Theorem psrbagev1 21273

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2	1	cmnmndd 19397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
3		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
5	3, 4	mulgnn0cl 18708	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
6	5	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	2, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
9		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
10	9	psrbagf 21109	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
12		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
13	11	ffnd 6594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
14	8, 13	fndmexd 7744	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15		inidm 4153	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	7, 11, 12, 14, 14, 15	off 7542	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovexd 7303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V)
18	12	ffnd 6594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19	13, 18, 14, 14	offun 7538	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘f · 𝐺))
20		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
21	20	fvexi 6781	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
23	9	psrbagfsupp 21111	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 finSupp 0)
24	8, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
25	24	fsuppimpd 9123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
26		ssidd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
27	3, 20, 4	mulg0 18695	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
28	27	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
29		c0ex 10957	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
31	26, 28, 11, 12, 14, 30	suppssof1 8003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
32		suppssfifsupp 9131	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
33	17, 19, 22, 25, 31, 32	syl32anc 1377	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
34	16, 33	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3430   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5584   “ cima 5588  Fun wfun 6421  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268   ∘_f cof 7522   supp csupp 7965   ↑_m cmap 8603  Fincfn 8721   finSupp cfsupp 9116  0cc0 10859  ℕcn 11961  ℕ₀cn0 12221  Basecbs 16900  0_gc0g 17138  Mndcmnd 18373  ._gcmg 18688  CMndccmn 19374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-seq 13710  df-0g 17140  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-mulg 18689  df-cmn 19376

This theorem is referenced by:  psrbagev2  21275  evlslem1  21280