Theorem onsuctopon 35307

Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctopon	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem onsuctopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuctop 35306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
2		eloni 6371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordunisuc 7816	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
4	3	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
6		istopon 22405	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (suc 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
7	1, 5, 6	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4907  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ‘cfv 6540  Topctop 22386  TopOnctopon 22403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440

This theorem is referenced by:  onsuct0  35314