MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmsucr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmsucr 8621
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmsucr ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))

Proof of Theorem nnmsucr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo ๐ต))
2 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐ต))
3 id 22 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ๐‘ฅ = ๐ต)
42, 3oveq12d 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))
51, 4eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต)))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))))
7 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo โˆ…))
8 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo โˆ…))
9 id 22 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
108, 9oveq12d 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…))
117, 10eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo โˆ…) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…)))
12 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ))
13 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
14 id 22 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
1513, 14oveq12d 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ))
1612, 15eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ)))
17 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
18 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
19 id 22 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ)
2018, 19oveq12d 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ))
2117, 20eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ)))
22 peano2 7876 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ด โˆˆ ฯ‰)
23 nnm0 8601 . . . . . . 7 (suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
25 nnm0 8601 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
2624, 25eqtr4d 2776 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = (๐ด ยทo โˆ…))
27 peano1 7874 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ ฯ‰
28 nnmcl 8608 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ ฯ‰)
2927, 28mpan2 690 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ ฯ‰)
30 nna0 8600 . . . . . 6 ((๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…) = (๐ด ยทo โˆ…))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…) = (๐ด ยทo โˆ…))
3226, 31eqtr4d 2776 . . . 4 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…))
33 oveq1 7411 . . . . . 6 ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
34 peano2b 7867 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†” suc ๐ด โˆˆ ฯ‰)
35 nnmsuc 8603 . . . . . . . 8 ((suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
3634, 35sylanb 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
37 nnmcl 8608 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰)
38 peano2b 7867 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
39 nnaass 8618 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง suc ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
4038, 39syl3an3b 1406 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
4137, 40syl3an1 1164 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
42413expb 1121 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
4342anidms 568 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
44 nnmsuc 8603 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
4544oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ))
46 nnaass 8618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง suc ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
4734, 46syl3an3b 1406 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
4837, 47syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
49483expb 1121 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
5049an42s 660 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
5150anidms 568 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
52 nnacom 8613 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o ๐ด))
53 suceq 6427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด +o ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o ๐ด) โ†’ suc (๐ด +o ๐‘ฆ) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ suc (๐ด +o ๐‘ฆ) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
55 nnasuc 8602 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o suc ๐‘ฆ) = suc (๐ด +o ๐‘ฆ))
56 nnasuc 8602 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o suc ๐ด) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
5756ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o suc ๐ด) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
5854, 55, 573eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o suc ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o suc ๐ด))
5958oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
6051, 59eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
6143, 45, 603eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
6236, 61eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ) โ†” ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด)))
6333, 62imbitrrid 245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ)))
6463expcom 415 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ))))
6511, 16, 21, 32, 64finds2 7886 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ)))
666, 65vtoclga 3565 . 2 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต)))
6766impcom 409 1 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4321  suc csuc 6363  (class class class)co 7404  ฯ‰com 7850   +o coa 8458   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-oadd 8465  df-omul 8466
This theorem is referenced by:  nnmcom  8622
  Copyright terms: Public domain W3C validator