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Theorem lhpj1 38531
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an element not under it is the lattice unity. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpj1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpj1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpj1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpj1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
lhpj1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpj1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem lhpj1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 lhpj1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 lhpj1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
53, 4lhpbase 38507 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
65ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
7 lhpj1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 eqid 2733 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
93, 7, 8hlrelat2 37912 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)))
101, 2, 6, 9syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)))
11 simp1l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simp2 1138 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
13 simp3r 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
14 lhpj1.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 lhpj1.u . . . . . . . 8 1 = (1.β€˜πΎ)
167, 14, 15, 8, 4lhpjat1 38529 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) = 1 )
1711, 12, 13, 16syl12anc 836 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) = 1 )
18 simp3l 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
19 simp1ll 1237 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 37872 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213, 8atbase 37797 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
22213ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
23 simp1r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2463ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
253, 7, 14latjlej2 18348 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) ≀ (π‘Š ∨ 𝑋)))
2620, 22, 23, 24, 25syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) ≀ (π‘Š ∨ 𝑋)))
2718, 26mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑝) ≀ (π‘Š ∨ 𝑋))
2817, 27eqbrtrrd 5130 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 1 ≀ (π‘Š ∨ 𝑋))
29 hlop 37870 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
3019, 29syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
313, 14latjcl 18333 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
3220, 24, 23, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
333, 7, 15op1le 37700 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘Š ∨ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 1 ≀ (π‘Š ∨ 𝑋) ↔ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3430, 32, 33syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ ( 1 ≀ (π‘Š ∨ 𝑋) ↔ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3528, 34mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 )
3635rexlimdv3a 3153 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3710, 36sylbid 239 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 ))
3837impr 456 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  1.cp1 18318  Latclat 18325  OPcops 37680  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-lhyp 38497
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