Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragencmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragencmpl 43217
 Description: A measure built with the Caratheodory's construction is complete. See Definition 112Df of [Fremlin1] p. 19. This is Exercise 113Xa of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragencmpl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragencmpl.x 𝑋 = dom 𝑂
caragencmpl.e (𝜑𝐸𝑋)
caragencmpl.z (𝜑 → (𝑂𝐸) = 0)
caragencmpl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragencmpl (𝜑𝐸𝑆)

Proof of Theorem caragencmpl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragencmpl.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragencmpl.x . 2 𝑋 = dom 𝑂
3 caragencmpl.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
4 caragencmpl.e . . 3 (𝜑𝐸𝑋)
51, 2unidmex 41727 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
65, 4ssexd 5193 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
7 elpwg 4500 . . . 4 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝑋𝐸𝑋))
94, 8mpbird 260 . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑋)
101adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
114adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐸𝑋)
12 caragencmpl.z . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐸) = 0)
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = 0)
14 inss2 4156 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ 𝐸
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝐸)
1610, 2, 11, 13, 15omess0 43216 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) = 0)
1716oveq1d 7151 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
18 difssd 4060 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎)
19 elpwi 4506 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2018, 19sstrd 3925 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
2120adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑋)
2210, 2, 21omexrcl 43189 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
23 xaddid2 12626 . . . . 5 ((𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2422, 23syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (0 +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2517, 24eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2619adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑎𝑋)
2718adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝐸) ⊆ 𝑎)
2810, 2, 26, 27omessle 43180 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ≤ (𝑂𝑎))
2925, 28eqbrtrd 5053 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) ≤ (𝑂𝑎))
301, 2, 3, 9, 29caragenel2d 43214 1 (𝜑𝐸𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4801  dom cdm 5520  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668   +𝑒 cxad 12496  OutMeascome 43171  CaraGenccaragen 43173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-xadd 12499  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-sumge0 43045  df-ome 43172  df-caragen 43174 This theorem is referenced by:  voncmpl  43303
 Copyright terms: Public domain W3C validator