Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omllaw5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omllaw5N 37712
Description: The orthomodular law. Remark in [Kalmbach] p. 22. (pjoml5 30558 analog.) (Contributed by NM, 14-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omllaw5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omllaw5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omllaw5.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omllaw5N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))

Proof of Theorem omllaw5N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 omllat 37707 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 omllaw5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 omllaw5.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
64, 5latjcl 18329 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
73, 6syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
81, 2, 73jca 1129 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡))
9 eqid 2737 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
104, 9, 5latlej1 18338 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
113, 10syl3an1 1164 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
12 omllaw5.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 omllaw5.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
144, 9, 5, 12, 13omllaw2N 37709 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ)))
158, 11, 14sylc 65 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  occoc 17142  joincjn 18201  meetcmee 18202  Latclat 18321  OMLcoml 37640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-lat 18322  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator