Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omllaw5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omllaw5N 38630
Description: The orthomodular law. Remark in [Kalmbach] p. 22. (pjoml5 31375 analog.) (Contributed by NM, 14-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omllaw5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omllaw5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omllaw5.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omllaw5N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))

Proof of Theorem omllaw5N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 simp2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 omllat 38625 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 omllaw5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 omllaw5.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
64, 5latjcl 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
73, 6syl3an1 1160 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
81, 2, 73jca 1125 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡))
9 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
104, 9, 5latlej1 18413 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
113, 10syl3an1 1160 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
12 omllaw5.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 omllaw5.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
144, 9, 5, 12, 13omllaw2N 38627 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ)))
158, 11, 14sylc 65 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  occoc 17214  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  OMLcoml 38558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator