Theorem offun 7690

Description: The function operation produces a function. (Contributed by SN, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
offun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
offun.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
offun.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offun.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
offun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem offun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		offun.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
3		offun.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		offun.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	offn 7689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵))
7		fnfun 6637	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵) → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
8	6, 7	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3905  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676

This theorem is referenced by:  mndpsuppss  18824  mndpfsupp  18826  lcomfsupp  21004  frlmphl  21912  frlmsslsp  21927  psrbagev1  22209  mhpmulcl  22293  mplvrpmrhm  33918