Theorem onsuctopon 35809

Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctopon	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem onsuctopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsuctop 35808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)
2		eloni 6364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordunisuc 7813	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
4	3	eqcomd 2730	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
6		istopon 22736	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (suc 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
7	1, 5, 6	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∪ cuni 4899  Ord word 6353  Oncon0 6354  suc csuc 6356  ‘cfv 6533  Topctop 22717  TopOnctopon 22734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-topgen 17388  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771

This theorem is referenced by:  onsuct0  35816