MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1OLD 21950
Description: Obsolete version of psrbagev1 21949 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1OLD (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   𝑊()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1OLD
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 19720 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
53, 4mulgnn0cl 19013 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
653expb 1119 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
72, 6sylan 579 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8 psrbagev1.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
9 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
10 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
1110psrbagfOLD 21782 . . . 4 ((𝐼𝑊𝐵𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
128, 9, 11syl2anc 583 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
14 inidm 4218 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
157, 12, 13, 8, 8, 14off 7692 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶)
16 ovexd 7447 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) ∈ V)
1712ffnd 6718 . . . 4 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
1813ffnd 6718 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1917, 18, 8, 8offun 7688 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵f · 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
2120fvexi 6905 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
2310psrbagfsuppOLD 21784 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐼𝑊) → 𝐵 finSupp 0)
249, 8, 23syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
2524fsuppimpd 9375 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 4005 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
273, 20, 4mulg0 19000 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
2827adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
29 c0ex 11215 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3126, 28, 12, 13, 8, 30suppssof1 8190 . . 3 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
32 suppssfifsupp 9384 . . 3 ((((𝐵f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3316, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1377 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3415, 33jca 511 1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  wss 3948   class class class wbr 5148  ccnv 5675  cima 5679  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672   supp csupp 8151  m cmap 8826  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9367  0cc0 11116  cn 12219  0cn0 12479  Basecbs 17151  0gc0g 17392  Mndcmnd 18665  .gcmg 18993  CMndccmn 19696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mulg 18994  df-cmn 19698
This theorem is referenced by:  psrbagev2OLD  21952
  Copyright terms: Public domain W3C validator