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Theorem cmtcomlemN 38422
Description: Lemma for cmtcomN 38423. (cmcmlem 31108 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtcom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cmtcom.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cmtcomlemN ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ π‘ŒπΆπ‘‹))
Proof of Theorem cmtcomlemN
StepHypRef Expression
1 omllat 38416 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 omlop 38415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 cmtcom.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
64, 5opoccl 38368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
73, 6sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
873adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
9 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
10 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
11 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
124, 10, 11latlej2 18407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
132, 8, 9, 12syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
144, 11latjcl 18397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
152, 8, 9, 14syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
174, 10, 16latleeqm2 18426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = π‘Œ))
182, 9, 15, 17syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = π‘Œ))
1913, 18mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = π‘Œ)
2019oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
21 omlol 38414 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OL)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OL)
2333ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
244, 5opoccl 38368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
2523, 9, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
264, 11latjcl 18397 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
272, 8, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
284, 16latmassOLD 38403 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
2922, 27, 15, 9, 28syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
304, 11, 16, 5oldmm1 38391 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
3121, 30syl3an1 1162 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
3231oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
3320, 29, 323eqtr4rd 2782 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
354, 11, 16, 5oldmj4 38398 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
3621, 35syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) = (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
374, 11, 16, 5oldmj2 38396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) = (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
3821, 37syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) = (𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
3936, 38oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))) = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
4039eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))) ↔ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))))
4140biimpar 477 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑋 = (((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))))
4241fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))))
434, 11, 16, 5oldmj4 38398 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4422, 27, 15, 43syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4544adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
4642, 45eqtr2d 2772 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))
4746oveq1d 7427 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ (((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
4834, 47eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))
4948oveq2d 7428 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)))
50 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OML)
514, 16latmcl 18398 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
521, 51syl3an1 1162 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡)
5350, 52, 93jca 1127 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
544, 10, 16latmle2 18423 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
551, 54syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
564, 10, 11, 16, 5omllaw2N 38418 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = π‘Œ))
5753, 55, 56sylc 65 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = π‘Œ)
5857adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ))(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = π‘Œ)
594, 16latmcom 18421 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋))
601, 59syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋))
614, 16latmcom 18421 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
622, 8, 9, 61syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) = (π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
6360, 62oveq12d 7430 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = ((π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋)(joinβ€˜πΎ)(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6463adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)) = ((π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋)(joinβ€˜πΎ)(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6549, 58, 643eqtr3d 2779 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))) β†’ π‘Œ = ((π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋)(joinβ€˜πΎ)(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))))
6665ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))) β†’ π‘Œ = ((π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋)(joinβ€˜πΎ)(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))))
67 cmtcom.c . . 3 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
684, 11, 16, 5, 67cmtvalN 38385 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ 𝑋 = ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ)(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))))
694, 11, 16, 5, 67cmtvalN 38385 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘‹ ↔ π‘Œ = ((π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋)(joinβ€˜πΎ)(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))))
70693com23 1125 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘‹ ↔ π‘Œ = ((π‘Œ(meetβ€˜πΎ)𝑋)(joinβ€˜πΎ)(π‘Œ(meetβ€˜πΎ)((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))))
7166, 68, 703imtr4d 293 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ π‘ŒπΆπ‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  occoc 17210  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  OPcops 38346  cmccmtN 38347  OLcol 38348  OMLcoml 38349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18253  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390  df-oposet 38350  df-cmtN 38351  df-ol 38352  df-oml 38353
This theorem is referenced by:  cmtcomN  38423
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