Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 20747
 Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   𝑊()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2 cmnmnd 18913 . . . . 5 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
5 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
64, 5mulgnn0cl 18235 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
763expb 1117 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
83, 7sylan 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9 psrbagev1.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
10 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
11 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
1211psrbagf 20601 . . . 4 ((𝐼𝑊𝐵𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
139, 10, 12syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
15 inidm 4169 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
168, 13, 14, 9, 9, 15off 7409 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶)
17 ovexd 7175 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) ∈ V)
1813ffnd 6495 . . . . 5 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
1914ffnd 6495 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
2018, 19, 9, 9, 15offn 7405 . . . 4 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) Fn 𝐼)
21 fnfun 6432 . . . 4 ((𝐵f · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵f · 𝐺))
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵f · 𝐺))
23 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
2423fvexi 6666 . . . 4 0 ∈ V
2524a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
2611psrbagfsupp 20746 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐼𝑊) → 𝐵 finSupp 0)
2710, 9, 26syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
2827fsuppimpd 8828 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
29 ssidd 3965 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
304, 23, 5mulg0 18222 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
3130adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
32 c0ex 10624 . . . . 5 0 ∈ V
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3429, 31, 13, 14, 9, 33suppssof1 7850 . . 3 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
35 suppssfifsupp 8836 . . 3 ((((𝐵f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3617, 22, 25, 28, 34, 35syl32anc 1375 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3716, 36jca 515 1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042  ◡ccnv 5531   “ cima 5535  Fun wfun 6328   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∘f cof 7392   supp csupp 7817   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  0cc0 10526  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474  0gc0g 16704  Mndcmnd 17902  .gcmg 18215  CMndccmn 18897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mulg 18216  df-cmn 18899 This theorem is referenced by:  psrbagev2  20748  evlslem1  20752
 Copyright terms: Public domain W3C validator