Theorem onsuctopon 37120

Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctopon	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem onsuctopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuctop 37119	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
2		eloni 6369	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordunisuc 7834	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
4	3	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
6		istopon 23169	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (suc 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
7	1, 5, 6	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  Ord word 6358  Oncon0 6359  suc csuc 6361  ‘cfv 6535  Topctop 23150  TopOnctopon 23167

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-ord 6362  df-on 6363  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fv 6543  df-topgen 17553  df-top 23151  df-topon 23168  df-bases 23203

This theorem is used by:  onsuct0  37127