Theorem omllaw5N 39748

Description: The orthomodular law. Remark in [Kalmbach] p. 22. (pjoml5 31703 analog.) (Contributed by NM, 14-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omllaw5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omllaw5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omllaw5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omllaw5.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omllaw5N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem omllaw5N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OML)
2		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		omllat 39743	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
4		omllaw5.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		omllaw5.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6	4, 5	latjcl 18397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl3an1 1169	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	1, 2, 7	3jca 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵))
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	4, 9, 5	latlej1 18406	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
11	3, 10	syl3an1 1169	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
12		omllaw5.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13		omllaw5.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
14	4, 9, 5, 12, 13	omllaw2N 39745	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌)))
15	8, 11, 14	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (( ⊥ ‘𝑋) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  lecple 17219  occoc 17220  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  OMLcoml 39676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-lub 18302  df-glb 18303  df-join 18304  df-meet 18305  df-lat 18390  df-oposet 39677  df-ol 39679  df-oml 39680

This theorem is referenced by: (None)