Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuctopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsuctopon 36436
Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuctopon (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem onsuctopon
StepHypRef Expression
1 onsuctop 36435 . 2 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
2 eloni 6393 . . 3 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3 ordunisuc 7853 . . . 4 (Ord 𝐴 suc 𝐴 = 𝐴)
43eqcomd 2742 . . 3 (Ord 𝐴𝐴 = suc 𝐴)
52, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴 = suc 𝐴)
6 istopon 22919 . 2 (suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (suc 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = suc 𝐴))
71, 5, 6sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107   cuni 4906  Ord word 6382  Oncon0 6383  suc csuc 6385  cfv 6560  Topctop 22900  TopOnctopon 22917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954
This theorem is referenced by:  onsuct0  36443
  Copyright terms: Public domain W3C validator