Theorem caragencmpl 45237

Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragencmpl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragencmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
caragencmpl.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
caragencmpl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragencmpl	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragencmpl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragencmpl.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragencmpl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragencmpl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
5	1, 2	unidmex 43722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5, 4	ssexd 5323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
7		elpwg 4604	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
9	4, 8	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
10	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
11	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐸 ⊆ 𝑋)
12		caragencmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝐸) = 0)
14		inss2 4228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸)
16	10, 2, 11, 13, 15	omess0 45236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) = 0)
17	16	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))))
18		difssd 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
19		elpwi 4608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
20	18, 19	sstrd 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
22	10, 2, 21	omexrcl 45209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ*)
23		xaddlid 13217	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
25	17, 24	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
26	19	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	18	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
28	10, 2, 26, 27	omessle 45200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ≤ (𝑂‘𝑎))
29	25, 28	eqbrtrd 5169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) ≤ (𝑂‘𝑎))
30	1, 2, 3, 9, 29	caragenel2d 45234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601  ∪ cuni 4907  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245   +_𝑒 cxad 13086  OutMeascome 45191  CaraGenccaragen 45193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-sumge0 45065  df-ome 45192  df-caragen 45194

This theorem is referenced by:  voncmpl  45323