Theorem onsucconn 36421

Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucconn	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Proof of Theorem onsucconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6452	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2	1	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc 𝐴 ∈ Conn ↔ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn))
3		0elon 6440	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
4	3	elimel 4600	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
5	4	onsucconni 36420	. 2 ⊢ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn
6	2, 5	dedth 4589	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  ifcif 4531  Oncon0 6386  suc csuc 6388  Conncconn 23435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-cld 23043  df-conn 23436

This theorem is referenced by:  ordtopconn  36422