Theorem caragencmpl 46775

Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragencmpl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragencmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
caragencmpl.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
caragencmpl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragencmpl	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragencmpl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragencmpl.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragencmpl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragencmpl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
5	1, 2	unidmex 45291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5, 4	ssexd 5269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
7		elpwg 4557	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
9	4, 8	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
10	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
11	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐸 ⊆ 𝑋)
12		caragencmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝐸) = 0)
14		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸)
16	10, 2, 11, 13, 15	omess0 46774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) = 0)
17	16	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))))
18		difssd 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
19		elpwi 4561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
20	18, 19	sstrd 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
22	10, 2, 21	omexrcl 46747	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ*)
23		xaddlid 13157	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
25	17, 24	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
26	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
28	10, 2, 26, 27	omessle 46738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ≤ (𝑂‘𝑎))
29	25, 28	eqbrtrd 5120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) ≤ (𝑂‘𝑎))
30	1, 2, 3, 9, 29	caragenel2d 46772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4863  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167   +_𝑒 cxad 13024  OutMeascome 46729  CaraGenccaragen 46731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-sumge0 46603  df-ome 46730  df-caragen 46732

This theorem is referenced by:  voncmpl  46861