Theorem caragencmpl 46540

Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragencmpl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragencmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
caragencmpl.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
caragencmpl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragencmpl	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragencmpl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragencmpl.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragencmpl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragencmpl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
5	1, 2	unidmex 45051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5, 4	ssexd 5282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
7		elpwg 4569	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
9	4, 8	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
10	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
11	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐸 ⊆ 𝑋)
12		caragencmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝐸) = 0)
14		inss2 4204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸)
16	10, 2, 11, 13, 15	omess0 46539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) = 0)
17	16	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))))
18		difssd 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
19		elpwi 4573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
20	18, 19	sstrd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
22	10, 2, 21	omexrcl 46512	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ*)
23		xaddlid 13209	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
25	17, 24	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
26	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
28	10, 2, 26, 27	omessle 46503	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ≤ (𝑂‘𝑎))
29	25, 28	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) ≤ (𝑂‘𝑎))
30	1, 2, 3, 9, 29	caragenel2d 46537	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   +_𝑒 cxad 13077  OutMeascome 46494  CaraGenccaragen 46496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-sumge0 46368  df-ome 46495  df-caragen 46497

This theorem is referenced by:  voncmpl  46626