Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omllaw5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omllaw5N 38751
Description: The orthomodular law. Remark in [Kalmbach] p. 22. (pjoml5 31443 analog.) (Contributed by NM, 14-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omllaw5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omllaw5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omllaw5.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omllaw5N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))

Proof of Theorem omllaw5N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 simp2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 omllat 38746 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 omllaw5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 omllaw5.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
64, 5latjcl 18438 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
73, 6syl3an1 1160 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
81, 2, 73jca 1125 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡))
9 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
104, 9, 5latlej1 18447 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
113, 10syl3an1 1160 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
12 omllaw5.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 omllaw5.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
144, 9, 5, 12, 13omllaw2N 38748 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ)))
158, 11, 14sylc 65 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  occoc 17248  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  OMLcoml 38679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-lat 18431  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator