Theorem onsucconn 34723

Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucconn	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Proof of Theorem onsucconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6367	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc 𝐴 ∈ Conn ↔ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn))
3		0elon 6355	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
4	3	elimel 4542	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
5	4	onsucconni 34722	. 2 ⊢ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn
6	2, 5	dedth 4531	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4269  ifcif 4473  Oncon0 6302  suc csuc 6304  Conncconn 22668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-fv 6487  df-topgen 17251  df-top 22149  df-bases 22202  df-cld 22276  df-conn 22669

This theorem is referenced by:  ordtopconn  34724