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Theorem o1co 15474
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1co.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
o1co.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
o1co.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
o1co.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
o1co.5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
o1co (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐺,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘š,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem o1co
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1co.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑂(1))
2 o1co.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32fdmd 6680 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4 o1dm 15418 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
63, 5eqsstrrd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
7 elo12 15415 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
82, 6, 7syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
91, 8mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛))
10 o1co.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)))
11 reeanv 3216 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)))
12 o1co.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
1312ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
1413ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
15 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (π‘š ≀ 𝑧 ↔ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)))
16 2fveq3 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
1716breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ≀ 𝑛))
1815, 17imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ ((π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) ↔ (π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ≀ 𝑛)))
1918rspcva 3578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ≀ 𝑛))
2014, 19sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ≀ 𝑛))
2120an32s 651 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ≀ 𝑛))
2213adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
23 fvco3 6941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:𝐡⟢𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
2422, 23sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
2524fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
2625breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ≀ 𝑛))
2721, 26sylibrd 259 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛))
2827imim2d 57 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
2928ralimdva 3161 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
3029expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
3130ancomsd 467 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
3231reximdva 3162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
3332reximdva 3162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
3411, 33biimtrrid 242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ π‘š ≀ (πΊβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
3510, 34mpand 694 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
3635rexlimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘š ≀ 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑛) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
379, 36mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛))
38 fco 6693 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐡⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π΅βŸΆβ„‚)
392, 12, 38syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):π΅βŸΆβ„‚)
40 o1co.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
41 elo12 15415 . . 3 (((𝐹 ∘ 𝐺):π΅βŸΆβ„‚ ∧ 𝐡 βŠ† ℝ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
4239, 40, 41syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘› ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) ≀ 𝑛)))
4337, 42mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„‚cc 11054  β„cr 11055   ≀ cle 11195  abscabs 15125  π‘‚(1)co1 15374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ico 13276  df-o1 15378
This theorem is referenced by:  o1compt  15475
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