Theorem psrbagev1 20749

Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
psrbagev1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev1	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   𝑊(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrbagev1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev1.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
2		cmnmnd 18914	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
4		psrbagev1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		psrbagev1.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
6	4, 5	mulgnn0cl 18236	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
7	6	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8	3, 7	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9		psrbagev1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
10		psrbagev1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
11		psrbagev1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
12	11	psrbagf 20603	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13	9, 10, 12	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14		psrbagev1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
15		inidm 4145	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
16	8, 13, 14, 9, 9, 15	off 7404	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
17		ovexd 7170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V)
18	13	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn 𝐼)
19	14	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
20	18, 19, 9, 9, 15	offn 7400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) Fn 𝐼)
21		fnfun 6423	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∘f · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵 ∘f · 𝐺))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐵 ∘f · 𝐺))
23		psrbagev1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
24	23	fvexi 6659	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
26	11	psrbagfsupp 20748	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 finSupp 0)
27	10, 9, 26	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 finSupp 0)
28	27	fsuppimpd 8824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
29		ssidd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
30	4, 23, 5	mulg0 18223	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
31	30	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
32		c0ex 10624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
34	29, 31, 13, 14, 9, 33	suppssof1 7846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
35		suppssfifsupp 8832	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵 ∘f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵 ∘f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
36	17, 22, 25, 28, 34, 35	syl32anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 )
37	16, 36	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   supp csupp 7813   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  0cc0 10526  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  Mndcmnd 17903  ._gcmg 18216  CMndccmn 18898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mulg 18217  df-cmn 18900

This theorem is referenced by:  psrbagev2  20750  evlslem1  20754