Theorem onsuctopon 34623

Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctopon	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem onsuctopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuctop 34622	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
2		eloni 6276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordunisuc 7679	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
4	3	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
6		istopon 22061	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (suc 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
7	1, 5, 6	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4839  Ord word 6265  Oncon0 6266  suc csuc 6268  ‘cfv 6433  Topctop 22042  TopOnctopon 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-topgen 17154  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096

This theorem is referenced by:  onsuct0  34630