Theorem o1bdd 15497

Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem o1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fdm 6697	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		o1dm 15496	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3982	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		elo12 15493	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  ℝcr 11067   ≤ cle 11209  abscabs 15200  𝑂(1)co1 15452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ico 13312  df-o1 15456

This theorem is referenced by:  o1of2  15579  o1rlimmul  15585  o1cxp  26885