MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1OLD 22000
Description: Obsolete version of psrbagev1 21999 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
psrbagev1.x Β· = (.gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.z 0 = (0gβ€˜π‘‡)
psrbagev1.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
psrbagev1.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
psrbagev1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1OLD (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   Β· (β„Ž)   𝐺(β„Ž)   π‘Š(β„Ž)   0 (β„Ž)

Proof of Theorem psrbagev1OLD
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 19743 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 Β· = (.gβ€˜π‘‡)
53, 4mulgnn0cl 19029 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
653expb 1118 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
72, 6sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) ∈ 𝐢)
8 psrbagev1.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
9 psrbagev1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
10 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
1110psrbagfOLD 21832 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
128, 9, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:πΌβŸΆβ„•0)
13 psrbagev1.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
14 inidm 4214 . . 3 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
157, 12, 13, 8, 8, 14off 7695 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢)
16 ovexd 7449 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V)
1712ffnd 6717 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn 𝐼)
1813ffnd 6717 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
1917, 18, 8, 8offun 7691 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘‡)
2120fvexi 6905 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2310psrbagfsuppOLD 21834 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 finSupp 0)
249, 8, 23syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 finSupp 0)
2524fsuppimpd 9383 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 4001 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 supp 0) βŠ† (𝐡 supp 0))
273, 20, 4mulg0 19014 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐢 β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
2827adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐢) β†’ (0 Β· 𝑧) = 0 )
29 c0ex 11224 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
3126, 28, 12, 13, 8, 30suppssof1 8196 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))
32 suppssfifsupp 9392 . . 3 ((((𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐡 ∘f Β· 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐡 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺) supp 0 ) βŠ† (𝐡 supp 0))) β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3316, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1376 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 )
3415, 33jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∘f Β· 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝐡 ∘f Β· 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7675   supp csupp 8157   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375  0cc0 11124  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  Basecbs 17165  0gc0g 17406  Mndcmnd 18679  .gcmg 19007  CMndccmn 19719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mulg 19008  df-cmn 19721
This theorem is referenced by:  psrbagev2OLD  22002
  Copyright terms: Public domain W3C validator