Theorem offun 7711

Description: The function operation produces a function. (Contributed by SN, 23-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
offun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
offun.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
offun.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offun.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
offun	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem offun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		offun.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
3		offun.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		offun.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	offn 7710	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵))
7		fnfun 6669	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) Fn (𝐴 ∩ 𝐵) → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697

This theorem is referenced by:  mndpsuppss  18791  mndpfsupp  18793  lcomfsupp  20917  frlmphl  21819  frlmsslsp  21834  psrbagev1  22119  mhpmulcl  22171