MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1o2ndf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1o2ndf1 8125
Description: The 2nd (second component of an ordered pair) function restricted to a one-to-one function 𝐹 is a one-to-one function from 𝐹 onto the range of 𝐹. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
f1o2ndf1 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)

Proof of Theorem f1o2ndf1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6788 . . 3 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2 fo2ndf 8124 . . 3 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–ontoβ†’ran 𝐹)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–ontoβ†’ran 𝐹)
4 f2ndf 8123 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡)
6 fssxp 6746 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ 𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
8 ssel2 3967 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 Γ— 𝐡))
9 elxp2 5696 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴 Γ— 𝐡) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©)
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©)
11 ssel2 3967 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 Γ— 𝐡))
12 elxp2 5696 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴 Γ— 𝐡) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)
1410, 13anim12dan 617 . . . . . . . . 9 ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))
15 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = (2nd β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©))
1615ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = (2nd β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©))
17 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹 β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) = (2nd β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))
1817ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) = (2nd β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))
1916, 18eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) ↔ (2nd β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = (2nd β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
20 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 π‘Ž ∈ V
21 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑣 ∈ V
2220, 21op2nd 8000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2nd β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = 𝑣
23 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑏 ∈ V
24 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑀 ∈ V
2523, 24op2nd 8000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2nd β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) = 𝑀
2622, 25eqeq12i 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2nd β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = (2nd β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) ↔ 𝑣 = 𝑀)
27 f1fun 6790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ Fun 𝐹)
28 funopfv 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Fun 𝐹 β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣))
29 funopfv 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Fun 𝐹 β†’ (βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹 β†’ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀))
3028, 29anim12d 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Fun 𝐹 β†’ ((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀)))
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀)))
32 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ↔ 𝑣 = (πΉβ€˜π‘Ž))
3332biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 β†’ 𝑣 = (πΉβ€˜π‘Ž))
34 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πΉβ€˜π‘) = 𝑀 ↔ 𝑀 = (πΉβ€˜π‘))
3534biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πΉβ€˜π‘) = 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜π‘))
3633, 35eqeqan12d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀) β†’ (𝑣 = 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)))
37 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
38 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
3937, 38anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))
40 f1veqaeq 7263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏))
4139, 40sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏))
42 opeq12 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘Ž = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑀) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)
4342ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))
4441, 43syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
4544com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
4645ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
4746com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
4836, 47biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))))
4948com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑣 = 𝑀 β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))))
5049pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑣 = 𝑀 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
5150com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑣 ∧ (πΉβ€˜π‘) = 𝑀) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
5331, 52syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
5554impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
5655com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
5726, 56biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ ((2nd β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = (2nd β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
5819, 57sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
5958com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
6059ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
6160adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹)) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
6362ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
64 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹))
6564ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹))
66 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ© β†’ (𝑦 ∈ 𝐹 ↔ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹))
6765, 66bi2anan9 636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ↔ (βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹)))
6867anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) ↔ (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∈ 𝐹 ∧ βŸ¨π‘, π‘€βŸ© ∈ 𝐹))))
69 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©))
7069ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©))
71 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ© β†’ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))
7270, 71eqeqan12d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) ↔ ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
73 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©)
74 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)
7573, 74eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))
7672, 75imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ ((((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©)))
7776imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)) ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©))))
7863, 68, 773imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
7978ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ© β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))))
8079rexlimdvva 3202 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ©) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ© β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))))
8180ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ© β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))))))
8281rexlimivv 3190 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ© β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))))
8382imp 405 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘£βŸ© ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 𝑦 = βŸ¨π‘, π‘€βŸ©) β†’ ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
8414, 83mpcom 38 . . . . . . . 8 ((𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
8584ex 411 . . . . . . 7 (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
8685com23 86 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) β†’ (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
877, 86mpcom 38 . . . . 5 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
8887ralrimivv 3189 . . . 4 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
89 dff13 7261 . . . 4 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1→𝐡 ↔ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 (((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = ((2nd β†Ύ 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
905, 88, 89sylanbrc 581 . . 3 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1→𝐡)
91 df-f1 6548 . . . 4 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1→𝐡 ↔ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐡 ∧ Fun β—‘(2nd β†Ύ 𝐹)))
9291simprbi 495 . . 3 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1→𝐡 β†’ Fun β—‘(2nd β†Ύ 𝐹))
9390, 92syl 17 . 2 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ Fun β—‘(2nd β†Ύ 𝐹))
94 dff1o3 6840 . 2 ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 ↔ ((2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–ontoβ†’ran 𝐹 ∧ Fun β—‘(2nd β†Ύ 𝐹)))
953, 93, 94sylanbrc 581 1 (𝐹:𝐴–1-1→𝐡 β†’ (2nd β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  2nd c2nd 7990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-2nd 7992
This theorem is referenced by:  hashf1rn  14343
  Copyright terms: Public domain W3C validator