Theorem o1bdd 15619

Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem o1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fdm 6713	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		o1dm 15618	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstrrd 3966	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		elo12 15615	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℂcc 11123  ℝcr 11124   ≤ cle 11269  abscabs 15322  𝑂(1)co1 15574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-ico 13405  df-o1 15578

This theorem is used by:  o1of2  15701  o1rlimmul  15707  o1cxp  27212