Theorem o1bdd 15552

Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem o1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fdm 6720	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		o1dm 15551	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3999	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		elo12 15548	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℂcc 11132  ℝcr 11133   ≤ cle 11275  abscabs 15258  𝑂(1)co1 15507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-ico 13373  df-o1 15511

This theorem is referenced by:  o1of2  15634  o1rlimmul  15640  o1cxp  26942