Theorem offun 7668

Description: The function operation produces a function. (Contributed by SN, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
offun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
offun.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
offun.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offun.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
offun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem offun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		offun.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
3		offun.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		offun.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	offn 7667	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵))
7		fnfun 6615	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵) → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901  Fun wfun 6509   Fn wfn 6510  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654

This theorem is referenced by:  mndpsuppss  18789  mndpfsupp  18791  lcomfsupp  20956  frlmphl  21820  frlmsslsp  21835  psrbagev1  22117  mhpmulcl  22201  mplvrpmrhm  33804