MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeu 8536
Description: The division algorithm for ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeu ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ!๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง

Proof of Theorem omeu
Dummy variables ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeulem1 8533 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
2 opex 5425 . . . . . . . . 9 โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ V
32isseti 3462 . . . . . . . 8 โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ
4 19.41v 1954 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
53, 4mpbiran 708 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
65rexbii 3094 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
7 rexcom4 3270 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
86, 7bitr3i 277 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
98rexbii 3094 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
10 rexcom4 3270 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
119, 10bitri 275 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
121, 11sylib 217 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
13 simp2rl 1243 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
14 simp3rl 1247 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
15 simp2rr 1244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
16 simp3rr 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)
1715, 16eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ))
18 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
19 simp13 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
20 simp2ll 1241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
21 simp2lr 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด)
22 simp3ll 1245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ On)
23 simp3lr 1246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐ด)
24 omopth2 8535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ )))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24syl222anc 1387 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ )))
2617, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ ))
27 opeq12 4836 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ ) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
2914, 28eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ก = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
3013, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)
31303expia 1122 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))) โ†’ (((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
3231exp4b 432 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))))
3332expd 417 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)))))
3433rexlimdvv 3201 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))))
3534imp 408 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)))
3635rexlimdvv 3201 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
3736expimpd 455 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
3837alrimivv 1932 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘งโˆ€๐‘ก((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
39 opeq1 4834 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ)
4039eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ))
41 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘Ÿ))
4241oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ))
4342eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
4440, 43anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)))
45 opeq2 4835 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
4645eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ))
47 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ))
4847eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))
4946, 48anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
5044, 49cbvrex2vw 3227 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))
51 eqeq1 2737 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โ†” ๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ))
5251anbi1d 631 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†” (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
53522rexbidv 3210 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
5450, 53bitrid 283 . . 3 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
5554eu4 2612 . 2 (โˆƒ!๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘งโˆ€๐‘ก((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)))
5612, 38, 55sylanbrc 584 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ!๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088  โˆ€wal 1540   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ!weu 2563   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  โˆ…c0 4286  โŸจcop 4596  Oncon0 6321  (class class class)co 7361   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  oeeui  8553  omxpenlem  9023  onexomgt  41622
  Copyright terms: Public domain W3C validator