Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuctopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsuctopon 35307
Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuctopon (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem onsuctopon
StepHypRef Expression
1 onsuctop 35306 . 2 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
2 eloni 6371 . . 3 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3 ordunisuc 7816 . . . 4 (Ord 𝐴 suc 𝐴 = 𝐴)
43eqcomd 2738 . . 3 (Ord 𝐴𝐴 = suc 𝐴)
52, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴 = suc 𝐴)
6 istopon 22405 . 2 (suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (suc 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = suc 𝐴))
71, 5, 6sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   cuni 4907  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  cfv 6540  Topctop 22386  TopOnctopon 22403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440
This theorem is referenced by:  onsuct0  35314
  Copyright terms: Public domain W3C validator