Theorem psrbagev1 22044

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2	1	cmnmndd 19768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
3		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
5	3, 4	mulgnn0cl 19055	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
6	5	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	2, 6	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
9		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10	9	psrbagf 21887	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
12		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
13	11	ffnd 6658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
14	8, 13	fndmexd 7844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15		inidm 4157	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	7, 11, 12, 14, 14, 15	off 7638	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovexd 7391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V)
18	12	ffnd 6658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19	13, 18, 14, 14	offun 7634	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘f · 𝐺))
20		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
21	20	fvexi 6843	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
23	9	psrbagfsupp 21888	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
24	8, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
25	24	fsuppimpd 9271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
26		ssidd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
27	3, 20, 4	mulg0 19039	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
29		c0ex 11127	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
31	26, 28, 11, 12, 14, 30	suppssof1 8138	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		suppssfifsupp 9282	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
33	17, 19, 22, 25, 31, 32	syl32anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
34	16, 33	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3387  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  Fun wfun 6481  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   supp csupp 8099   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882   finSupp cfsupp 9263  0cc0 11027  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  Basecbs 17168  0_gc0g 17391  Mndcmnd 18691  ._gcmg 19032  CMndccmn 19744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-seq 13953  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mulg 19033  df-cmn 19746

This theorem is referenced by:  psrbagev2  22045  evlslem1  22049