Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragencmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragencmpl 46550
Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragencmpl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x 𝑋 = dom 𝑂
caragencmpl.e (𝜑𝐸𝑋)
caragencmpl.z (𝜑 → (𝑂𝐸) = 0)
caragencmpl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragencmpl (𝜑𝐸𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragencmpl.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragencmpl.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragencmpl.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragencmpl.e . . 3 (𝜑𝐸𝑋)
51, 2unidmex 45055 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
65, 4ssexd 5324 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
7 elpwg 4603 . . . 4 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
94, 8mpbird 257 . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
101adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
114adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐸𝑋)
12 caragencmpl.z . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐸) = 0)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = 0)
14 inss2 4238 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ 𝐸
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝐸)
1610, 2, 11, 13, 15omess0 46549 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) = 0)
1716oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
18 difssd 4137 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎)
19 elpwi 4607 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2018, 19sstrd 3994 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
2210, 2, 21omexrcl 46522 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
23 xaddlid 13284 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2422, 23syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2517, 24eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2619adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
2718adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎)
2810, 2, 26, 27omessle 46513 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ≤ (𝑂𝑎))
2925, 28eqbrtrd 5165 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
301, 2, 3, 9, 29caragenel2d 46547 1 (𝜑𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  *cxr 11294  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  OutMeascome 46504  CaraGenccaragen 46506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378  df-ome 46505  df-caragen 46507
This theorem is referenced by:  voncmpl  46636
  Copyright terms: Public domain W3C validator