MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offun 7678
Description: The function operation produces a function. (Contributed by SN, 23-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
offun.1 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
offun.2 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
offun.3 (𝜑𝐴𝑉)
offun.4 (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
offun (𝜑 → Fun (𝐹f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem offun
StepHypRef Expression
1 offun.1 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2 offun.2 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
3 offun.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
4 offun.4 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
5 eqid 2724 . . 3 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
61, 2, 3, 4, 5offn 7677 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) Fn (𝐴𝐵))
7 fnfun 6640 . 2 ((𝐹f 𝑅𝐺) Fn (𝐴𝐵) → Fun (𝐹f 𝑅𝐺))
86, 7syl 17 1 (𝜑 → Fun (𝐹f 𝑅𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  cin 3940  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  (class class class)co 7402  f cof 7662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664
This theorem is referenced by:  lcomfsupp  20744  frlmphl  21665  frlmsslsp  21680  psrbagev1  21969  psrbagev1OLD  21970  mhpmulcl  22021  mndpsuppss  47296  mndpfsupp  47301
  Copyright terms: Public domain W3C validator