MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 21508
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
psrbagev1.x Β· = (.gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.z 0 = (0gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   Β· (β„Ž)   𝐺(β„Ž)   0 (β„Ž)

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 19594 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π‘‡)
53, 4mulgnn0cl 18900 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
653expb 1121 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
72, 6sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
8 psrbagev1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
9 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
109psrbagf 21343 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
118, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
12 psrbagev1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
1311ffnd 6673 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn 𝐼)
148, 13fndmexd 7847 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
15 inidm 4182 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
167, 11, 12, 14, 14, 15off 7639 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢)
17 ovexd 7396 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V)
1812ffnd 6673 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
1913, 18, 14, 14offun 7635 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘‡)
2120fvexi 6860 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
239psrbagfsupp 21345 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝐷 β†’ 𝐡 finSupp 0)
248, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 finSupp 0)
2524fsuppimpd 9319 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 3971 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) βŠ† (𝐡 supp 0))
273, 20, 4mulg0 18887 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐢 β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
2827adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
29 c0ex 11157 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
3126, 28, 11, 12, 14, 30suppssof1 8134 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))
32 suppssfifsupp 9328 . . 3 ((((𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐡 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))) β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3317, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1379 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3416, 33jca 513 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   supp csupp 8096   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  0cc0 11059  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  .gcmg 18880  CMndccmn 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mulg 18881  df-cmn 19572
This theorem is referenced by:  psrbagev2  21510  evlslem1  21515
  Copyright terms: Public domain W3C validator