Theorem offun 7547

Description: The function operation produces a function. (Contributed by SN, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
offun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
offun.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
offun.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offun.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
offun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem offun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		offun.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
3		offun.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		offun.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	offn 7546	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵))
7		fnfun 6533	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵) → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533

This theorem is referenced by:  lcomfsupp  20163  frlmsslsp  21003  psrbagev1  21285  psrbagev1OLD  21286  mhpmulcl  21339  mndpsuppss  45707  mndpfsupp  45712