Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragencmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragencmpl 43748
Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragencmpl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x 𝑋 = dom 𝑂
caragencmpl.e (𝜑𝐸𝑋)
caragencmpl.z (𝜑 → (𝑂𝐸) = 0)
caragencmpl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragencmpl (𝜑𝐸𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragencmpl.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragencmpl.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragencmpl.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragencmpl.e . . 3 (𝜑𝐸𝑋)
51, 2unidmex 42271 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
65, 4ssexd 5217 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
7 elpwg 4516 . . . 4 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
94, 8mpbird 260 . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
101adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
114adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐸𝑋)
12 caragencmpl.z . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐸) = 0)
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = 0)
14 inss2 4144 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ 𝐸
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝐸)
1610, 2, 11, 13, 15omess0 43747 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) = 0)
1716oveq1d 7228 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
18 difssd 4047 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎)
19 elpwi 4522 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2018, 19sstrd 3911 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
2120adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
2210, 2, 21omexrcl 43720 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
23 xaddid2 12832 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2422, 23syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2517, 24eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2619adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
2718adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎)
2810, 2, 26, 27omessle 43711 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ≤ (𝑂𝑎))
2925, 28eqbrtrd 5075 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
301, 2, 3, 9, 29caragenel2d 43745 1 (𝜑𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cdif 3863  cin 3865  wss 3866  𝒫 cpw 4513   cuni 4819  dom cdm 5551  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  *cxr 10866  cle 10868   +𝑒 cxad 12702  OutMeascome 43702  CaraGenccaragen 43704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-sumge0 43576  df-ome 43703  df-caragen 43705
This theorem is referenced by:  voncmpl  43834
  Copyright terms: Public domain W3C validator