Theorem caragencmpl 46989

Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragencmpl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
caragencmpl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
caragencmpl.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
caragencmpl.s	⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
caragencmpl	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragencmpl.o	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		caragencmpl.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		caragencmpl.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4		caragencmpl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝑋)
5	1, 2	unidmex 45507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5, 4	ssexd 5264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
7		elpwg 4545	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐸 ⊆ 𝑋))
9	4, 8	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
10	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
11	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐸 ⊆ 𝑋)
12		caragencmpl.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐸) = 0)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘𝐸) = 0)
14		inss2 4179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∩ 𝐸) ⊆ 𝐸)
16	10, 2, 11, 13, 15	omess0 46988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) = 0)
17	16	oveq1d 7379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))))
18		difssd 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
19		elpwi 4549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
20	18, 19	sstrd 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
22	10, 2, 21	omexrcl 46961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ*)
23		xaddlid 13191	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
25	17, 24	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)))
26	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
27	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑎)
28	10, 2, 26, 27	omessle 46952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸)) ≤ (𝑂‘𝑎))
29	25, 28	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ 𝐸))) ≤ (𝑂‘𝑎))
30	1, 2, 3, 9, 29	caragenel2d 46986	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  dom cdm 5628  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  0cc0 11035  ℝ^*cxr 11175   ≤ cle 11177   +_𝑒 cxad 13058  OutMeascome 46943  CaraGenccaragen 46945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-rp 12940  df-xadd 13061  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-exp 14021  df-hash 14290  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-clim 15447  df-sum 15646  df-sumge0 46817  df-ome 46944  df-caragen 46946

This theorem is referenced by:  voncmpl  47075