Theorem psrbagev1 22207

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2	1	cmnmndd 19873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
3		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
5	3, 4	mulgnn0cl 19155	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
6	5	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	2, 6	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
9		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10	9	psrbagf 22047	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
12		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
13	11	ffnd 6706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
14	8, 13	fndmexd 7900	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15		inidm 4178	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	7, 11, 12, 14, 14, 15	off 7692	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovexd 7445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V)
18	12	ffnd 6706	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19	13, 18, 14, 14	offun 7688	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘f · 𝐺))
20		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
21	20	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
23	9	psrbagfsupp 22048	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
24	8, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
25	24	fsuppimpd 9328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
26		ssidd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
27	3, 20, 4	mulg0 19139	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
28	27	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
29		c0ex 11199	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
31	26, 28, 11, 12, 14, 30	suppssof1 8194	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		suppssfifsupp 9339	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
33	17, 19, 22, 25, 31, 32	syl32anc 1403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
34	16, 33	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672   supp csupp 8155   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  0cc0 11099  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  Mndcmnd 18791  ._gcmg 19132  CMndccmn 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mulg 19133  df-cmn 19851

This theorem is referenced by:  psrbagev2  22208  evlslem1  22212