MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeu 8600
Description: The division algorithm for ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeu ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ!๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง

Proof of Theorem omeu
Dummy variables ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeulem1 8597 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
2 opex 5461 . . . . . . . . 9 โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ V
32isseti 3486 . . . . . . . 8 โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ
4 19.41v 1946 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
53, 4mpbiran 708 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
65rexbii 3090 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
7 rexcom4 3281 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ง(๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
86, 7bitr3i 277 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
98rexbii 3090 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
10 rexcom4 3281 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
119, 10bitri 275 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
121, 11sylib 217 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
13 simp2rl 1240 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
14 simp3rl 1244 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
15 simp2rr 1241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)
16 simp3rr 1245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)
1715, 16eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ))
18 simp11 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
19 simp13 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
20 simp2ll 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
21 simp2lr 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด)
22 simp3ll 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ On)
23 simp3lr 1243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐ด)
24 omopth2 8599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ )))
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24syl222anc 1384 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ )))
2617, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ ))
27 opeq12 4872 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ ) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
2914, 28eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ก = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
3013, 29eqtr4d 2771 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)
31303expia 1119 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))) โ†’ (((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
3231exp4b 430 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))))
3332expd 415 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)))))
3433rexlimdvv 3206 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))))
3534imp 406 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ On โˆง ๐‘  โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)))
3635rexlimdvv 3206 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
3736expimpd 453 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
3837alrimivv 1924 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘งโˆ€๐‘ก((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก))
39 opeq1 4870 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ)
4039eqeq2d 2739 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ))
41 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘Ÿ))
4241oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ))
4342eqeq1d 2730 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
4440, 43anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต)))
45 opeq2 4871 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ)
4645eqeq2d 2739 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ โ†” ๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ))
47 oveq2 7423 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ))
4847eqeq1d 2730 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))
4946, 48anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘  โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
5044, 49cbvrex2vw 3235 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต))
51 eqeq1 2732 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โ†” ๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ))
5251anbi1d 630 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†” (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
53522rexbidv 3215 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
5450, 53bitrid 283 . . 3 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)))
5554eu4 2607 . 2 (โˆƒ!๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆ€๐‘งโˆ€๐‘ก((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ On โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐ด (๐‘ก = โŸจ๐‘Ÿ, ๐‘ โŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘Ÿ) +o ๐‘ ) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ก)))
5612, 38, 55sylanbrc 582 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ!๐‘งโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ง = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆง ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085  โˆ€wal 1532   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099  โˆƒ!weu 2558   โ‰  wne 2936  โˆƒwrex 3066  โˆ…c0 4319  โŸจcop 4631  Oncon0 6364  (class class class)co 7415   +o coa 8478   ยทo comu 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-omul 8486
This theorem is referenced by:  oeeui  8617  omxpenlem  9092  onexomgt  42660
  Copyright terms: Public domain W3C validator