5247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐵 − 𝐶) + 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
32	29, 31	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
34	27, 33	sylibd 238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1)))
35	24, 34	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109   − cmin 11440  𝑂(1)co1 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-o1 15430

This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26986  dchrvmasumiflem2  26994  dchrisum0lem2a  27009  dchrisum0lem2  27010  rplogsum  27019  dirith2  27020  mulogsumlem  27023  mulogsum  27024  vmalogdivsum2  27030  vmalogdivsum  27031  2vmadivsumlem  27032  selberg3lem1  27049  selberg4lem1  27052  selberg4  27053  pntrlog2bndlem4  27072