Theorem o1bdd 15707

Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem o1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fdm 6724	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		o1dm 15706	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3944	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		elo12 15703	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  dom cdm 5651  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℂcc 11205  ℝcr 11206   ≤ cle 11351  abscabs 15410  𝑂(1)co1 15662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-ico 13489  df-o1 15666

This theorem is used by:  o1of2  15789  o1rlimmul  15795  o1cxp  27311