MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 22038
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
psrbagev1.x Β· = (.gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.z 0 = (0gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   Β· (β„Ž)   𝐺(β„Ž)   0 (β„Ž)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 19773 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π‘‡)
53, 4mulgnn0cl 19059 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
653expb 1117 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
72, 6sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
8 psrbagev1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
9 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
109psrbagf 21865 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
12 psrbagev1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
1311ffnd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn 𝐼)
148, 13fndmexd 7920 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
15 inidm 4221 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
167, 11, 12, 14, 14, 15off 7710 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢)
17 ovexd 7461 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V)
1812ffnd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
1913, 18, 14, 14offun 7706 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘‡)
2120fvexi 6916 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
239psrbagfsupp 21867 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡 finSupp 0)
248, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 finSupp 0)
2524fsuppimpd 9403 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) βŠ† (𝐡 supp 0))
273, 20, 4mulg0 19044 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐢 β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
2827adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
29 c0ex 11248 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
3126, 28, 11, 12, 14, 30suppssof1 8213 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))
32 suppssfifsupp 9413 . . 3 ((((𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐡 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))) β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3317, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1375 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3416, 33jca 510 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690   supp csupp 8173   ↑m cmap 8853  Fincfn 8972   finSupp cfsupp 9395  0cc0 11148  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  Basecbs 17189  0gc0g 17430  Mndcmnd 18703  .gcmg 19037  CMndccmn 19749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-seq 14009  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mulg 19038  df-cmn 19751
This theorem is referenced by:  psrbagev2  22040  evlslem1  22045
  Copyright terms: Public domain W3C validator