Theorem onsucconn 36620

Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucconn	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Proof of Theorem onsucconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6391	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc 𝐴 ∈ Conn ↔ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn))
3		0elon 6378	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
4	3	elimel 4536	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
5	4	onsucconni 36619	. 2 ⊢ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn
6	2, 5	dedth 4525	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  ifcif 4466  Oncon0 6323  suc csuc 6325  Conncconn 23376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-fv 6506  df-topgen 17406  df-top 22859  df-bases 22911  df-cld 22984  df-conn 23377

This theorem is referenced by:  ordtopconn  36621