Theorem onsucconn 33793

Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucconn	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Proof of Theorem onsucconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6242	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2	1	eleq1d 2897	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc 𝐴 ∈ Conn ↔ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn))
3		0elon 6230	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
4	3	elimel 4520	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
5	4	onsucconni 33792	. 2 ⊢ suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Conn
6	2, 5	dedth 4509	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∅c0 4279  ifcif 4453  Oncon0 6177  suc csuc 6179  Conncconn 22002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-ord 6180  df-on 6181  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-fv 6349  df-topgen 16700  df-top 21485  df-bases 21537  df-cld 21610  df-conn 22003

This theorem is referenced by:  ordtopconn  33794