Theorem onsucconn 36414

Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucconn	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Proof of Theorem onsucconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6379	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc 𝐴 ∈ Conn ↔ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn))
3		0elon 6366	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
4	3	elimel 4548	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
5	4	onsucconni 36413	. 2 ⊢ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn
6	2, 5	dedth 4537	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  ifcif 4478  Oncon0 6311  suc csuc 6313  Conncconn 23314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-fv 6494  df-topgen 17365  df-top 22797  df-bases 22849  df-cld 22922  df-conn 23315

This theorem is referenced by:  ordtopconn  36415