Theorem o1bdd 15168

Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem o1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fdm 6593	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		o1dm 15167	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3956	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		elo12 15164	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  abscabs 14873  𝑂(1)co1 15123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ico 13014  df-o1 15127

This theorem is referenced by:  o1of2  15250  o1rlimmul  15256  o1cxp  26029