MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 22118
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 19836 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
53, 4mulgnn0cl 19120 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
653expb 1119 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
72, 6sylan 580 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
9 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
109psrbagf 21955 . . . 4 (𝐵𝐷𝐵:𝐼⟶ℕ0)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
12 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
1311ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
148, 13fndmexd 7926 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
15 inidm 4234 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
167, 11, 12, 14, 14, 15off 7714 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶)
17 ovexd 7465 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) ∈ V)
1812ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1913, 18, 14, 14offun 7710 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵f · 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
2120fvexi 6920 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
239psrbagfsupp 21956 . . . . 5 (𝐵𝐷𝐵 finSupp 0)
248, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
2524fsuppimpd 9406 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 4018 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
273, 20, 4mulg0 19104 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
2827adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
29 c0ex 11252 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3126, 28, 11, 12, 14, 30suppssof1 8222 . . 3 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
32 suppssfifsupp 9417 . . 3 ((((𝐵f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3317, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1377 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3416, 33jca 511 1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  ccnv 5687  cima 5691  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983   finSupp cfsupp 9398  0cc0 11152  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  .gcmg 19097  CMndccmn 19812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mulg 19098  df-cmn 19814
This theorem is referenced by:  psrbagev2  22119  evlslem1  22123
  Copyright terms: Public domain W3C validator