Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsucconn 36439
Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsucconn (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Proof of Theorem onsucconn
StepHypRef Expression
1 suceq 6450 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
21eleq1d 2826 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc 𝐴 ∈ Conn ↔ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn))
3 0elon 6438 . . . 4 ∅ ∈ On
43elimel 4595 . . 3 if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
54onsucconni 36438 . 2 suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn
62, 5dedth 4584 1 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333  ifcif 4525  Oncon0 6384  suc csuc 6386  Conncconn 23419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-fv 6569  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-cld 23027  df-conn 23420
This theorem is referenced by:  ordtopconn  36440
  Copyright terms: Public domain W3C validator