Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1OLD 20839
 Description: Obsolete version of psrbagev1 20838 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1OLD (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   𝑊()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1OLD
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
21cmnmndd 18996 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
3 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
53, 4mulgnn0cl 18311 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
653expb 1117 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
72, 6sylan 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
8 psrbagev1.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
9 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
10 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
1110psrbagfOLD 20681 . . . 4 ((𝐼𝑊𝐵𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
128, 9, 11syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
13 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
14 inidm 4123 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
157, 12, 13, 8, 8, 14off 7422 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶)
16 ovexd 7185 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) ∈ V)
1712ffnd 6499 . . . 4 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
1813ffnd 6499 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1917, 18, 8, 8offun 7418 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵f · 𝐺))
20 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
2120fvexi 6672 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
2310psrbagfsuppOLD 20683 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐼𝑊) → 𝐵 finSupp 0)
249, 8, 23syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
2524fsuppimpd 8873 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
26 ssidd 3915 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
273, 20, 4mulg0 18298 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
2827adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
29 c0ex 10673 . . . . 5 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3126, 28, 12, 13, 8, 30suppssof1 7873 . . 3 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
32 suppssfifsupp 8881 . . 3 ((((𝐵f · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵f · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵f · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3316, 19, 22, 25, 31, 32syl32anc 1375 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 )
3415, 33jca 515 1 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032  ◡ccnv 5523   “ cima 5527  Fun wfun 6329  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403   supp csupp 7835   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527   finSupp cfsupp 8866  0cc0 10575  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  Basecbs 16541  0gc0g 16771  Mndcmnd 17977  .gcmg 18291  CMndccmn 18973 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-seq 13419  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mulg 18292  df-cmn 18975 This theorem is referenced by:  psrbagev2OLD  20841
 Copyright terms: Public domain W3C validator