MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 21980
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
psrbagev1.x Β· = (.gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.z 0 = (0gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   Β· (β„Ž)   𝐺(β„Ž)   0 (β„Ž)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 19724 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π‘‡)
53, 4mulgnn0cl 19017 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
653expb 1117 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
72, 6sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
8 psrbagev1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
9 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
109psrbagf 21812 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
12 psrbagev1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
1311ffnd 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn 𝐼)
148, 13fndmexd 7894 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
15 inidm 4213 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
167, 11, 12, 14, 14, 15off 7685 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢)
17 ovexd 7440 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V)
1812ffnd 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
1913, 18, 14, 14offun 7681 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘‡)
2120fvexi 6899 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
239psrbagfsupp 21814 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡 finSupp 0)
248, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 finSupp 0)
2524fsuppimpd 9371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 4000 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) βŠ† (𝐡 supp 0))
273, 20, 4mulg0 19002 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐢 β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
2827adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
29 c0ex 11212 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
3126, 28, 11, 12, 14, 30suppssof1 8185 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))
32 suppssfifsupp 9380 . . 3 ((((𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐡 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))) β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3317, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1375 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3416, 33jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   supp csupp 8146   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  CMndccmn 19700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996  df-cmn 19702
This theorem is referenced by:  psrbagev2  21982  evlslem1  21987
  Copyright terms: Public domain W3C validator