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Theorem lhpj1 38893
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an element not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpj1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpj1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpj1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpj1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
lhpj1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpj1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem lhpj1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 lhpj1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 lhpj1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
53, 4lhpbase 38869 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
65ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
7 lhpj1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 eqid 2733 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
93, 7, 8hlrelat2 38274 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)))
101, 2, 6, 9syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)))
11 simp1l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simp2 1138 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
13 simp3r 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
14 lhpj1.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 lhpj1.u . . . . . . . 8 1 = (1.β€˜πΎ)
167, 14, 15, 8, 4lhpjat1 38891 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) = 1 )
1711, 12, 13, 16syl12anc 836 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) = 1 )
18 simp3l 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
19 simp1ll 1237 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 38234 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213, 8atbase 38159 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
22213ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
23 simp1r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2463ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
253, 7, 14latjlej2 18407 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) ≀ (π‘Š ∨ 𝑋)))
2620, 22, 23, 24, 25syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) ≀ (π‘Š ∨ 𝑋)))
2718, 26mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) ≀ (π‘Š ∨ 𝑋))
2817, 27eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 1 ≀ (π‘Š ∨ 𝑋))
29 hlop 38232 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
3019, 29syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
313, 14latjcl 18392 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
3220, 24, 23, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
333, 7, 15op1le 38062 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘Š ∨ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 1 ≀ (π‘Š ∨ 𝑋) ↔ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3430, 32, 33syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ ( 1 ≀ (π‘Š ∨ 𝑋) ↔ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3528, 34mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 )
3635rexlimdv3a 3160 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3710, 36sylbid 239 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3837impr 456 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  1.cp1 18377  Latclat 18384  OPcops 38042  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lhyp 38859
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