MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 22101
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 19822 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
53, 4mulgnn0cl 19108 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
653expb 1121 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
72, 6sylan 580 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
9 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
109psrbagf 21938 . . . 4 (𝐵𝐷𝐵:𝐼⟶ℕ0)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
12 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
1311ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
148, 13fndmexd 7926 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
15 inidm 4227 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
167, 11, 12, 14, 14, 15off 7715 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶)
17 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) ∈ V)
1812ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1913, 18, 14, 14offun 7711 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵f · 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
2120fvexi 6920 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
239psrbagfsupp 21939 . . . . 5 (𝐵𝐷𝐵 finSupp 0)
248, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
2524fsuppimpd 9409 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 4007 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
273, 20, 4mulg0 19092 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
2827adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
29 c0ex 11255 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3126, 28, 11, 12, 14, 30suppssof1 8224 . . 3 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
32 suppssfifsupp 9420 . . 3 ((((𝐵f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3317, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1380 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3416, 33jca 511 1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  .gcmg 19085  CMndccmn 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mulg 19086  df-cmn 19800
This theorem is referenced by:  psrbagev2  22102  evlslem1  22106
  Copyright terms: Public domain W3C validator