Theorem onsuctopon 37007

Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctopon	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem onsuctopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuctop 37006	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
2		eloni 6375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordunisuc 7835	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
4	3	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
5	2, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
6		istopon 23124	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (suc 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
7	1, 5, 6	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  ‘cfv 6541  Topctop 23105  TopOnctopon 23122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fv 6549  df-topgen 17523  df-top 23106  df-topon 23123  df-bases 23158

This theorem is used by:  onsuct0  37014