Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragencmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragencmpl 45836
Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragencmpl.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
caragencmpl.e (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† 𝑋)
caragencmpl.z (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΈ) = 0)
caragencmpl.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
caragencmpl (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragencmpl.o . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragencmpl.x . 2 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
3 caragencmpl.s . 2 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
4 caragencmpl.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† 𝑋)
51, 2unidmex 44327 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
65, 4ssexd 5318 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
7 elpwg 4601 . . . 4 (𝐸 ∈ V β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 βŠ† 𝑋))
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 βŠ† 𝑋))
94, 8mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
101adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
114adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝐸 βŠ† 𝑋)
12 caragencmpl.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΈ) = 0)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜πΈ) = 0)
14 inss2 4225 . . . . . . 7 (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† 𝐸
1514a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘Ž ∩ 𝐸) βŠ† 𝐸)
1610, 2, 11, 13, 15omess0 45835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) = 0)
1716oveq1d 7429 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (0 +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))))
18 difssd 4128 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† π‘Ž)
19 elpwi 4605 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
2018, 19sstrd 3988 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
2120adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
2210, 2, 21omexrcl 45808 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ*)
23 xaddlid 13239 . . . . 5 ((π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ∈ ℝ* β†’ (0 +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)))
2422, 23syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (0 +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)))
2517, 24eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)))
2619adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
2718adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘Ž βˆ– 𝐸) βŠ† π‘Ž)
2810, 2, 26, 27omessle 45799 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸)) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
2925, 28eqbrtrd 5164 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘Ž ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(π‘Ž βˆ– 𝐸))) ≀ (π‘‚β€˜π‘Ž))
301, 2, 3, 9, 29caragenel2d 45833 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  β„*cxr 11263   ≀ cle 11265   +𝑒 cxad 13108  OutMeascome 45790  CaraGenccaragen 45792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-xadd 13111  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-sumge0 45664  df-ome 45791  df-caragen 45793
This theorem is referenced by:  voncmpl  45922
  Copyright terms: Public domain W3C validator