Theorem offun 7705

Description: The function operation produces a function. (Contributed by SN, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
offun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
offun.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
offun.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offun.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
offun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem offun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		offun.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
3		offun.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		offun.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	offn 7704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵))
7		fnfun 6637	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵) → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
8	6, 7	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  (class class class)co 7418   ∘_f cof 7689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691

This theorem is used by:  mndpsuppss  18952  mndpfsupp  18954  lcomfsupp  21170  frlmphl  22080  frlmsslsp  22095  psrbagev1  22379  mhpmulcl  22463  mplvrpmrhm  34172